2022-2023學(xué)年白鷺洲中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．3．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-24．設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若，則的值為()A．1 B． C． D．5．如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對6．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．中國古典樂器一般按“八音”分類．這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對稱中心是D．函數(shù)的對稱軸是9．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．10．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②11．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．12．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．14．（5分）已知曲線的方程為，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，若，則直線的方程為___________．16．在中，已知是的中點(diǎn)，且，點(diǎn)滿足，則的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實(shí)數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.18．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).19．（12分）市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點(diǎn)，求.21．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組，其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.22．（10分）自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏，全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時(shí)，湖北省累計(jì)接收捐贈(zèng)物資615.43萬件，包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個(gè)，醫(yī)用一次性口罩172.87萬個(gè)，護(hù)目鏡3.93萬個(gè)等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù)，該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車，6輛載重為10t的B型卡車，10名駕駛員，要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù)：A型卡車16次，B型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛，運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．

答案：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁亲詈笠欢ㄒ?yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長的概念，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

設(shè)，通過，再利用向量的加減運(yùn)算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè)，則有.又，所以，有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識(shí)，利用向量共線及向量運(yùn)算知識(shí)，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.5、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．6、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因?yàn)?，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.7、B【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).8、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點(diǎn)代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，得，故函數(shù)的對稱中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對稱軸是，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.9、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡單題目.11、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12、D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則是上的偶函數(shù)．由于在上單調(diào)遞增，而在上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故知在上單調(diào)遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數(shù)，可得，由在上單調(diào)遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．14、【解析】

依題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程是，即．15、【解析】

設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線．由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.16、【解析】

由中點(diǎn)公式的向量形式可得，即有，設(shè)，有，再分別討論三點(diǎn)共線和不共線時(shí)的情況，找到的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)知識(shí)求出范圍．【詳解】是的中點(diǎn)，∴，即設(shè)，于是(1)當(dāng)共線時(shí)，因?yàn)?，①若點(diǎn)在之間，則，此時(shí)，；②若點(diǎn)在的延長線上，則，此時(shí)，．(2)當(dāng)不共線時(shí)，根據(jù)余弦定理可得，解得，由，解得．綜上，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）證明見解析【解析】

（1）將寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由解得所以的解集為或（2）由（1）可求得最小值為，即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”）所以，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.18、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.19、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張?jiān)摴P貸款的總利息為元.（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因?yàn)椋孕堅(jiān)摴P貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因?yàn)椋詮慕?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用，數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，可得△ABC為直角三角形，然后可計(jì)算b，可得結(jié)果.（2）計(jì)算，然后根據(jù)余弦定理，可得，利用平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）△ABC中，由csinC＝asinA