2021-2022學(xué)年江西省撫州市臨川第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2021-2022學(xué)年江西省撫州市臨川第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合A、B，即可求出.【詳解】集合或，，所以.故選：D2．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由已知等量關(guān)系，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法可得，即可得共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而確定虛部.【詳解】由題設(shè)，，則，所以的虛部為.故選：B3．“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由已知在外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得答案.【詳解】由已知，在圓外，則，解得，所以“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件，故選：C4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角正弦公式，將已知等式兩邊平方得，再由誘導(dǎo)公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：B5．已知是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．2【答案】B【分析】將代入，得到，的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值即可．【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過，則，即．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．故選：B．6．觀察下列各式：，，則的個(gè)位數(shù)字是（

）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】B【分析】個(gè)位數(shù)出現(xiàn)順序?yàn)?，且周期?，即可確定的個(gè)位數(shù)字.【詳解】由題設(shè)，個(gè)位數(shù)出現(xiàn)順序?yàn)椋抑芷跒?，所以，即的個(gè)位數(shù)字與相同.故選：B7．已知函數(shù)，則其大致圖象是下列圖中的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AD，接著比較選項(xiàng)BD得到只需判斷函數(shù)與直線在時(shí)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小即可，最后結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以函?shù)是偶函數(shù)，故排除AD，結(jié)合選項(xiàng)BD，只需求解函數(shù)與直線在時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，，解得即，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與直線在時(shí)的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，選項(xiàng)C符合題意，故選：C.8．某校舉辦“中華魂”《中國(guó)夢(mèng)》主題演講比賽．聘請(qǐng)7名評(píng)委為選手評(píng)分，評(píng)分規(guī)則是去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再求平均分為選手的最終得分現(xiàn)評(píng)委為選手趙剛的評(píng)分從低到高依次為，，……，，具體分?jǐn)?shù)如圖1的莖葉圖所示，圖2的程序框圖是統(tǒng)計(jì)選手最終得分的一個(gè)算法流程圖，則圖中空白處及輸出的S分別為（

）A．，86 B．，87 C．，87 D．，86【答案】C【分析】模擬程序的運(yùn)行過程，該程序運(yùn)行后是計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此求出對(duì)應(yīng)的結(jié)果.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后是計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以i>5，由5個(gè)數(shù)據(jù)分別是78、86、85、92、94，計(jì)算平均數(shù)為故選：C9．垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境?促進(jìn)城市精細(xì)化管理?保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費(fèi)用（角）的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計(jì)得到下表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．變量、之間呈正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為C． D．由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點(diǎn)為【答案】C【分析】利用回歸直線方程可判斷A選項(xiàng)；將代入回歸直線方程可判斷B選項(xiàng)；計(jì)算出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平均數(shù)公式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線方程，故變量、之間呈正相關(guān)關(guān)系，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，則，故樣本的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，另一方面，，解得，C錯(cuò)D對(duì).故選：C.10．已知是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由等比中項(xiàng)定義求得，根據(jù)的取值確定曲線是橢圓還是雙曲線，然后計(jì)算離心率．【詳解】由已知，，當(dāng)時(shí)，方程為，曲線為橢圓，，，離心率為；當(dāng)時(shí)，方程為，曲線為雙曲線，，，離心率為．故選：C．11．如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．72 B．64 C．56 D．32【答案】A【分析】先根據(jù)三視圖還原幾何體，然后求解幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可推理得知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了一個(gè)正四棱錐剩下的幾何體，還原成直觀圖如圖：故該幾何體的體積為.故選：A.12．已知函數(shù)，若，成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變形為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間，討論、，綜合運(yùn)用參變分離法、構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立，求參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)?，得，整理得：，設(shè)，則，在上，遞增，當(dāng)時(shí)，，而原不等式等價(jià)于，若時(shí)，，則，即在上恒成立，由且，則，即遞增，故，則，所以；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，滿足題設(shè)，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并討論參數(shù)a研究不等式恒成立問題.二、填空題13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，___________．【答案】【分析】因是定義在上的奇函數(shù)，所以，從而可求，再由奇函數(shù)的定義即可求出的值.【詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：.14．已知向量和的夾角為150°，且，，則在上的投影為___________.【答案】或或【分析】對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)，求出，再利用數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果【詳解】由，得，因?yàn)橄蛄亢偷膴A角為150°，且，所以，得，，所以或，當(dāng)時(shí)，在上的投影為，當(dāng)時(shí)，在上的投影為，綜上，在上的投影為或，故答案為：或15．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為_______．【答案】【分析】由題設(shè)列不等式組，畫出對(duì)應(yīng)的可行域，應(yīng)用幾何概型—面積型求兩數(shù)之和小于的概率即可.【詳解】由題設(shè)，令，可得如下圖示的對(duì)應(yīng)可行域，要求兩數(shù)之和小于的概率，即求陰影部分面積占邊長(zhǎng)為1的正方形面積的比例即可.而直線過，，則陰影部分面積，所以兩數(shù)之和小于的概率為.故答案為：.16．如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高_(dá)_________．【答案】150【詳解】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．【解析】正弦定理的應(yīng)用．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系：xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的普通方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）化簡(jiǎn)曲線C的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程得到，求得，，得到，分別求得的值，得出直線的參數(shù)方程，進(jìn)而求得直線的普通方程．【詳解】(1)解：由曲線C的極坐標(biāo)方程為，可得，根據(jù)，可得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)解：將直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)，），代入曲線的方程，整理得，設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以，因?yàn)?，所以，，故直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）或（t為參數(shù)），所以直線l的普通方程為或．18．2022年2月4日，第24屆冬奧會(huì)在中國(guó)北京和張家口舉行．冬奧會(huì)閉幕后，某學(xué)校體育社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)其是否收看冬奧會(huì)進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生8020女生6040(1)根據(jù)上表說明，能否有99.5％的把握認(rèn)為，是否收看冬奧會(huì)與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了冬奧會(huì)的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取7人參加冰雪運(yùn)動(dòng)志愿宣傳活動(dòng)．若從這7人中隨機(jī)選取2人，求選取的2人中有1名男生1名女生的概率．附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有，理由見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)公式計(jì)算出即可判斷；(2)先求出選取的7人中，男生的人數(shù)和女生的人數(shù)，再將男女生編號(hào)，采用列舉法求概率即可.【詳解】(1)∵，∴有99.5％的把握認(rèn)為“是否收看冬奧會(huì)”與性別有關(guān).(2)采用按性別分層抽樣的方法，選取7人，則男生有人，女生有7－4＝3人，男生4人編號(hào)為a、b、c、d，女生3人編號(hào)為1、2、3，則從這7人里面選取2人有如下21種可能組合：，，，，12，13，23，其中有1名男生1名女生的組合有12種，故所求概率為：.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，對(duì)任意的數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出，再根據(jù)求出，進(jìn)而根據(jù)可求出；（2）根據(jù)，利用裂項(xiàng)求和法可求出，再利用單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，得，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，又，所以的取值范圍是.20．如圖，四邊形為正方形，若平面，，，．(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面，請(qǐng)說明理由；(2)求多面體的體積．【答案】(1)存在，理由見解析；(2).【分析】（1）在線段上取一點(diǎn)，使得，可證明四邊形是矩形，所以，由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，，再由線面垂直的判定定理可得面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）將多面體分割為四棱錐和三棱錐，由錐體的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】(1)存在這樣的點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，使平面平面，證明如下：在線段上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，面，所以面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊?，所以平面平?(2)在中，，，可求得，，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，面，所以面，所以即為四棱錐的高，所以，所以，，所以多面體的體積為．21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)M在橢圓C上移動(dòng)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A）.判斷是否為定值，若是，求出該定值；若否，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是，4【分析】（1）由離心率及的周長(zhǎng)列出方程組，解出與，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）設(shè)出，表達(dá)出直線，聯(lián)立橢圓方程，表達(dá)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出為4，得到答案.【詳解】(1)由題意得：離心率，由橢圓定義可得：的周長(zhǎng)為，解得：，，則.∴橢圓方程為.(2)，，設(shè)，，則，，，則直線，即，聯(lián)立，得，∵，∴，，∴，，∴.所以為定值4.22．已知函數(shù)在處的切線方程是．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)如果且．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程列出相應(yīng)的方程組，即可求得m,n的值，繼而根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得答案；（2）將要證明的不等式進(jìn)行變式，分情況考慮，①；②，①可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決，②要根據(jù)所給條件將展開，然后根據(jù)其展開的式子特點(diǎn)構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，加以解決.【詳解】(1)由得：，而函數(shù)在處的切線方程是，故，，聯(lián)立解得，故，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，即的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；(2)證明:由（1）可