高考數學一輪復習練案66第九章計數原理概率隨機變量及其分布第六講幾何概型含解析新人教版

一輪復習精品資料(高中)PAGEPAGE1第六講幾何概型A組基礎鞏固一、單選題1．(2021·遼寧省葫蘆島市模擬)某次測量發(fā)現一組數據(xi，yi)具有較強的相關性，并計算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中數據(1，y1)因書寫不清楚，只記得y1是〖0,3〗上的一個值，則該數據對應的殘差(殘差＝真實值－預測值)的絕對值不大于0.5的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗依題意可知，估計值為1＋1.5＝2.5，殘差為y1－2.5，依題意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率為eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故選C．2．(2021·云南昆明一中檢測)在區(qū)間〖0,8〗上隨機取一個實數a，則方程x2＋2ax＋16＝0有實數根的概率為(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它與0≤a≤8的公共元素為4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，選B.3．(2021·湖北武漢調研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗設MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.4.(2021·湖南湘潭模擬)如圖來自中國古代的木紋飾圖．若大正方形的邊長為6個單位長度，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，則在大正方形內隨機取一點，此點取自圖形中小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)〖〖解析〗〗因為大正方形的面積為6×6＝36；而小正方的面積為1×1＝1；故在大正方形內隨機取一點，大正方形內部有8個小正方形，此點取自圖形中小正方形內的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故選D.5．(2020·廣西河池期末)在區(qū)間〖4,12〗上隨機地取一個實數a，則方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗因為方程2x2－ax＋8＝0有實數根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故選D.6．(2021·貴州貴陽四校聯考)在區(qū)間〖－2,2〗隨機取一個數x，則事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”發(fā)生的概率為(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由題可知，該分段函數是一個增函數，y∈〖eq\f(1,2)，2〗，此時x∈〖－1,1〗，所以該事件發(fā)生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故選D.7．(2021·貴州貴陽模擬)若貴陽某路公交車起點站的發(fā)車時間為635,650,705，小明同學在640至705之間到達起點站乘坐公交車，且到達起點站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)〖〖解析〗〗640至705共25分鐘，小明同學等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是645至650和700至705到站，共10分鐘，所以所求概率為P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選C．8.(2021·山西太原模擬)七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．(清)陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)〖〖解析〗〗設正方形邊長為a，則其面積S＝a2，陰影部分面積S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故選：C．9.(2021·湖北省四校聯考)如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別對應平行，且各邊都被交點三等分，若往該圖案內投擲一點，則該點落在圖中陰影部分內的概率為(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗設六角星的中心點為O，分別將點O與兩個等邊三角形的六個交點連接起來，則將陰影部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故選C．10．(2021·武漢武昌區(qū)聯考)若從區(qū)間(0,2)內隨機取兩個數，則這兩個數的比不小于4的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗設這兩個數分別為x，y，則由條件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，則所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2021·河南三門峽模擬)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內有一內接正四棱錐S－ABCD，該四棱錐的體積為eq\f(4\r(2),3)，現在半球內任取一點，則該點在正四棱錐內的概率為(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)〖〖解析〗〗設球半徑為R，正四棱錐底面邊長為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故選A.12．(2021·安徽合肥質檢)若在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是半徑為1的圓，面積為π，且|x|＋|y|≤1滿足不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是邊長為eq\r(2)的正方形，面積為2，∴在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內的概率為eq\f(2,π)，故選B.二、多選題13．利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結果正確的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)〖〖解析〗〗由題意知A，B，C為互斥事件，故C正確；又因為從100件中抽取產品符合古典概型的條件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，則P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B，C正確；故D錯誤．故選ABC．14．(2018·課標Ⅰ卷改編)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(ACD)A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p1的最大值為eq\f(2,π＋2) D．p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)〖〖解析〗〗設AB＝c，AC＝b，則區(qū)域Ⅰ的面積S1＝eq\f(1,2)bc；區(qū)域Ⅲ的面積S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由幾何概型可知p1＝p2，故A正確；又整個區(qū)域的面積S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(當且僅當b＝c時取等號)，即p1的最大值為eq\f(2,π＋2)，C正確；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(當且僅當b＝c時取等號)，即p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)，D正確；顯然B錯．故選ACD.三、填空題15．(2021·福建漳州調研)在半徑為2的圓C內任取一點P，則以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)的概率為eq\f(3,4).〖〖解析〗〗由題可知，當且僅當弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1時，以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)，由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2021·河北衡水中學調研)有一個底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為eq\f(1,3).〖〖解析〗〗到點O1，O2距離為1的點是半徑為1的球面，所以所求概率為P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2021·廣東六校聯考)我國傳統(tǒng)的房屋建筑中，常會出現一些形狀不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構成種類繁多的圖案，如圖所示的窗欞圖案，是將半徑為R的圓六等分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內部構成的平面圖形，現在向該圓形區(qū)域內的隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在黑色部分(忽略圖中的白線)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).〖〖解析〗〗∵陰影部分面積為12×(eq\f(1,6)πR2－eq\f(R,2)×eq\f(\r(3)R,2))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飛鏢落在黑色部分的概率為eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故〖答案〗為2－eq\f(3\r(3),π).B組能力提升1.(2021·四川瀘州二診)我國三國時期的數學家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形，設直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內隨機取一點，則此點取自小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)〖〖解析〗〗設直角三角形較短的直角邊的邊長為a，則小正方形的邊長為2a，大正方形的邊長為eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故選D.2．(2021·四川達州診斷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中點，在矩形ABCD內(包括邊界)隨機取一點F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1發(fā)生的概率為(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)〖〖解析〗〗矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中點，在矩形ABCD內(包括邊界)隨機取一點F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1即：|eq\o(EF,\s\up6(→))|≤1，如圖所示：所以P＝eq\f(S陰影,S矩形)＝eq\f(\f(1,2)·π·12,2)＝eq\f(π,4).故選A.3.(2021·福建莆田質檢/安徽蕪湖模擬)中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術，蘊涵了極致的數學美和豐富的傳統(tǒng)文化信息．現有一幅剪紙的設計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內切于正方形的兩鄰邊．若在正方形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C．eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)〖〖解析〗〗分析題意可知，陰影部分剛好可以拼湊成一個圓形，設圓的半徑為R，該正方形的邊長為l，eq\r(2)l＝2(eq\r(2)R＋R)，∴l(xiāng)＝(2＋eq\r(2))R，∴所求概率P＝eq\f(πR2,2＋\r(2)2R2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故選A.4．(2021·河南階段測試)《九章算術·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”其中“解”字的意思是用一個平面對某幾何體進行切割．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，隨機在線段AC1上取一點，過該點作垂直于AC1的平面α，則平面α“解”正方體ABCD－A1B1C1D1所得的大、小兩部分體積之比大于5的概率為(D)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗如圖所示，由正方體的性質可知，AC1垂直于平面A1BD和平面CB1D1，設P和Q分別是平面A1BD和平面CB1D1與線段AC1的交點，易知VA1－ABD＝VC－C1B1D1＝eq\f(1,6)V正，當平面α取平面A1BD或平面CB1D1時，切割得到的大、小兩部分體積之比恰好為5，要滿足條件，應在線段AP或QC1上取點，而AP＝PQ＝QC1，所以所求的概率為eq\f(AP＋QC1,AC1)＝eq\f(2,3).5．(2021·湖北武漢武昌區(qū)調研)已知a，b是區(qū)間〖0,4〗上的任意實數，則函數f(x)＝ax2－bx＋1在〖2，＋∞)上單調遞增的概率為(D)A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)〖〖解析〗〗由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤4，,0≤b≤4，))函數f(x)在〖2，＋∞)上遞增?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤4，,\f(b,2a)≤2))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤4，,b≤4a))由圖可知所求概率P＝eq\f(16－2,16)＝eq\f(7,8).故選D.第六講幾何概型A組基礎鞏固一、單選題1．(2021·遼寧省葫蘆島市模擬)某次測量發(fā)現一組數據(xi，yi)具有較強的相關性，并計算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中數據(1，y1)因書寫不清楚，只記得y1是〖0,3〗上的一個值，則該數據對應的殘差(殘差＝真實值－預測值)的絕對值不大于0.5的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗依題意可知，估計值為1＋1.5＝2.5，殘差為y1－2.5，依題意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率為eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故選C．2．(2021·云南昆明一中檢測)在區(qū)間〖0,8〗上隨機取一個實數a，則方程x2＋2ax＋16＝0有實數根的概率為(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它與0≤a≤8的公共元素為4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，選B.3．(2021·湖北武漢調研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗設MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.4.(2021·湖南湘潭模擬)如圖來自中國古代的木紋飾圖．若大正方形的邊長為6個單位長度，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，則在大正方形內隨機取一點，此點取自圖形中小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)〖〖解析〗〗因為大正方形的面積為6×6＝36；而小正方的面積為1×1＝1；故在大正方形內隨機取一點，大正方形內部有8個小正方形，此點取自圖形中小正方形內的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故選D.5．(2020·廣西河池期末)在區(qū)間〖4,12〗上隨機地取一個實數a，則方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗因為方程2x2－ax＋8＝0有實數根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故選D.6．(2021·貴州貴陽四校聯考)在區(qū)間〖－2,2〗隨機取一個數x，則事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”發(fā)生的概率為(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)〖〖解析〗〗事件“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由題可知，該分段函數是一個增函數，y∈〖eq\f(1,2)，2〗，此時x∈〖－1,1〗，所以該事件發(fā)生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故選D.7．(2021·貴州貴陽模擬)若貴陽某路公交車起點站的發(fā)車時間為635,650,705，小明同學在640至705之間到達起點站乘坐公交車，且到達起點站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)〖〖解析〗〗640至705共25分鐘，小明同學等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是645至650和700至705到站，共10分鐘，所以所求概率為P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選C．8.(2021·山西太原模擬)七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．(清)陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)〖〖解析〗〗設正方形邊長為a，則其面積S＝a2，陰影部分面積S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故選：C．9.(2021·湖北省四校聯考)如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別對應平行，且各邊都被交點三等分，若往該圖案內投擲一點，則該點落在圖中陰影部分內的概率為(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)〖〖解析〗〗設六角星的中心點為O，分別將點O與兩個等邊三角形的六個交點連接起來，則將陰影部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故選C．10．(2021·武漢武昌區(qū)聯考)若從區(qū)間(0,2)內隨機取兩個數，則這兩個數的比不小于4的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)〖〖解析〗〗設這兩個數分別為x，y，則由條件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，則所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2021·河南三門峽模擬)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內有一內接正四棱錐S－ABCD，該四棱錐的體積為eq\f(4\r(2),3)，現在半球內任取一點，則該點在正四棱錐內的概率為(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)〖〖解析〗〗設球半徑為R，正四棱錐底面邊長為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故選A.12．(2021·安徽合肥質檢)若在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是半徑為1的圓，面積為π，且|x|＋|y|≤1滿足不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是邊長為eq\r(2)的正方形，面積為2，∴在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內的概率為eq\f(2,π)，故選B.二、多選題13．利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結果正確的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)〖〖解析〗〗由題意知A，B，C為互斥事件，故C正確；又因為從100件中抽取產品符合古典概型的條件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，則P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B，C正確；故D錯誤．故選ABC．14．(2018·課標Ⅰ卷改編)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(ACD)A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p1的最大值為eq\f(2,π＋2) D．p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)〖〖解析〗〗設AB＝c，AC＝b，則區(qū)域Ⅰ的面積S1＝eq\f(1,2)bc；區(qū)域Ⅲ的面積S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由幾何概型可知p1＝p2，故A正確；又整個區(qū)域的面積S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(當且僅當b＝c時取等號)，即p1的最大值為eq\f(2,π＋2)，C正確；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(當且僅當b＝c時取等號)，即p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)，D正確；顯然B錯．故選ACD.三、填空題15．(2021·福建漳州調研)在半徑為2的圓C內任取一點P，則以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)的概率為eq\f(3,4).〖〖解析〗〗由題可知，當且僅當弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1時，以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)，由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2021·河北衡水中學調研)有一個底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為eq\f(1,3).〖〖解析〗〗到點O1，O2距離為1的點是半徑為1的球面，所以所求概率為P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2021·廣東六校聯考)我國傳統(tǒng)的房屋建筑中，常會出現一些形狀不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構成種類繁多的圖案，如圖所示的窗欞圖案，是將半徑為R的圓六等分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內部構成的平面圖形，現在向該圓形區(qū)域內的隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在黑色部分(忽略圖中的白線)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).〖〖解析〗〗∵陰影部分面積為12×(eq\f(1,6)πR2－eq\f(R,2)×eq\f(\r(3)R,2))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飛鏢落在黑色部分的概率為eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故〖答案〗為2－eq\f(3\r(3),π).B組能力提升1.(2021·四川瀘州二診)我國三國時期的數學家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形，設直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內隨機取一點，則此點取自小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)〖〖解析〗〗設直角三角形較短的直角邊的邊長為a，則小正方形的邊長為2a，大正方形的邊長為eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故選D.2．(2021·四川達州診斷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中點，在矩形ABCD內(包括邊界)隨機取一點F，事件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1發(fā)生的概率為(A)A．eq