新高考一輪復習導學案第70講 圓錐曲線中的定值問題（微專題）（解析版）

第70講圓錐曲線中的定值問題題型一圓錐曲線中面積為定值問題例1、（2022·山東青島·高三期末）已知SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)若點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，證明：SKIPIF1<0的面積為定值.【解析】(1)由橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，將SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，①②聯(lián)立解得SKIPIF1<0，②故橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.(2)證明：設(shè)SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，即SKIPIF1<0，由原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，可知SKIPIF1<0故可得此時有SKIPIF1<0，該點在橢圓上，則SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，則此時SKIPIF1<0;當直線SKIPIF1<0斜率存在時，不妨設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，且需滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以y1由原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心知，x0=?(x1+x2),y故SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，代入到SKIPIF1<0中，化簡得：(8km1+4k又原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63綜合上述可知：SKIPIF1<0的面積為定值.變式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一動點，若線段SKIPIF1<0的垂直平分線與線段SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0．(1)求點SKIPIF1<0的軌跡方程；(2)已知SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0的軌跡上三個點（SKIPIF1<0不在坐標軸上），且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)由已知有SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，其中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．變式2、（2021·湖北武漢市高三模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線所成的銳角為60°，且點P（2，3）為E上一點．（1）求E的標準方程；（2）設(shè)M為E在第一象限的任一點，過M的直線與E恰有一個公共點，且分別與E的兩條漸近線交于點A，B，設(shè)O為坐標原點，證明：△AOB面積為定值．【分析】（1）由題得SKIPIF1<0．再分類討論即得E的標準方程；（2）設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線方程得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，化簡△AOB面積即得解.【解析】（1）由題意，雙曲線在一三象限的漸近線的傾斜角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，E的標準方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，無解．當SKIPIF1<0時，E的標準方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故E的標準方程為SKIPIF1<0．（2）直線斜率顯然存在，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立得：SKIPIF1<0．由題意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，解得SKIPIF1<0；與SKIPIF1<0聯(lián)立，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面積為定值SKIPIF1<0．題型二圓錐曲線中線段為定值問題例2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的焦點，且焦點到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的右頂點，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明：存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見解析【分析】（1）由已知可設(shè)，雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；（2）對直線的斜率能否為0進行討論.斜率不為0時，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時，在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗證即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的焦點，所以SKIPIF1<0.因為焦點到漸近線的距離為2，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0（2）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且均滿足SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，與已知矛盾；當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0②當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，由對稱性，不妨設(shè)DE方程為：y=x-1，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，SKIPIF1<0為該圓的圓心,SKIPIF1<0為該圓的半徑，故存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.變式1、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足．證明：存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值．【解析】（1）由題意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故橢圓方程為：SKIPIF1<0.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0斜率存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，代入橢圓方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化簡得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線過定點直線過定點SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此時直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合，則由題設(shè)知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜邊，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0，故存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.變式2、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知拋物線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于兩點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右焦點，直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0點），直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0兩點.(1)設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是定值；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的兩個交點，顯然直線SKIPIF1<0不垂直y軸，點SKIPIF1<0，故設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為定值.（2）由（1）知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得點SKIPIF1<0的橫坐標SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得點SKIPIF1<0的橫坐標SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.變式3、（2022·江蘇如東·高三期末）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，離心率為e，且點(e，3)，(SKIPIF1<0，b)都在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若A，B是雙曲線C上位于x軸上方的兩點，且AF1//BF2.證明：SKIPIF1<0為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入雙曲線方程，解出SKIPIF1<0，得到答案.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得出SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0中由余弦定理可得處SKIPIF1<0，同理得出SKIPIF1<0的長，從而可得答案.(1)由點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以雙曲線的方程為：SKIPIF1<0(2)由AF1//BF2，設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，如圖，連接SKIPIF1<0由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中由余弦定理可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為定值.題型三圓錐曲線中斜率為定值問題例3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個點在橢圓SKIPIF1<0，橢圓外一點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為坐標原點）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率之積為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)向量關(guān)系用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入橢圓方程即可求解；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定值.變式1、（2022·新疆·三模）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)不過點SKIPIF1<0的直線l與C相交于A，B兩點，直線TA，TB分別與x軸交于M，N兩點，且SKIPIF1<0．求證直線l的斜率是定值，并求出該定值．【解析】(1)解：由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓C的方程為SKIPIF1<0；(2)解：當直線l的斜率不存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0，設(shè)l與C相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0分別與x軸相交于兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，與已知矛盾，故直線l斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，不合題意，故舍去．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即直線l的斜率是定值．變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的兩條漸近線互相垂直，且過點SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為雙曲線的左頂點，直線SKIPIF1<0過坐標原點且斜率不為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0軸上一點SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0），且與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不在坐標軸上）兩點，若直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積為定值，求點SKIPIF1<0的坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程求出SKIPIF1<0的值即可求解；（2）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所表示的點SKIPIF1<0的坐標，同理可得利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所表示的點SKIPIF1<0的坐標，將SKIPIF1<0整理為關(guān)于SKIPIF1<0的方程，由對于任意的SKIPIF1<0恒成立列出等價條件即可求解.(1)由SKIPIF1<0可得漸近線方程為：SKIPIF1<0，因為兩條漸近線互相垂直，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0軸上一點SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0），且與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0，SK