正余弦定理典型例題及解析

正余弦定理的應用的典型例題五大命題熱點：求解斜三角形中的根本元素例1(2005年全國高考湖北卷)在ΔABC中，，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀．例2(2005年北京春季高考題)在中，，那么一定是〔〕A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解決與面積有關問題例3(2005年全國高考上海卷)在中，假設，，，那么的面積S＝_________求值問題例4(2005年全國高考天津卷)在中，所對的邊長分別為，設滿足條件和，求和的值．正余弦定理解三角形的實際應用=1\*GB3①測量問題；圖1ABCD例5如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物C，測得∠CAB=30°，∠圖1ABCD=2\*GB3②遇險問題例6某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。假設此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？西西北南東ABC30°15°圖2=3\*GB3③追擊問題圖3ABC北45°15°例7圖3ABC北45°15°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，假設甲船以28nmile/h的速度航行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？答案：例1分析：此題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：設E為BC的中點，連接DE，那么DE//AB，且，設BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，〔舍去〕故BC=2，從而，即又，故，例2解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．應選(B)．解法2：由題意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴＝，即a2＝b2，得a＝b，應選(B)．評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)．例3解：分析：此題只需由余弦定理，求出邊AC，再運用面積公式S＝AB?ACsinA即可解決．由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．∴S＝AB?ACsinA＝．∴AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB?sinA＝，應選(A)．例4分析：此題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180－∠A－∠B=120－∠B.由條件，應用正弦定理解得從而例5分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。例6解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S在東30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC⊥直線AB，垂足為C，那么SC=15sin30°=7.5。這說明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。例7解析：設用th，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設∠ABC=α，∠BAC=β。∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理，，，〔4t－3〕〔32t+9〕=0，解得t=，t=〔舍〕∴AC=28×=21nmile，BC=20×=