2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學試卷含答案

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2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學試卷

一、單項選擇題（本題10個小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A． B．

C． D．

2．（3分）下列計算正確的是（）

A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3

C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝

3．（3分）由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）

A．1種 B．2種 C．3種 D．4種

4．（3分）某校八年級3班承擔下周學校升旗任務，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學中，選擇兩名擔任升旗手，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是（）

A． B． C． D．

5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

6．（3分）一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）

A．20% B．22% C．25% D．28%

7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點D，與AC邊交于點F，與OA交于點E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）

A． B． C． D．

9．（3分）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點E，則線段EN的長為（）

A．8cm B． C． D．

10．（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，根據(jù)圖象判斷以下結論：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線y＝﹣cx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個交點（m，n）（m≠0），則m＝．其中正確的結論是（）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

二、填空題（本題8個小題，每小題3分，共24分）

11．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是

12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，CF∥AB，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）

13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝．

14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長為．

15．（3分）已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．

16．（3分）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．

17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為．

18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE分別交BD、CD于點F、M，過點F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點N、P，連接MP．下列四個結論：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中點，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CE＝BC．其中正確的結論是．

三、解答題（共66分）

19．先化簡，再求值：÷（x﹣），并從﹣1，0，1，2，3中選一個合適的數(shù)代入求值．

20．如圖，某數(shù)學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC，對垂直于地面CD的建筑物AD的高度進行測量，BC⊥CD于點C．在B處測得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至FG處，F(xiàn)G⊥CD于點G，測得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長線交AD于點E，求建筑物AD的高度（結果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

21．某校為掌握學生對垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學生進行調(diào)查問卷，并將收集到的信息進行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查共抽取了名學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“了解較少”所對應的圓心角度數(shù)；

（3）若全校共有1200名學生，請估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題．

22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對角線BD，CE交于點O，連接OA，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．

23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為．

24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數(shù)關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：

（1）甲車行駛的速度是km/h，并在圖中括號內(nèi)填上正確的數(shù)；

（2）求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）請直接寫出兩車出發(fā)多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

25．數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．

（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝．

26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準備在該地購進特級鮮品、特級干品兩種猴頭菇，購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請解答下列問題：

（1）特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元？

（2）某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元，特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，購進猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請直接寫出商店的進貨方案．

27．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+b與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，線段OA的長是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一個根．請解答下列問題：

（1）求點D的坐標；

（2）若線段BC的垂直平分線交直線AD于點E，交x軸于點F，交BC于點G，點E在第一象限，，連接BE，求tan∠ABE的值；

（3）在（2）的條件下，點M在直線DE上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1：2的直角三角形？若存在，請直接寫出△EMN的個數(shù)和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（本題10個小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A． B．

C． D．

【分析】中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重臺，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)定義依次對各個選項進行判斷即可．

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：C．

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形定義是解題關鍵．

2．（3分）下列計算正確的是（）

A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3

C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝

【分析】根據(jù)單項式乘單項式的法則、分式的乘除法法則、整式的除法法則以及負整數(shù)指數(shù)冪法則進行解題即可．

【解答】解：A、2a3?a2＝2a5，故該選項是錯誤的；

B、，故該選項是錯誤的；

C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故該選項是錯誤的；

D、，故該選項是正確的；

故選：D．

【點評】本題考查單項式乘單項式、分式的乘除法、整式的除法以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

3．（3分）由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）

A．1種 B．2種 C．3種 D．4種

【分析】根據(jù)小正方體一共5個，以及主視圖和左視圖，畫出俯視圖即可．

【解答】解：由主視圖可知，左側一列最高一層，右側一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，

故選：C．

【點評】本題考查了三視圖，解題的關鍵是理解三視圖的定義．

4．（3分）某校八年級3班承擔下周學校升旗任務，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學中，選擇兩名擔任升旗手，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是（）

A． B． C． D．

【分析】根據(jù)列表法或者樹狀圖分析出所有可能的結果，然后根據(jù)概率公式求出結果即可．

【解答】解：列表如下：

甲

乙

丙

丁

甲

﹣

（甲，乙）

（甲，丙）

（甲，?。?/p>

乙

（乙，甲）

﹣

（乙，丙）

（乙，?。?/p>

丙

（丙，甲）

（丙，乙）

﹣

（丙，丁）

丁

（丁，甲）

（丁，乙）

（丁，丙）

﹣

由列表可知，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩名同學同時被選中的情況有2種，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是．

故選：A．

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵要明確在畫樹狀圖或列表法求概率時，列表適用于兩個因素的問題，三個或三個以上因素的問題只能用樹狀圖．

5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

【分析】連接AC，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補得到答案．

【解答】解：如圖，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BEC＝20°，

∴∠CAB＝∠BEC＝20°，

∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，

故選：B．

【點評】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．

6．（3分）一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）

A．20% B．22% C．25% D．28%

【分析】設每次降價的百分率為x，根據(jù)原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，列出方程進行求解即可．

【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意，得：

48（1﹣x）2＝27，

解得：（舍去）；

故選：C．

【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，解答本題的關鍵是找準等量關系，列出一元二次方程．

7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數(shù)是（）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【分析】根據(jù)前幾個圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含n的代數(shù)式表示出第n個圖形中三角形的個數(shù)，從而可求第674個圖形中三角形的個數(shù)．

【解答】解：第1個圖案有4個三角形，即4＝3×1+1，

第2個圖案有7個三角形，即7＝3×2+1，

第3個圖案有10個三角形，即10＝3×3+1，

…，

按此規(guī)律擺下去，第n個圖案有（3n+1）個三角形，

則第674個圖案中三角形的個數(shù)為：3×674+1＝2023（個）．

故選：B．

【點評】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律．

8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點D，與AC邊交于點F，與OA交于點E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）

A． B． C． D．

【分析】過點E作EM⊥OC，則EM∥OB，設，由△OME∽△OCA，可得，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四邊形ODAF，列方程，即可得出k的值．

【解答】解：過點E作EM⊥OC，則EM∥OB，

∴△OME∽△OCA，

∴，

設，

∵OE＝2AE，

∴，

∴，

∴，

即，解得：，

故選：D．

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關鍵．

9．（3分）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點E，則線段EN的長為（）

A．8cm B． C． D．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出∠ANM＝∠D′AN，進而得出EA＝AN，設EA＝AN＝xcm，則EM＝（12﹣x）cm，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，列出方程求解即可．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝10cm，

由折疊可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN，

∴四邊形AMND是矩形，

∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm，

∴∠DAN＝∠ANM，

∴∠ANM＝∠D′AN，

∴EA＝EN，

設EA＝EN＝xcm，則EM＝（12﹣x）cm，

在Rt△AME中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，

即52+（12﹣x）2＝x2，

解得：，

即，

故選：B．

【點評】本題考查了矩形的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．

10．（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，根據(jù)圖象判斷以下結論：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線y＝﹣cx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個交點（m，n）（m≠0），則m＝．其中正確的結論是（）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

【分析】根據(jù)題意得到拋物線的解析式為y＝ax2+2ax﹣3a，即可得到b＝2a，c＝﹣3a，代入即可判斷①；根據(jù)﹣3＜﹣3a＜﹣2判斷②；把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把b＝2a，c＝﹣3a代入解方程求出m的值判斷④．

【解答】解：設拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

∴b＝2a，c＝﹣3a，

∴abc2＝a?2a?（﹣3a）2＝18a4＞0，故①正確；

∵點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，

∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即，

∴，故②正確；

∵，

∴，即，

∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0，

又∵x1≠x2，

∴x1+x2＝2，故③錯誤；

∵令y相等，則，

∴，解得x1＝0（舍），，

∴，故④正確；

故選：A．

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元一次方程的關系，掌握二次函數(shù)和一元一次方程的關系是解題的關鍵，

二、填空題（本題8個小題，每小題3分，共24分）

11．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥﹣3且x≠0

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．

【解答】解：根據(jù)題意得：，

解得x≥﹣3且x≠0．

故答案為x≥﹣3且x≠0．

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．考查的知識點為：分式有意義，分母不為0，二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)．

12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，CF∥AB，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件DE＝EF，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）

【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．

【解答】解：∵CF∥AB，

∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，

∴添加條件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS），

添加條件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA），

故答案為：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．

【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．

13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝2．

【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點的坐標代入得到2a﹣b＝3，再整體代入變形后代數(shù)式即可．

【解答】解：拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后得到y(tǒng)＝ax2+bx+3﹣5＝ax2+bx﹣2，

把點（﹣2，4）代入得到，4＝a×（﹣2）2﹣2b﹣2，

得到2a﹣b＝3，

∴6a﹣3b﹣7＝3（2a﹣b）﹣7＝3×3﹣7＝2，

故答案為：2．

【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關鍵．

14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長為．

【分析】由垂徑定理得，設⊙O的半徑為r，則OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．

【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝6，

∴，

設⊙O的半徑為r，則OE＝OB﹣EB＝r﹣1，

在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，

解得：r＝5，

∴OA＝5，OE＝4，

∴AE＝OA+OE＝9，

在Rt△AEC中，由勾股定理得：，

故答案為：．

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．

15．（3分）已知一組正整數(shù)a，1，b，b，3有唯一眾數(shù)8，中位數(shù)是5，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5．

【分析】根據(jù)眾數(shù)、算術平均數(shù)和中位數(shù)的概念求解．

【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)8，

∴b為8，

∵中位數(shù)是5，

∴a是5，

∴這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

故答案為：5．

【點評】本題考查了眾數(shù)、算術平均數(shù)和中位數(shù)的知識．熟練掌握眾數(shù)、算術平均數(shù)和中位數(shù)的概念是解題的關鍵．

16．（3分）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為﹣1．

【分析】表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．

【解答】解：，

化簡得：，

去分母得：x＝3（x﹣1）+mx，

移項合并得：（2+m）x＝3，

解得：，

由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+m＝1或2+m＝3，

解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，會使得分式無意義）．

故答案為：﹣1．

【點評】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為13或．

【分析】當CE＞BE時，利用三角形中位線定理求得CE＝12，再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得DE的長，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當CE＜BE時，同理求解即可．

【解答】解：當CE＞BE時，如圖，

∵矩形ABCD，

∴點O是BD的中點，

∵點P是DE的中點，

∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，

∵點E是BC邊的三等分點，

∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18，

∵矩形ABCD的面積是90，

∴BC×CD＝90，

∴CD＝5，

∴，

∴PC+PE＝DE＝13；

當CE＜BE時，如圖2，

∵矩形ABCD，

∴點O是BD的中點，

∵點P是DE的中點，

∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，

∵點E是BC邊的三等分點，

∴，BC＝3+6＝9，

∵矩形ABCD的面積是90，

∴BC×CD＝90，

∴CD＝10，

∴，

∴；

故答案為：13或．

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關鍵是熟練運用分類討論思想解決問題．

18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE分別交BD、CD于點F、M，過點F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點N、P，連接MP．下列四個結論：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中點，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CE＝BC．其中正確的結論是①②③⑤．

【分析】如圖1，作PG⊥AD于G，則四邊形ABPG是矩形，證明△PGN≌△ADM（ASA），則AM＝PN，可判斷①的正誤；如圖2，作HF⊥DF交AD于H，連接CF，證明△ABF≌△CBF（SAS），則AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，由∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，可得∠BAF＝∠FPC，PF＝CF＝AF，F(xiàn)N＝FM，證明△HFN≌△DFM（SAS），則HN＝DM，由勾股定理得，，由DH＝HN+DN＝DM+DN，可得，可判斷②的正誤；如圖3，連接AP，由勾股定理得，，，可求，設EM＝x，則，BE＝3+x，由勾股定理得，，由，可得，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，可求滿足要求的解為x＝6，則，BE＝9，由，可得，可求，可判斷③的正誤；由題意知，∠BPF＞90°，△BPF、△NFA不相似，BF?NF≠AF?BP，可判斷④的正誤；由設PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，則DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，證明△AFN≌△PFM（SAS），則，證明△AMD∽△EDC，則，即，可求，同理，△ANF∽△EPF，則，即，同理，△DMF∽△BAF，則，即，可得，將代入得，，整理得，，可得，，則，可判斷⑤的正誤．

【解答】解：∵正方形ABCD，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，

如圖，作PG⊥AD于G，則四邊形ABPG是矩形，

∴PG＝AB＝AD，

∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，

∴∠GPN＝∠DAM，

又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，

∴△PGN≌△ADM（ASA），

∴AM＝PN，①正確，故符合要求；

如圖，作HF⊥DF交AD于H，連接CF，

∴∠DHF＝45°＝∠ADB，

∴DF＝HF，

∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，

∴△ABF≌△CBF（SAS），

∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，

∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，

∴∠BAF＝∠FPC，

∴∠BCF＝∠FPC，

∴PF＝CF＝AF，

∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM，

∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，

∴∠HFN＝∠DFM，

∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，F(xiàn)N＝FM，

∴△HFN≌△DFM（SAS），

∴HN＝DM，

由勾股定理得，，

∵DH＝HN+DN＝DM+DN，

∴，②正確，故符合要求；

∵P是BC中點，AB＝3，

∴，

如圖，連接AP，

由勾股定理得，，，

解得，，

設EM＝x，則，BE＝3+x，

由勾股定理得，，

∵，

∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，

解得，x＝6或x＝﹣4（舍去），

∴，BE＝9，

∵，

∴，

解得，，③正確，故符合要求；

由題意知，∠BPF＞90°，

∴△BPF、△NFA不相似，BF?NF≠AF?BP，④錯誤，故不符合要求；

∵PM∥BD，

∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°，

設PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，則DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，

∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，F(xiàn)N＝FM，

∴△AFN≌△PFM（SAS），

∴，

∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，

∴△AMD∽△EDC，

∴，即，

解得，，

同理，△ANF∽△EPF，

∴，即，

同理，△DMF∽△BAF，

∴，即，

∴，

將代入得，，整理得，，

解得，，

∴，⑤正確，故符合要求；

故答案為：①②③⑤．

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．

三、解答題（共66分）

19．先化簡，再求值：÷（x﹣），并從﹣1，0，1，2，3中選一個合適的數(shù)代入求值．

【分析】先計算括號內(nèi)的減法，再計算除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的值代入計算即可得．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝．

∵x≠0且x≠3，

∴x＝﹣1或x＝1或x＝2．

當x＝﹣1時，原式＝．

【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．

20．如圖，某數(shù)學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC，對垂直于地面CD的建筑物AD的高度進行測量，BC⊥CD于點C．在B處測得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至FG處，F(xiàn)G⊥CD于點G，測得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長線交AD于點E，求建筑物AD的高度（結果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【分析】由題意可得四邊形BEDC是矩形，則DE＝BC＝1.5m．解直角三角形得到，進而得到，據(jù)此求出AE即可得到答案．

【解答】解：根據(jù)題意可知四邊形BEDC是矩形，

∴DE＝BC＝1.5m．

如圖，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．

∵，

∴．

∵BE＝EF+BF，

∴

∴AE≈16．

∴AD＝AE+DE＝17.5（米）

答：建筑物AD的高度約為17.5米．

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．

21．某校為掌握學生對垃圾分類的了解情況，在全校范圍內(nèi)抽取部分學生進行調(diào)查問卷，并將收集到的信息進行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查共抽取了50名學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“了解較少”所對應的圓心角度數(shù)；

（3）若全校共有1200名學生，請估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題．

【分析】（1）用A、C、D的總人數(shù)除以所占比例即可求解；

（2）先用360°×“了解較少”的占比，用總人數(shù)減去A、C、D的人數(shù)即可得B的人數(shù)，據(jù)此即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用樣本估算總體即可．

【解答】解：（1）這次被調(diào)查的學生人數(shù)為：（20+8+5）÷（1﹣34%）＝50（名）；

（2）“了解較少”所對應的圓心角度數(shù)為：，

50×34%＝17（人）

補全圖形如下：

（3）（名），

估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題有480名．

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對角線BD，CE交于點O，連接OA，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．

【分析】分兩種情況討論，作OF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求得CF的長，再利用三角形面積公式即可求解．

【解答】解：當∠CBE＝60°時，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，

∵菱形BCDE，∠CBE＝60°，

∴∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°，

∵BC＝12，

∴，

∵∠OCB＝60°，

∴∠COF＝30°，

∴，

∴△AOC的面積為；

當∠BCD＝60°時，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，如圖2，

∵菱形BCDE，∠BCD＝60°，

∴∠COB＝90°，∠BCO＝30°，

∵BC＝12，

∴，，

∴，，

∴△AOC的面積為；

綜上，△AOC的面積為12或36．

【點評】本題考查了作圖v﹣復雜作圖，三角形的面積，含30度角的直角三角形，菱形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是熟練運用分類討論思想解決問題．

23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為．

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）先求出直線BC的解析式，然后過點P作PD⊥x軸交BC于點D，設點P的坐標為，則點D的坐標為，根據(jù)求出面積的最大值，然后求高PN即可．

【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：

，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）令y＝0，則，

解得：x1＝﹣1，x2＝6，

∴點B的坐標為（6，0），

∴，

設直線BC的解析式為y＝mx+n，代入得：

，

解得，

∴直線BC的解析式為，

過點P作PD⊥x軸交BC于點D，如圖，

設點P的坐標為，則點D的坐標為，

∴，

∴，

∴△PBC最大為，

∴，

故答案為：．

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．

24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數(shù)關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：

（1）甲車行駛的速度是70km/h，并在圖中括號內(nèi)填上正確的數(shù)；

（2）求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）請直接寫出兩車出發(fā)多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【分析】（1）利用時間、速度、路程之間的關系求解；

（2）利用待定系數(shù)法求解；

（3）先求出A、B、C兩兩之間的距離和乙車的速度，設兩車出發(fā)x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后兩種情況，列一元一次方程分別求解即可．

【解答】解：（1）由圖可知，甲車小時行駛的路程為（200﹣180）km，

∴甲車行駛的速度是，

70×（4+）＝300（km），

填圖如下：

故答案為：70；

（2）由圖可知E，F(xiàn)的坐標分別為，（4，180），

設線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y＝kx+b，

則，

解得，

∴線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y＝120x﹣300；

（3）由題意知，A、C兩地的距離為：，

乙車行駛的速度為：，

C、B兩地的距離為：50×4＝200（km），

A、B兩地的距離為：300﹣200＝100（km），

設兩車出發(fā)x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，

分兩種情況，當甲乙相遇前時：

200﹣50x＝3（100﹣70x），

解得；

當甲乙相遇后時：

200﹣50x＝3（70x﹣100），

解得；

綜上可知，兩車出發(fā)或時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【點評】本題考查一次函數(shù)的實際應用，一元一次方程的實際應用，求出A、B、C兩兩之間的距離是解題的關鍵．

25．數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．

（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數(shù)量關系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝10或18．

【分析】（1）在AB邊上截取AM＝EF，連接DM，根據(jù)題意證明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后證明出△BMD是等邊三角形，得到BD＝BM＝DM，進而求解即可；

（2）圖②：在BD上取點H，使BH＝AB，連接AH并延長到點G使AG＝AF，連接DG，首先證明出△ABH是等邊三角形，得到∠BAH＝60°，然后求出∠BAH＝∠DAE，然后證明出△FAE≌△GAD（SAS），得到EF＝DG，∠AFE＝∠G，然后證明出△DHG是等邊三角形，得到DH＝DG＝EF，進而求解即可；

圖③：在EF上取點H使AH＝AF，同理證明出△EAH≌△ADB（AAS），得到BD＝AH，AB＝EH，進而求解即可；

（3）根據(jù)勾股定理和含30°角直角三角形的性質(zhì)求出BC＝6，AB＝12，然后結合CD＝2BD，分別（1）（2）的條件下求出BD的長度，進而求解即可．

【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．在AB邊上截取AM＝EF，連接DM．如圖1，

∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．

∵EF∥BC，

∴∠EFB＝∠B＝60°．

又∵∠EAD＝60°，

∴∠EFB＝∠EAD．

又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，

∴∠BAD＝∠AEF．

又∵AD＝AE，AM＝EF，

∴△DAM≌△AEF（SAS）．

∴AF＝DM．

∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．

∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．

∵∠B＝60°，

∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．

∴△BMD是等邊三角形．

∴BD＝BM＝DM，

∵AB＝AM+BM，

∴AB＝EF+BD；

（2）解：圖②：AB＝BD﹣EF，證明如下：

如圖2.1所示，在BD上取點H，使BH＝AB，連接AH并延長到點G使AG＝AF，連接DG，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABH是等邊三角形，

∴∠BAH＝60°，

∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，

∴∠DAE＝60°，AE＝AD，

∴∠BAH＝∠DAE，

∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，

又∵AG＝AF，

∴△FAE≌△GAD（SAS），

∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，

∵BD∥EF，

∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，

∵∠DHG＝∠AHB＝60°，

∴△DHG是等邊三角形，

∴DH＝DG＝EF，

∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；

圖③：AB＝EF﹣BD，證明如下：

如圖2.2所示，在EF上取點H使AH＝AF，

∵EF∥BC，

∴∠F＝∠ABC＝60°，

∵AH＝AF，

∴△AHF是等邊三角形，

∴∠AHF＝∠HAF＝60°，

∴∠AHE＝120°，

∵將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，

∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，

∴∠D＝∠EAH，

∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，

又∵AD＝AE，

∴△EAH≌△ADB（AAS），

∴BD＝AH，AB＝EH，

∵AH＝FH，

∴BD＝HF，

∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；

（3）解：如圖3.1所示，

∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，

∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，

∴，

∴BC＝6，

∴AB＝2BC＝12，

∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，

∴，

由（1）可知，BD+EF＝AB，

∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；

如圖3.2所示，當點D在線段BC的延長線上時，

∵CD＜BD，與CD＝2BD矛盾，

∴不符合題意；

如圖3.3所示，當點D在線段CB的延長線上時，

∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，

∴BD＝BC＝6，

由（2）可知，AB＝EF﹣BD，

∵AB＝2BC＝12，

∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．

綜上所述，EF＝10或18，

故答案為：10或18．

【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握以上知識點．

26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準備在該地購進特級鮮品、特級干品兩種猴頭菇，購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請解答下列問題：

（1）特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元？

（2）某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元，特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，購進猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請直接寫出商店的進貨方案．

【分析】（1）設特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價分別是x元和y元，根據(jù)“購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元”，列出方程組求解即可；

（2）設商店計劃購進特級鮮品猴頭菇m箱，則購進特級干品猴頭菇（80﹣m）箱，根據(jù)“獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，”分別列出不等式求解即可；

（3）分別根據(jù)（2）中三種方案分別求解即可．