七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專(zhuān)題 二元一次方程組的同解、錯(cuò)解、參數(shù)等問(wèn)題（解析版）

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》專(zhuān)題二元一次方程組的同解、錯(cuò)解、參數(shù)等問(wèn)題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問(wèn)題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問(wèn)題【例題1】（2022?天津模擬）已知x=?1y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m﹣A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4【分析】將x和y的值代入方程組即可求出m和n的值，進(jìn)而可得m﹣n的值．【解答】解：因?yàn)閤=?1y=1是二元一次方程組3x+2y=m所以m＝﹣3+2＝﹣1，﹣n﹣1＝1，n＝﹣2，所以m﹣n＝﹣1+2＝1．則m﹣n的值為1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．【變式1-1】（2022春?商水縣期末）已知x=?2y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m+A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4【分析】把方程組的解代入方程組得到關(guān)于m，n的方程組，求出m，n的值，代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：把方程組的解代入方程組得?6+2=m?2n?1=1解得m=?4n=?1∴m+n＝﹣4﹣1＝﹣5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，把把方程組的解代入方程組得到關(guān)于m，n的方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?青島期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?y=43x+b=4的解是x=2y=?2，則a+A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】將x=2y=?2代入二元一次方程組ax?y=4【解答】解：將x=2y=?2代入二元一次方程組ax?y=4得2a+2=46+b=4解得a=1b=?2所以a+b＝1﹣2＝﹣1，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，熟悉二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?永川區(qū)期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則m+3A．9 B．6 C．5 D．12【分析】將x=2y=1代入二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1，再求m+3【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8∴2m+n=8①2n?m=1②①+②得，m+3n＝9，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組與二元一次方程組的關(guān)系，用整體思想解題是關(guān)鍵．【變式1-4】（2022春?鳳慶縣期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則A．±2 B．2 C．4 D．2【分析】將x=2y=1代入mx+ny=8nx?my=1解得m=3n=2【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8∴2m+n=8①2n?m=1②由①得，n＝8﹣2m③，將③代入②得，m＝3，將m＝3代入③得，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，∴2m?n的算術(shù)平方根為2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系，會(huì)求算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022春?平輿縣期中）關(guān)于x，y的方程組2x?ay=1bx+y=5的解是x=2y=1，則6a﹣A．4 B．±4 C．3 D．±【分析】將x=2y=1代入原方程組，可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之可得出a，b的值，將其代入6a﹣b中，可求出6a﹣b的值，再求出6a﹣b【解答】解：將x=2y=1代入原方程組得：2×2?a=1解得：a=3b=2∴6a﹣b＝6×3﹣2＝16，∴6a﹣b的平方根是±4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解以及平方根，代入方程組的一組解，求出a，b值是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）小亮求得方程組2x+y=●2x?y=12的解為x=5A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，進(jìn)而求出●的值，即可得到答案．【解答】解：∵方程組2x+y=●2x?y=12的解為x=5∴把x＝5代入2x﹣y＝12，得2×5﹣y＝12，解得y＝﹣2，把x＝5，y＝﹣2代入2x+y＝●，得2×5﹣（﹣2）＝●，即●＝8，∴這兩個(gè)數(shù)分別為：8和﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解能夠滿(mǎn)足各個(gè)方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2022春?武山縣校級(jí)月考）關(guān)于x、y的方程組3x?y=mx+my=n的解是x=1y=?1，則|m﹣n|的值是【分析】將x＝1，y＝1代入方程組求出m與n的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：將x＝1，y＝1代入方程組得：m=21+m=n解得：m＝2，n＝3，則|m﹣n|＝|2﹣3|＝1．故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式1-8】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝m，x=1y=a+8和x=2a（1）求a的值；（2）x=by=b也是該方程的一個(gè)解，求b【分析】（1）根據(jù)解得定義，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，進(jìn)而求出a＝8；（2）將a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的兩個(gè)解，進(jìn)而確定m的值，代入求出b的值即可．【解答】解：（1）∵x=1y=a+8和x=2ay=1都是關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝∴1+a+8＝m，2a+1＝m，解得a＝8；（2）當(dāng)a＝8時(shí)，二元一次方程的解為x=1y=16和x=16∴m＝x+y＝17，又∵x=by=b也是x+y∴b+b＝17，即b=17【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程（組）的解，理解解的定義是正確解答的前提．【變式1-9】（2022春?東莞市校級(jí)期中）已知方程組ax?by=?4bx+ay=?8的解為x=2（1）求a、b的值；（2）求a﹣b的值及其算術(shù)平方根．【分析】（1）將x=2y=?2代入方程組可得一個(gè)關(guān)于a，b（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果求出a﹣b的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)即可得結(jié)果．【解答】解：（1）∵方程組ax?by=?4bx+ay=?8的解為x=2∴2a+2b=?42b?2a=?8，即2a+2b=?4①由①+②得：4b＝﹣12，解得b＝﹣3，將b＝﹣3代入①得：2a﹣6＝﹣4，解得a＝1，故a＝1，b＝﹣3．（2）由（1）已得：a＝1，b＝﹣3，則a﹣b＝1﹣（﹣3）＝4，∵22＝4，∴a﹣b的算術(shù)平方根為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組和算術(shù)平方根，熟練掌握方程組的解法和算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二二元一次方程（組）同解問(wèn)題題型二二元一次方程（組）同解問(wèn)題【例題2】（2021秋?昌圖縣期末）已知方程組5x+y=3x?2y=5和ax+2y=12x+by=8有相同的解，則a，為（）A．a(chǎn)＝﹣5，b＝3 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣5 C．a(chǎn)＝5，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝5【分析】先求出方程組5x+y=3x?2y=5的解，再代入方程組ax+2y=12x+by=8可得關(guān)于a、【解答】解：解方程組5x+y=3x?2y=5，得x=1代入代入方程組ax+2y=12x+by=8，得a?4=1解得a＝5，b＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程組的解法，正確理解題意，然后根據(jù)題意得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?禹州市期末）已知關(guān)于x，y的方程組4x+y=?5ax?by=1和3x?y=?93ax+2by=18有相同的解，則a2﹣bA．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4【分析】根據(jù)方程組解的定義，先求出方程組的解，再把方程組的解代入含a、b的方程組，求出a、b，最后求出a2﹣b2．【解答】解：∵方程組4x+y=?5ax?by=1和3x?y=?9∴方程組4x+y=?53x?y=?9和ax?by=1解方程組4x+y=?53x?y=?9得x=?2把x=?2y=3代入方程組ax?by=1?2a?3b=1?6a+6b=18解這個(gè)方程組，得a=?2b=1∴a2﹣b2＝（﹣2）2﹣12＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組，掌握方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=19ax+by=?1與3x?2y=9bx+ay=?7有相同的解，則a+4A．?1 B．?6 C．?10 D．?12【分析】解不等式組2x+3y=193x?2y=9，可得出x=5y=3，將其代入ax+by=?1bx+ay=?7中，可求出a，b的值，再將a，b的值，代入a【解答】解：不等式組2x+3y=193x?2y=9的解為x=5將x=5y=3代入關(guān)于x，y的方程組ax+by=?1bx+ay=?7得：解得：a=1b=?2∴a+4b?3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?營(yíng)口期末）已知方程組5x+y=3ax+5y=4和x?2y=55x+by=1有相同的解，求a﹣5平方根．【分析】根據(jù)方程組的解的意義可求出x、y的值，進(jìn)而得到a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：方程組5x+y=3ax+5y=4和x?2y=55x+by=1的解也是方程組解方程組5x+y=3①x?2y=5②x=1y=?2∴a＝14，b＝2，∴a﹣5b＝14﹣10＝4，∴a﹣5b的平方根，即4的平方根為±4【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，二元一次方程組的解，理解平方根的定義以及二元一次方程組的解是正確解答的前提．【變式2-4】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x?3y=?10ax+by=14和方程組3x+2y=11（1）這兩個(gè)方程組的解；（2）求2a+b的值．【分析】（1）將兩個(gè)方程組中的第一個(gè)方程聯(lián)立可得一個(gè)二元一次方程組，求解即可；（2）將兩個(gè)方程組中的第二個(gè)方程聯(lián)立，將（1）中求出的x，y代入即可求出a，b，即可求解．【解答】解：（1）∵關(guān)于x，y的方程組2x?3y=?10ax+by=14和方程組3x+2y=11∴x，y滿(mǎn)足2x?3y=?10①3x+2y=11②由①×2+②×3可得：2（2x﹣3y）+3（3x+2y）＝﹣10×2+11×3，13x＝13，x＝1，將x＝1代入①可得：2﹣3y＝﹣10，y＝4，∴兩個(gè)方程組的解為x=1y=4（2）將兩個(gè)方程組中的第二個(gè)方程聯(lián)立可得ax+by=14ay?bx=5將x=1y=4代入可得a+4b=14③由③+④×4可得：a+4b+4（4a﹣b）＝14+5×4，17a＝34，a＝2，將a＝2代入③可得：2+4b＝14，b＝3，∴2a+b＝2×2+3＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的解法．【變式2-5】（2021春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?5y=36bx+ay=?8與方程組2x+5y=?26（1）這兩個(gè)方程組的相同解；（2）求（2a+b）2021的值．【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立2x+5y=?26①3x?5y=36②，求出x，y（2）把x=2y=?6代入ax?by=?4bx+ay=?8中進(jìn)行計(jì)算，求出a，【解答】解：由題意得：2x+5y=?26①3x?5y=36②①+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，解得：y＝﹣6，原方程組的解為：x=2y=?6∴這兩個(gè)方程組的解為：x=2y=?6（2）把x=2y=?6代入ax?by=?4bx+ay=?8中可得：化簡(jiǎn)得：a+3b=?2①b?3a=?4②①×3得：3a+9b＝﹣6③，②+③得：10b＝﹣10，解得：b＝﹣1，把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，解得：a＝1，∴（2a+b）2021＝（2﹣1）2021＝12021＝1，∴（2a+b）2021的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握同解方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021春?荔浦市期中）已知方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12求（5a+b）2的值．【分析】先求出方程組2x+y=?23x?y=12的解，再把x=2y=?6代入方程組ax+by=?4bx+ay=?8得出2a?6b=?42b?6a=?8，求出a、b的值，再代入（5a+【解答】解：∵方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12∴解方程組2x+y=?23x?y=12得：x=2把x=2y=?6代入方程組ax+by=?4bx+ay=?8得：解得：a=74，b∴5a+b＝5×7∴（5a+b）2＝102＝100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2-7】（2022春?德州期中）已知方程組2x+y=1ax?by=7和方程組bx?ay=8（1）求a，b的值．（2）求|a【分析】（1）由同解方程可得2x+y=1x+2y=?4和ax?by=7bx?ay=8同解，先解出x、y，再求解a、（2）將（1）所求代入所求的代數(shù)式即可求解．【解答】解：（1）∵方程組2x+y=1ax?by=7和方程組bx?ay=8∴2x+y=1x+2y=?4和ax?by=72x+y=1①x+2y=?4②①×2得，4x+2y＝2③，③﹣②，得3x＝6，∴x＝2，將x＝2代入①可得y＝﹣3，∴方程組的解為x=2y=?3∴2a+3b=7④2b+3a=8⑤④×2得，4a+6b＝14⑥，⑤×3得，6b+9a＝24⑦，⑦﹣⑥，得5a＝10，∴a＝2，將a＝2代入④，得b＝1，∴方程組的解為a=2b=1（2）將a＝2，b＝1代入|a|2?2|+2（1?2【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程的含義，利用加減消元法和代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型三方程組的解滿(mǎn)足某一附加條件題型三方程組的解滿(mǎn)足某一附加條件【例題3】（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x?5y=3n+7x?3y=4的解相等，則nA．3 B．?13 C．1 【分析】把x＝y(tǒng)代入方程組中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：2x?5y=3n+7①x?3y=4②解②得：x＝y(tǒng)＝﹣2，把x＝y(tǒng)＝﹣2代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，解得：n=?1∴故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?東平縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）若方程組4x+3y=1ax+(1?a)y=3的解x和y互為相反數(shù)，則a＝【分析】先求出方程組4x+3y=1x+y=0的解，將其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可求出a【解答】解：方程組4x+3y=1x+y=0的解為x=1將x=1y=?1代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a解得：a＝2，∴a的值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+5y=a+22x+3y=a的解適合x(chóng)+y＝10，則aA．14 B．12 C．6 D．﹣10【分析】利用②×2﹣①，可找出x+y＝a﹣2，結(jié)合x(chóng)+y＝10，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．【解答】解：3x+5y=a+2①2x+3y=a②②×2﹣①得：x+y＝a﹣2．又∵x+y＝10，∴a﹣2＝10，解得：a＝12，∴a的值為12．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解及二元一次方程的解，通過(guò)解二元一次方程組，找出x+y＝10是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春?鎮(zhèn)江期末）若方程組x+y=5kx+y=8的解中，x的值比y的值大1，則kA．5 B．2 C．3 D．﹣2【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．【解答】解：由題意知，y+1+y＝5．∴y＝2．∴x＝y(tǒng)+1＝3．∴3k+2＝8．∴k＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022秋?邢臺(tái)期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=?a+1x?y=3a+5的解，也是二元一次方程x+2y＝﹣1的解，則aA．2 B．1 C．12 【分析】解原方程組后，根據(jù)同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此題結(jié)果了．【解答】解：解原方程組得，x=a+3y=?2a?2將其代入方程x+2y＝﹣1得，a+3+2（﹣2a﹣2）＝﹣1，解得a＝0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含有字母參數(shù)的方程（組）問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確解方程（組）．【變式3-5】（2022春?榮縣校級(jí)期中）已知方程組3x+2y=k2x+3y=k+3的解滿(mǎn)足x+y＝5，求k【分析】先計(jì)算①+②推出x+y=2k+35，再由x+y＝5得到【解答】解：①+②得：5x+5y＝2k+3，∴x+y=2k+3又∵x+y＝5，∴2k+35解得k＝11．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)，熟知加減消元法是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x，y的方程組5x+3y=2m?1x?y=?m+2的解中x與y的和為3，求m【分析】根據(jù)題意先用含m的代數(shù)式表示出x和y，再根據(jù)x與y的和為3求出m的值，代入x=?m+5【解答】解：5x+3y=2m?1x?y=?m+2解得：x=?m+5∴x+y=3m?3又∵x與y的和為3，∴3m?34解得：m＝5，把m＝5代入x=?m+5解得：x=0y=3∴方程組的解為：解得：x=0y=3∴m的值為5，方程組的解為解得：x=0y=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程組的解的定義，以及解二元一次方程組，正確求得m的值是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-7】（2022春?廣州期中）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=2mx+y=m?1的解滿(mǎn)足x+2y（1）求m的值；（2）化簡(jiǎn)：|m?1|﹣|m【分析】（1）將方程組的兩個(gè)方程相減可得2（x+2y）＝m+1，再將x+2y＝2代入即可求出m的值；（2）將m的值代入后，再根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）3x+5y=2m①x+y=m?1②①﹣②得，2x+4y＝m+1，即2（x+2y）＝m+1③，將x+2y＝2代入③得，4＝m+1，解得，m＝3；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，原式＝|3?1|﹣|3=3?1﹣（2=3?1﹣2＝23?【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組，絕對(duì)值，掌握二元一次方程組的解法以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)方法是正確解答的前提．【變式3-8】（2022春?廣州期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+1+|a+b|＝0，且以關(guān)于x，y的方程組ax+by=m2ax?by=m+1的解為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，求【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，代入方程組求出x，y的值，根據(jù)點(diǎn)P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，得到x+y＝0，把x，y的值代入解方程即可得出答案．【解答】解：∵a+1≥0，|a+b∴a+1＝0，a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴關(guān)于x，y的方程組為：?x+y=m?2x?y=m+1解得：x=?2m+1∵點(diǎn)P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，∴x+y＝0，∴?2m+1∴m＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，得到x+y＝0是解題的關(guān)鍵．題型四利用二元一次方程組解決錯(cuò)解問(wèn)題題型四利用二元一次方程組解決錯(cuò)解問(wèn)題【例題4】（2022春?石河子期末）已知方程組ax+by=35x?cy=1，甲正確地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看錯(cuò)了，得x=3y=6，試求出a，b【分析】把x=2y=3，x=3y=6代入方程ax+by＝3即可得到一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，即可求得a，b的值，把x=2y=3代入方程5x﹣cy【解答】解：根據(jù)題意得：2a+3b=33a+6b=3解得：a=3b=?1把x=2y=3代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，方程的解的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期中）在解方程組ax+by=2cx?7y=8時(shí)，小明正確地解得方程組的解為x=3y=?2，小剛因把x=?2y=2，求a+b+c【分析】方程組的解適合每個(gè)方程，故小明的解可以代入兩個(gè)方程；而小剛只看錯(cuò)了c，他的解可以代入ax+by＝2；從而求出a、b、c得到答案．【解答】解：把x=3y=?2代入方程組得3a?2b=2①由②得c＝﹣2，把x=?2y=2代入ax+by＝2得﹣2a+2b＝2③由3a?2b=2①?2a+2b=2③得a=4∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程組解的概念：方程組的解適合每個(gè)方程，所以將解代入相應(yīng)的方程就可以得出答案．【變式4-2】（2022春?陸河縣期末）已知方程組2x+ay=10①bx?3y=?3②，由于甲看錯(cuò)了方程①中a得到方程組的解為x=3y=?1，乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x=?1y=2．若按正確的a【分析】把甲的結(jié)果代入②，乙的結(jié)果代入①組成方程組，求出解即可．【解答】解：根據(jù)題意，可知x=3y=?1滿(mǎn)足方程②，x=?1y=2滿(mǎn)足方程則3b+3=?3?2+2a=10解得：a=6b=?2把a(bǔ)=6b=?2，代入原方程組為2x+6y=10解得：x=?2y=∴原方程組的解為：x=?2y=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式4-3】（2021春?武城縣期末）在解方程組ax+5y=104x?by=?4時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得解為x=?3y=?1，乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得解為【分析】把甲的結(jié)果代入第二個(gè)方程求出b的值，把乙的結(jié)果代入第一個(gè)方程求出a的值，確定出方程組，即可求出解．【解答】解：把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣4，得：﹣12+b＝﹣4，即b把x=5y=4代入ax+5y＝10，得：5a+20＝10，即a方程組為?2x+5y=10①x?2y=?1②①+②×2得：y＝8，把y＝8代入②得：x＝15，則方程組的解為x=15y=8【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式4-4】（2022秋?霍邱縣月考）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2ax+y=5①x?by=2②（1）若a＝1，請(qǐng)寫(xiě)出方程①的所有正整數(shù)解；（2）由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為x=?2y=1，乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為x=1y=3，求a、【分析】（1）將a＝1代入方程，分別令x＝1，x＝2，求出對(duì)應(yīng)的y的值即可；（2）將x=?2y=1代入②式可求得a的值；將x=1y=3代入①式可求得【解答】解：（1）將a＝1代入方程可得：2x+y＝5，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1；當(dāng)x＞2時(shí)，y＜1，沒(méi)有符合條件的解；∴該方程的正整數(shù)解為：x=1y=3，x=2（2）將x=?2y=1代入②得：﹣2﹣b解得：b＝﹣4，將x=1y=3代入①得：2a解得：a＝1，∴原方程組為2x+y=5①x+4y=2②③×4﹣④得：7x＝18，解得：x=187④×2﹣③得：7解得：y=?1∴原方程組的解為：x=18【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，解二元一次方程組；熟練掌握方程組的解與方程的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022春?上蔡縣期中）甲、乙兩人共同解方程組ax+5y=15，①4x?by=?2②，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=4.，試計(jì)算a2015+（?1【分析】把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣2求出b，把x=5y=4代入ax+5y＝15求出【解答】解：根據(jù)題意把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣2得：﹣12+b解得：b＝10，把x=5y=4代入ax+5y＝15得：5a解得：a＝﹣1，所以a2015+（?110b）2016＝（﹣1）2015+（?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，解一元一次方程，求代數(shù)式的值的應(yīng)用，能求出a、b的值是解此題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2021春?安居區(qū)期中）在解方程組ax+y=10x+by=7時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得到方程組的解為x=1y=6，乙看錯(cuò)了方程組中的b（1）甲把a(bǔ)看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程組的正確解．【分析】（1）將甲的解代入方程組中的第二個(gè)方程，求出b的值，將乙的解代入第一個(gè)方程求出a的值；（2）確定方程組，解方程組即可．【解答】解：（1）將x＝1，y＝6代入第一個(gè)方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二個(gè)方程得：1+6b＝7，解得：b＝1，將x＝﹣1，y＝12代入第一個(gè)方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二個(gè)方程得：12b﹣1＝7，解得：b=2所以，甲把a(bǔ)看成了4，乙把b看成了23（2）方程組為：2x+y=10①x+y=7②①﹣②得：x＝3，將x＝3代入②得：y＝4，則方程組的解為：x=3y=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是明確方程組的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式4-7】（2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）已知：甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15(1)4x=by?2(2)時(shí)，甲看錯(cuò)了方程（1）中的a，解得x=?2y=1，乙看錯(cuò)了（2）中的b，解得x=5y=?4，試求a【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值，根據(jù)平方根的概念求出平方根即可．【解答】解：根據(jù)題意得，?8=b?25a?20=15解得，a=7b=?6a+b＝1，∴a+b的平方根為：±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解的定義，能使方程組中每個(gè)方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解，解題的關(guān)鍵是要知道兩個(gè)方程組的解分別是哪一個(gè)．題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問(wèn)題題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問(wèn)題【例題5】若關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+ay=122x?y=0有整數(shù)解，則滿(mǎn)足要求的所有整數(shù)a為（）A．0 B．4 C．8 D．12【分析】?jī)煞匠滔鄿p消去x表示出y，根據(jù)方程組有整數(shù)解確定出整數(shù)a的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：消去x得：（a+1）y＝12，當(dāng)a+1≠0，即a≠﹣1時(shí)，y=12可得x=6由方程組有整數(shù)解，得到a+1＝±1，±2，±3，±6解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，﹣7，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式5-1】（2022秋?東寶區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+2y?6=0x?2y+mx+5=0，若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，則mA．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3【分析】利用加減消元法解關(guān)于x、y的方程組得到x=12+m，利用有理數(shù)的整除性得到2+m＝±1，從而得到滿(mǎn)足條件的【解答】解：x+2y?6=0①①+②得（2+m）x＝1，解得x=1∵x為整數(shù)，m為整數(shù)，∴2+m＝±1，∴m的值為﹣1或﹣3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．也考查了解二元一次方程組．【變式5-2】（2021秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx?2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．4 B．1或4或16或25 C．64 D．4或16或64【分析】先求出方程組的解，再根據(jù)題意確定m的具體值，即可求解．【解答】解：mx?2y=10①3x?2y=0②①﹣②得，（m﹣3）x＝10，解得x=10將x=10m?3代入②得，y∵方程組有整數(shù)解，m是正整數(shù)，∴m＝2或4或8，∴m2＝4或16或64，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知m為整數(shù)，二元一次方程組4x?3y=66x+my=26有整數(shù)解，則mA．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13 C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13【分析】把m看作已知數(shù)表示出方程組的解，根據(jù)m為整數(shù)且方程組有整數(shù)解確定出m的值即可．【解答】解：方程組4x?3y=6①6x+my=26②②×2﹣①×3得：（9+2m）y＝34，解得：y=34①×m+②×3得：（4m+18）x＝6m+78，解得：x=6m+78∵m為整數(shù)，二元一次方程組4x?3y=66x+my=26有整數(shù)解，y=∴9+2m＝±34或±17或±2或±1，解得：m＝﹣13或±4或﹣5，當(dāng)m＝﹣13時(shí)，x＝0，此時(shí)符合題意；當(dāng)m＝4時(shí)，x＝3，此時(shí)符合題意；當(dāng)m＝﹣4時(shí)，x＝27，此時(shí)符合題意；當(dāng)m＝﹣5時(shí)，x＝﹣24，此時(shí)符合題意；所以m的值為：4或﹣4或﹣5或﹣13．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式5-4】（2020春?雨花區(qū)校級(jí)月考）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx+2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．3或48 B．3 C．4或49 D．48【分析】把m看作已知數(shù)表示出方程組的解，由方程組的解為整數(shù)解確定出m的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：mx+2y=10①3x?2y=0②①+②得：（m+3）x＝10，解得：x=10把x=10m+3代入②得：y由方程組為整數(shù)解，得到m+3＝±1，m+3＝±5，解得：m＝﹣2，﹣4，2，﹣8，由m為正整數(shù)，得到m＝2，則原式＝4﹣1＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式5-5】（2022春?商水縣期末）m為負(fù)整數(shù)，已知二元一次方程組mx+2y=103x+2y=0有整數(shù)解，則m的值為【分析】先解該方程組，再討論符合條件的m值．【解答】解：方程組mx+2y=103x+2y=0x=10∵該方程組有整數(shù)解，m﹣3是15和10的公約數(shù)，且m為負(fù)整數(shù)，∴m﹣3＝﹣5，解得m＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方程組的解相關(guān)問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解、討論．【變式5-6】（2022春?西區(qū)期中）若關(guān)于x、y的方程組x+y=2ax+2y=8的解為整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)aA．6 B．9 C．12 D．16【分析】把a(bǔ)看作已知數(shù)由加減消元法求得x=4a?2，由方程組的解為整數(shù)，確定出【解答】解：x+y=2①ax+2y=8②②﹣①