七年級數(shù)學(xué)下冊 8.3 實際問題與二元一次方程組（一）（解析版）

七年級下冊數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》8.3實際問題與二元一次方程組知識點一知識點一列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：◆1、列方程組解決實際問題是把“未知”化為“已知”的過程，其關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題中的等量關(guān)系，列出方程組.◆2、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審：審題，找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)：設(shè)元，找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）找：找等量關(guān)系，挖掘題目中的所有條件，找出兩個等量關(guān)系．（4）列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組．（5）解：解方程組，求出未知數(shù)的值．（6）答：檢驗所求解是否符合實際意義，然后作答．知識點二知識點二實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系：◆◆行程問題：路程=速度×?xí)r間；◆◆工程問題：①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量；◆◆銷售問題：①利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率=利潤②售價=進(jìn)價+利潤=進(jìn)價×（1+利潤率）=標(biāo)價×折扣題型一和、差、倍分問題題型一和、差、倍分問題【例題1】（2022春?南崗區(qū)期末）有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5噸，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35噸，那么3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨噸．【分析】設(shè)1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，根據(jù)“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5噸，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入（3x+5y）中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，依題意得：2x+3y=15.55x+6y=35解得：x=4y=2.5∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，∴3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨24.5噸．故答案為：24.5．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉設(shè)未知數(shù)時，一般是求什么設(shè)什么，并且所列方程的兩個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等，解這類應(yīng)用題，要抓住題中反映數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵字﹣﹣﹣和、差、倍、分、幾分之幾、比、大、小、多、少、增加、減少……明確各種反映數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵字的含義．【變式1-1】（2022春?沭陽縣期末）現(xiàn)有100元和20元的人民幣共33張，總面額1620元．則其中面額100元的人民幣有（）A．12張 B．14張 C．20張 D．21張【分析】根據(jù)“有100元和20元的人民幣共33張，總面額1620元”可得相應(yīng)的方程組．【解答】解：設(shè)100元的人民幣為x張，20元的人民幣y張，根據(jù)題意得：x+y=33100x+20y=1620解得：x=12y=21即面額100的人民幣有12張．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題干信息找出等量關(guān)系并據(jù)此列式計算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）“綠水青山就是金山銀山”，科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知1片銀杏樹葉1年的平均滯塵量比1片國槐樹葉1年的平均滯塵量的2倍少4mg，若2片國槐樹葉與1片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為84mg．請分別求出1片國槐樹葉和1片銀杏樹葉一年的平均滯塵量．【分析】首先，設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為y毫克，結(jié)合已知條件可列一元一次方程組即可完成解答．【解答】解：設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為y毫克，由題意得y=2x?42x+y=84解得x=22y=40答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克，一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40毫克．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2021秋?廣平縣期末）如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的長度是它的13，另一根露出水面的長度是它的1【分析】設(shè)較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm．因為兩根鐵棒之和為55cm，故可得方程：x+y＝55，又知兩棒未露出水面的長度相等，又可得方程23x=4【解答】解：設(shè)較長鐵棒的長度為xcm，較短鐵棒的長度為ycm，由題意得：x+y=552解得：x=30y=25答：較長鐵棒的長度為30cm，較短鐵棒的長度為25cm．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．【變式1-4】（2022春?新昌縣期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽．如果每位男孩看到的藍(lán)色游泳帽是紅色游泳帽的兩倍，而每位女孩看到的藍(lán)色游泳帽比紅色游泳帽多12頂，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？【分析】根據(jù)每位男孩看到藍(lán)色游泳帽是紅色游泳帽的2倍，而每位女孩看到藍(lán)色游泳帽比紅色游泳帽多12頂，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得游泳池里男孩和女孩各幾人，本題得以解決．【解答】解：設(shè)游泳池里男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：x?1=2yx?(y?1)=12解得，x=20y=9答：游泳池里男孩20人，女孩9人．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．【變式1-5】（2022?成武縣校級開學(xué)）某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出大樓共有4道門，其中2道正門大小相同，2道側(cè)門大小也相同，安全檢查中，對4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時開啟1道正門和2道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可通過560名學(xué)生；當(dāng)同時開啟1道正門和1道側(cè)門時，4分鐘內(nèi)可通過800名學(xué)生，求平均每分鐘1道正門和1道側(cè)門各可通過多少名學(xué)生？【分析】設(shè)平均每分鐘1道正門可通過x名學(xué)生，1道側(cè)門可通過y名學(xué)生，根據(jù)“當(dāng)同時開啟1道正門和2道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可通過560名學(xué)生；當(dāng)同時開啟1道正門和1道側(cè)門時，4分鐘內(nèi)可通過800名學(xué)生”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)平均每分鐘1道正門可通過x名學(xué)生，1道側(cè)門可通過y名學(xué)生，依題意得：2(x+2y)=5604(x+y)=800解得：x=120y=80答：平均每分鐘1道正門可通過120名學(xué)生，1道側(cè)門可通過80名學(xué)生．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型二配套問題題型二配套問題【例題2】（2022春?和平區(qū)校級期末）某車間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個或螺帽24個，已知一個螺栓配套兩個螺帽，應(yīng)該如何分配工人才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？則生產(chǎn)螺栓和生產(chǎn)螺帽的人數(shù)分別為（）A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人【分析】設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺帽剛好配套，根據(jù)等量關(guān)系：生產(chǎn)螺栓的工人數(shù)+生產(chǎn)螺帽的工人數(shù)＝90；螺栓總數(shù)×2＝螺帽總數(shù)，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺帽，才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套，根據(jù)題意，得：x+y=902×15x=24y解得：x=40y=50即分配40人生產(chǎn)的螺栓，50人生產(chǎn)螺帽，才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套，故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘與螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套衣身與衣袖的配套等，各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系以及所需材料的總和表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決.【變式2-1】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）某工廠生產(chǎn)茶具，每套茶具有1個茶壺和4只茶杯組成，生產(chǎn)這套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，應(yīng)用多少千克紫砂泥做茶壺，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成這種茶具多少套？【分析】設(shè)應(yīng)用x千克紫砂泥做茶壺，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意：每套茶具有1個茶壺和4只茶杯組成，用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)應(yīng)用x千克紫砂泥做茶壺，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意得：x+y=62x?4=8y解得：x=3y=3則2×3＝6（套）．答：應(yīng)用3千克紫砂泥做茶壺，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具6套．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春?南關(guān)區(qū)校級月考）一套儀器由2個A部件和5個B部件構(gòu)成．用1m3鋼材可做40個A部件或200個B部件，現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，恰好能使這種儀器剛好配套？【分析】設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做A部件，ym3鋼材做B部件，恰好能使這種儀器剛好配套，根據(jù)用6m3鋼材制作的部件剛好配套，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做A部件，ym3鋼材做B部件，恰好能使這種儀器剛好配套，根據(jù)題意得：x+y=640x解得：x=4y=2答：應(yīng)用4m3鋼材做A部件，2m3鋼材做B部件，恰好能使這種儀器剛好配套．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021秋?梁河縣期末）某工廠生產(chǎn)茶具，每套茶具由1個茶壺和4只茶杯組成，生產(chǎn)這套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，應(yīng)用多少千克紫砂泥做茶壺，多少個千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具多少套？【分析】設(shè)應(yīng)用x千克紫砂泥做茶壺，則用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意：每套茶具有1個茶壺和4只茶杯組成，用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)應(yīng)用x千克紫砂泥做茶壺，則用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意得：4×2x＝8（6﹣x），解得x＝3，，則6﹣x＝3（千克），2×3＝6（套）．答：應(yīng)用3千克紫砂泥做茶壺，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具6套．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】一張方桌由1個桌面，4條桌腿組成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50個或做桌腿300條，現(xiàn)有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面與桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少張方桌？【分析】問題中有兩個條件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面?zhèn)€數(shù)＝桌腿個數(shù)．據(jù)此可列方程組求解．【解答】解：設(shè)用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿．由題意得x+y=10解得x=6y=46×50＝300（張）．答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300張方桌．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2021秋?全椒縣期末）在手工制作課上，老師組織班級同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時剪筒身40個或剪筒底120個．（1）求這個班男生、女生各有多少人？（2）原計劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，若要求一個筒身配兩個筒底，請說明每小時剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套？【分析】（1）由題意列出方程組，解方程組解可；（2）分別計算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的數(shù)量，可得不配套；設(shè)男生應(yīng)向女生支援y人，根據(jù)制作筒底的數(shù)量＝筒身的數(shù)量×2，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）由題意得：x+y=50x=y?2解得：x=24y=26答：這個班有男生有24人，女生有26人；（2）男生剪筒底的數(shù)量：24×120＝2880（個），女生剪筒身的數(shù)量：26×40＝1040（個），因為一個筒身配兩個筒底，2880：1040≠2：1，所以原計劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時剪出的筒身與筒底不能配套，設(shè)男生應(yīng)向女生支援a(chǎn)人，由題意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，解得：a＝4，答：原計劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時剪出的筒身與筒底不能配套；男生應(yīng)向女生支援4人時，才能使每小時剪出的筒身與筒底配套．【點評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程或方程組．題型三數(shù)字問題題型三數(shù)字問題【例題3】（2022秋?中寧縣期末）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是8，個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后所成的新數(shù)比原數(shù)小18，則原數(shù)是（）A．26 B．62 C．35 D．53【分析】設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)“個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是8，個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后所成的新數(shù)比原數(shù)小18”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入（10x+y）中，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：x+y=810x+y?(10y+x)=18解得：x=5y=3∴10x+y＝10×5+3＝53，∴原兩位數(shù)為53．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉對于數(shù)字問題，一般設(shè)某位上的數(shù)字，而不是直接設(shè)某數(shù)是多少，用到的是間接設(shè)未知數(shù)的方法，同時要注意兩位（或三位）數(shù)的表示方法.【變式3-1】（2022秋?榆次區(qū)校級期末）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是7，若十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對換，得到的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的差是9，則現(xiàn)在的兩位數(shù)是（）A．43 B．34 C．25 D．52【分析】設(shè)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)是x，十位上的數(shù)是y，根據(jù)“十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和是7”，“得到的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的差是9”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)是x，十位上的數(shù)是y，根據(jù)題意得，10x+y﹣（10y+x）＝9，解得：x＝4，y＝3，答案為43，故選：A．【點評】主要考查了利用二元一次方程組的模型解決實際問題的能力．本題中要注意用數(shù)位上的數(shù)字表示兩位數(shù)的方法：10×十位數(shù)字+個位數(shù)字＝兩位數(shù)．【變式3-2】（2022春?淄博期末）爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數(shù)如下：時刻9：0010：0011：30里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是6是一個兩位數(shù)，它的十位與個位數(shù)字與9：00所看到的正好互換了是一個三位數(shù)，它比9：00時看到的兩位數(shù)中間多了個0則10：00時看到里程碑上的數(shù)是（）A．15 B．24 C．42 D．51【分析】設(shè)小明9：00時看到的兩位數(shù)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)小明連續(xù)三次看到的結(jié)果，列出二元一次方程組，解之得出x，y的值，再代入（10y+x）中即可．【解答】解：設(shè)小明9：00時看到的兩位數(shù)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，即兩位數(shù)為為10x+y；則10：00時看到的兩位數(shù)為x+10y，9：00﹣10：00時行駛的里程數(shù)為：（10y+x）﹣（10x+y），11：30時看到的數(shù)為100x+y，11：30時﹣10：00時行駛的里程數(shù)為：（100x+y）﹣（10y+x）；依題意，得：x+y=6100x+y?(10y+x)解得：x=1y=5∴10：00時小明看到的兩位數(shù)是10y+x＝51．故選：D．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?嘉峪關(guān)校級期末）一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個位上數(shù)字之和為8，把這個數(shù)減去36后，結(jié)果恰好成為十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是（）A．26 B．62 C．71 D．53【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則兩位數(shù)可表示為10y+x，對調(diào)后的兩位數(shù)為10x+y，根據(jù)題中的兩個數(shù)字之和為8及對調(diào)后的等量關(guān)系可列出方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：x+y=810y+x?36=10x+y解得：x=2y=6則這個兩位數(shù)為6×10+2＝62．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．【變式3-4】（2022春?肇源縣期末）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是7，如果把這個兩位數(shù)加上9，所得的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，求這個兩位數(shù)是多少？【分析】設(shè)個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，根據(jù)十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是7，新的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，據(jù)此列方程組求解．【解答】解：設(shè)個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，由題意得，x+y=710y+x+9=10x+y解得：x=4y=3答：這個兩位數(shù)是為34．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．【變式3-5】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上數(shù)字和是8，將十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多10．求原來的兩位數(shù)．【分析】可設(shè)原來的兩位數(shù)的個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，根據(jù)對調(diào)前與對調(diào)后可得到兩個方程，求方程組的解即可．【解答】解：設(shè)原來的兩位數(shù)的個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，兩位數(shù)可表示為10y+x，根據(jù)題意得：x+y=810x+y=2(10y+x)+10解得：x=6y=2則原兩位數(shù)為26．答：原來的兩位數(shù)為26．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．題型四行程問題---相遇、追擊問題題型四行程問題---相遇、追擊問題【例題4】（2021秋?平桂區(qū)期末）甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇，則甲、乙二人的平均速度各是（）A．3千米/時，4千米/時 B．4千米/時，2千米/時 C．2千米/時，4千米/時 D．4千米/時，3千米/時【分析】設(shè)甲的平均速度為x千米/小時，乙的平均速度為y千米/小時，根據(jù)“甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲的平均速度為x千米/小時，乙的平均速度為y千米/小時，依題意得：3x?3y=6x+y=6解得：x=4y=2∴甲的平均速度為4千米/小時，乙的平均速度為2千米/小時．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉行程問題中的基本關(guān)系式是：路程＝速度×?xí)r間.相遇問題常用到的等量關(guān)系：甲行的路程+乙行的路程=兩地間的路程.追及問題常用到的等量關(guān)系：快者路程－慢者行程=追及的路程.【變式4-1】（2021秋?金臺區(qū)期末）甲、乙兩人從相距36km的兩地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他們在乙出發(fā)2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他們在甲出發(fā)3h后相遇，甲、乙兩人的速度分別是多少？【分析】設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，根據(jù)“如果甲比乙先走2h，那么他們在乙出發(fā)2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他們在甲出發(fā)3h后相遇”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩人的速度．【解答】解：設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，依題意得：(2+2.5)x+2.5y=363x+(2+3)y=36解得：x=6y=3.6答：甲的速度為6km/h，乙的速度為3.6km/h．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】一列火車從A站開往B站，若火車以90千米/時的速度行駛，能準(zhǔn)時到達(dá)B站，現(xiàn)火車以80千米/時的速度行駛了2小時后把速度提高到120千米/時，也能準(zhǔn)時到達(dá)B站，求A、B兩站之間的距離．【分析】根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程組解答，題目中存在的等量關(guān)系為：①以90千米/時×?xí)r間＝A站到B站的路程；②速度為80千米/時行駛的路程+速度為120千米/時行駛的路程＝A站到B站的路程．【解答】解：設(shè)從A站到B站的行駛時間為x，A、B兩站之間的距離為y千米，由題意得90x=y80×2+120(x?2)=y解得，x=8答：A、B兩站之間的距離為240千米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，弄清題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，同向而行，甲乘車，乙步行．如果乙先走20km，那么甲用1小時就能追上乙；如果乙先走1小時，那么甲只用15分鐘就能追上乙，求甲、乙二人的速度．【分析】設(shè)甲的速度是x千米/時，乙的速度為y千米/時，根據(jù)如果乙先走20km，那么甲1小時就能追上乙可以列出方程x＝20+y，根據(jù)乙先走1小時，甲只用15分鐘就能追上乙可以列出方程0.25x＝（1+0.25）y，聯(lián)立列方程組求解即可．【解答】解：設(shè)甲的速度是x千米/時，乙的速度為y千米/時，由題意得，x=20+y0.25x=(1+0.25)y解得：x=25y=5答：甲的速度是25千米/時，乙的速度為5千米/時．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此題是一個行程問題，主要考查的是追及問題，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可列出方程組．【變式4-4】甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上同一起點同時背向起跑，40秒后相遇，若甲先從起跑點出發(fā)，半分鐘后，乙也從該點同向出發(fā)追趕甲，再過3分鐘后乙追上甲，求甲、乙兩人的速度．【分析】設(shè)甲、乙二人的速度分別為xm/s，ym/s，根據(jù)：相向而行時甲的路程+乙的路程＝400，同向而行時甲的路程＝乙的路程，列方程組求解即可．【解答】解：設(shè)甲、乙二人的速度分別為xm/s，ym/s，根據(jù)題意列方程為：40x+40y=400210x=180y解得：x=60答：甲的速度分別為6013m/s，乙的速度分別為7013m/【點評】本題主要考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，根據(jù)相向而行路程之和等于兩地間距離、同向而行倆人路程相等列方程是關(guān)鍵．【變式4-5】（2022春?新樂市校級月考）小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘從背后駛過一輛8路公交車，每隔4分鐘從迎面駛來一輛8路公交車．已知每輛8路公交車的行駛速度相同，且每相鄰的兩輛8路公交車相距1200米，則8路公交車的行駛速度為（）A．100m/分鐘． B．200m/分鐘 C．300m/分鐘 D．400m/分鐘【分析】設(shè)8路公交車的速度是a米/分，小王沿街勻速行走的速度是b米/分，每隔t分鐘發(fā)一班車，則兩輛車之間的距離為at米，由題意：每隔12分鐘從背后駛過一輛8路公交車，每隔4分鐘從迎面駛來一輛8路公交車．列出方程組，求出t的值，即可解決問題．【解答】解：設(shè)8路公交車的速度是a米/分，小王沿街勻速行走的速度是b米/分，發(fā)車間隔的時間為t分鐘，則兩輛車之間的距離為at米，由題意得：12(a?b)=at4(a+b)=at解得：t＝6，即發(fā)車間隔的時間是6分鐘，∴8路公交車的行駛速度為1200÷6＝200（m/分鐘），故選：B．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型五行程問題---航行問題題型五行程問題---航行問題【例題5】（2023?市北區(qū)校級開學(xué)）若一艘輪船沿江水順流航行120km需用3小時，它沿江水逆流航行60km也需用3小時，設(shè)這艘輪船在靜水中的航速為xkm/h，江水的流速為ykm/h，則根據(jù)題意可列方程組為（）A．3x?y=603x+y=120 B．3(x+y)=120C．3(x?y)=1203(x+y)=60 D．【分析】根據(jù)“順流航行120km需用3小時，它沿江水逆流航行60km也需用3小時”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，得3(x+y)=1203(x?y)=60故選：B．【點評】此題是由實際問題抽象出二元一次方程組，主要考查了水流問題，找到相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉航行問題：順流速度=靜水速度＋水流速度；逆流速度=靜水速度－水流速度.順風(fēng)速度=無風(fēng)速度＋風(fēng)速；逆風(fēng)速度=無風(fēng)速度－風(fēng)速.往返于A、B兩地時，順流（風(fēng)）航程=逆流（風(fēng)）航程【變式5-1】（2022秋?銅仁市期末）解詩謎：悟空順風(fēng)探妖蹤，千里只用四分鐘；歸時四分行六百，試問風(fēng)速是多少？題目的意思是：孫悟空追尋妖精的行蹤，去時順風(fēng)，1000里只用了4分鐘；回來時逆風(fēng)，4分鐘只走了600里，試求風(fēng)的速度為．【分析】設(shè)孫悟空的速度為x里/分鐘，風(fēng)速為y里/分鐘，根據(jù)順風(fēng)4分鐘飛躍1000里及逆風(fēng)4分鐘走了600里，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可．【解答】解：設(shè)孫悟空的速度為x里/分鐘，風(fēng)速為y里/分鐘，依題意，得4(x+y)=10004(x?y)=600解得x=200y=50答：風(fēng)的速度為50里/分鐘．故答案為：50里/分鐘．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春?蓬江區(qū)校級月考）已知A市至B市的航線長1200km，一架飛機(jī)從A市順風(fēng)飛往B市，需要2小時30分，從B市逆風(fēng)飛往A市需3小時20分．求飛機(jī)的速度與風(fēng)速．【分析】根據(jù)題意找到等量關(guān)系：（飛機(jī)的速度+風(fēng)速）×順風(fēng)飛行的時間＝1200km，（飛機(jī)的速度﹣風(fēng)速）×逆風(fēng)飛行的時間＝1200km，設(shè)飛機(jī)的速度為xkm/h，風(fēng)速為ykm/h，根據(jù)提示2中的等量關(guān)系列出方程組求解即可．【解答】解：設(shè)飛機(jī)的速度為xkm/h，風(fēng)的速度為ykm/h．可列方程組21化簡得x+y=800x+y=360解得x=420y=60答：飛機(jī)的速度為420km/h，風(fēng)速為60km/h．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】A市至B市的航線長9750km，一架飛機(jī)從A市順風(fēng)飛往B市需12.5h，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需13h，求飛機(jī)的平均速度與風(fēng)速？【分析】飛機(jī)的平均速度為x千米/時，風(fēng)速為y千米/時，根據(jù)航行問題的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即可．【解答】解：設(shè)飛機(jī)的平均速度為x千米/時，風(fēng)速為y千米/時，由題意，得12.5x+12.5y=975013x?13y=9750解得x=765y=15答：飛機(jī)的平均速度為765千米/時，風(fēng)速為15千米/時．【點評】本題考查了二元一次方程組的實際運用，掌握行程問題的順風(fēng)速度＝靜風(fēng)速度+風(fēng)速和逆風(fēng)速度＝靜風(fēng)速度﹣風(fēng)速，由此建立方程組是關(guān)鍵．【變式5-4】已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，此輪船現(xiàn)由甲地順流而下到達(dá)乙地用18小時，由乙地逆流而上到達(dá)甲地用24小時，求此輪船在靜水中的速度以及此江水流的速度．【分析】本題中的等量關(guān)系有2個：順流時間×順流速度＝總路程；逆流時間×逆流速度＝總路程，據(jù)此可列方程組求解．【解答】解：設(shè)船在靜水中的速度為x，水流速度為y．18(x+y)=36024(x?y)=360解得：x=17.5y=2.5答：此輪船在靜水中的速度為17.5千米/小時，此江水流的速度為2.5千米/小時．【點評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此類行程問題找等量關(guān)系是關(guān)鍵，但“靜水速度+水流速度＝順?biāo)俣龋o水速度﹣水流速度＝逆流速度”這一關(guān)系式也必須掌握．【變式5-5】（2021春?安居區(qū)月考）一艘貨輪往返于上下游兩個碼頭之間，逆流而上需要48小時，順流而下需要32小時，若水流速度為8千米/時，則兩碼頭之間的距離是多少千米？【分析】設(shè)兩碼頭之間的距離為x千米，貨輪的速度為y千米/小時，根據(jù)逆流而上需要48小時，順流而下需要32小時，列方程組求解．【解答】解：設(shè)兩碼頭之間的距離為x千米，貨輪的速度為y千米/小時，由題意得，48(y?8)=x32(y+8)=x解得：x=1536y=40答：兩碼頭之間的距離為1536千米．【點評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此類行程問題找等量關(guān)系是關(guān)鍵，但“靜水速度+水流速度＝順?biāo)俣龋o水速度﹣水流速度＝逆流速度”這一關(guān)系式也必須掌握．題型六行程問題---環(huán)形跑道問題題型六行程問題---環(huán)形跑道問題【例題6】（2021?重慶模擬）某體育場的環(huán)形跑道長400米，甲、乙同時從同一起點分別以一定的速度練習(xí)長跑和騎自行車．如果反向而行，那么他們每隔30秒相遇一次；如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分別是多少？設(shè)甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，則列出的方程組是（）A．30(x+y)=40080(y?x)=400 B．30(y?x)=400C．30(x+y)=40080(x?y)=400 D．【分析】此題中的等量關(guān)系有：①反向而行，則兩人30秒共走400米；②同向而行，則80秒乙比甲多跑400米．【解答】解：①根據(jù)反向而行，得方程為30（x+y）＝400；②根據(jù)同向而行，得方程為80（y﹣x）＝400．那么列方程組30(x+y)=40080(y?x)=400故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉環(huán)形跑道問題：同相向而行的等量關(guān)系:乙程-甲程=跑道長；背向而行的等量關(guān)系:乙程+甲程=跑道長.【變式6-1】（2021春?昆明期末）甲、乙兩名同學(xué)都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔9【分析】設(shè)甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，由題意：如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔9【解答】解：設(shè)甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，依題意，得：32解得：x=4答：甲每分鐘跑49圈，乙每分鐘跑2【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔10min相遇一次，已知甲比乙跑得快，環(huán)形跑道每圈400米，甲、乙二人每分鐘各跑多少米？【分析】設(shè)甲每分鐘跑x米，乙每分鐘跑y米，根據(jù)“如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔10min相遇一次”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲每分鐘跑x米，乙每分鐘跑y米，依題意，得：2(x+y)=40010(x?y)=400解得：x=120y=80答：甲每分鐘跑120米，乙每分鐘跑80米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】甲、乙二人在一環(huán)形場地上從A點同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分鐘兩人首次相遇，此時乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長．【分析】設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，根據(jù)環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系，同時、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝環(huán)形周長建立方程求出其解即可．【解答】解：設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，由題意，得2.5x×4?4x=y4x+300=y解得：x=150y=900乙的速度為：150米/分，甲的速度為：2.5×150＝375米/分；答：乙的速度為150米/分，甲的速度為375米/分，環(huán)形場地的周長為900米．【點評】本題考查了列二元一次方程組解環(huán)形問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時運用環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．【變式6-4】在400米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人從同一起點同時出發(fā)做勻速運動，若反向而行，40秒后兩人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．（1）你能求出甲、乙兩人的速度嗎？（2）若甲、乙同向而行時，丙也在跑道上勻速前行，且與甲、乙的方向一致，出發(fā)后20秒甲追上丙，出發(fā)后100秒乙追上丙，請問出發(fā)時，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？【分析】（1）設(shè)甲、乙兩人的速度分別為：x米/秒，y米/秒；根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（2）設(shè)丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲、乙兩人的速度分別為：x米/秒，y米/秒；根據(jù)題意得，40(x+y)=400200(x?y)=400解得：x=6y=4答：甲、乙兩人的速度分別為：6米/秒，4米/秒；（2）設(shè)丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根據(jù)題意得，20(6?m)=a100(4?m)=a解得：m=3.5a=50答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】小亮和小瑩練習(xí)賽跑，如果小亮先讓小瑩跑3秒，那么小亮跑6秒就能追上小瑩；如果小亮讓小瑩先跑20米，那么小亮跑10秒就追上小瑩．（1）兩人每秒各跑多少米；（2）在400米環(huán)形跑道上，兩人從同一起點相向跑，第一次相遇時，用是多少秒．【分析】（1）設(shè)小瑩每秒跑x米，小亮每秒跑y米，根據(jù)題意可得，小亮10秒比小瑩多跑20米，小瑩跑9秒跟小亮跑6秒的路程相等，據(jù)此列方程組求解；（2）利用在400米環(huán)形跑道上，兩人從同一起點相向跑，得出兩人跑的距離差為400進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）設(shè)小瑩每秒跑x米，小亮每秒跑y米，由題意得，10x+20=10y9x=6y解得：x=4y=6答：小瑩每秒跑4米，小亮每秒跑6米；（2）設(shè)a秒時兩人第一次相遇，根據(jù)題意可得：6a﹣4a＝400，解得：a＝200．答：200秒時兩人第一次相遇．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．題型七工程問題題型七工程問題【例題7】一件工作，甲，乙合作20天后乙再單獨做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提高20%，合作20天就可完成全部工作，則甲獨做這件工作多少天可以完成（）A．28天 B．34天 C．48天 D．58天【分析】設(shè)總工程為1，甲每天完成總工程的x，乙每天完成總工程的y，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間，結(jié)合“甲、乙合作20天后乙再單獨做8天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作20天就可完成全部工作”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x的值，再將其代入1x【解答】解：設(shè)總工程為1，甲每天完成總工程的x，乙每天完成總工程的y，依題意得：20x+(20+8)y=120×(1+10%)x+20×(1+20%)y=1解得：x=1∴1x∴甲獨做這件工作34天可以完成．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉工程問題：①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量；【變式7-1】（2021?泰州）甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工．實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工．甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？【分析】設(shè)甲工程隊原計劃平均每月修建xkm，乙工程隊原計劃平均每月修建ykm，則兩隊原計劃平均每月修建（x+y）km，技術(shù)創(chuàng)新后兩隊原計劃平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根據(jù)原計劃30個月完工，通過技術(shù)創(chuàng)新提前5個月完工為等量關(guān)系即可列出二元一次方程組，求解即可求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)甲工程隊原計劃平均每月修建xkm，乙工程隊原計劃平均每月修建ykm，根據(jù)題意得，150=30(x+y)150=(30?5)[(1+50%)x+y]解得x=2y=3答：甲工程隊原計劃平均每月修建2km，乙工程隊原計劃平均每月修建3km．【變式7-2】某小區(qū)計劃對外墻進(jìn)行裝飾維護(hù)．若甲、乙兩個裝飾公司合作施工，則共需要6天完成，小區(qū)總共需要支付9.6萬元；若甲裝飾公司先單獨施工2天，則乙裝飾公司還需要8天來完成剩下的裝飾工作，小區(qū)總共需要支付9.2萬元．問：甲、乙兩個裝飾公司每天分別收取多少費用？【分析】設(shè)甲裝飾公司平均每天收取的費用為x萬元，乙裝飾公司平均每天收取的費用為y萬元，根據(jù)“甲、乙兩個公司各做6天，費用9.6萬元；甲公司單獨做2天，乙公司單獨做8天，付費用9.2萬元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲裝飾公司平均每天收取x萬元，乙裝飾公司平均每天收取y萬元．根據(jù)題意得，6x+6y=9.62x+8y=9.2解得x=0.6y=1答：甲裝飾公司平均每天收取0.6萬元，乙裝飾公司平均每天收取1萬元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付給兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付給兩組費用共3480元，問：（1）甲、乙兩組單獨工作一天，商店應(yīng)各付多少元？（2）已知甲組單獨完成需要12天，乙組單獨完成需要24天，單獨請哪組，商店所付費用較少？【分析】（1）設(shè)甲單獨工作一天需要x元，乙單獨工作一天商店需付y元，根據(jù)兩組合作8天需付3520元，甲組單獨做6天，乙組單獨做12天，需付費用共3480元，據(jù)此列方程組求解；（2）求出兩組的總費用，然后選擇較少的一組．【解答】解：（1）設(shè)甲單獨工作一天需要x元，乙單獨工作一天商店需付y元，由題意得，8(x+y)=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲單獨工作一天需要300元，乙單獨工作一天商店需付140元；（2）甲單獨完成需付：300×12＝3600（元），乙單獨完成需付：140×24＝3360（元）．答：選擇乙組商店所付費用較少．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．【變式7-4】（2023?定安縣一模）閱讀理解：為打造陶子河沿岸的風(fēng)景帶，有一段長為360米的河道整治任務(wù)由A、B兩個工程隊先后接力完成，A工程隊每天整治24米，B工程隊每天整治16米，共用20天．（1）根據(jù)題意，甲乙兩個同學(xué)分別列出了尚不完整的方程組如下：甲：x+y=()24x+16y=()，乙：x+y=()根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x，y表示的意義，并且補全甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組：甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示；（2）求出其中一個方程組的解，并回答A、B兩工程隊分別整治河道多少米？【分析】（1）甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組可得，甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量，補全方程組即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解法求解方程組甲．【解答】解：（1）甲：x+y=2024x+16y=360乙：x+y=360x甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量；故答案為：A隊的工作時間，B隊的工作時間；A隊的工作量，B隊的工作量．（2）x+y=20①24x+16y=360②①×16﹣②得：﹣8x＝﹣40，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5+y＝20，解得：y＝15，∴方程組的解為：x=5y=15則24x＝120，16y＝240，答：A隊整治河道120米，B隊整治河道240米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，正確找出題目中的相等關(guān)系，列方程組求解．【變式7-5】（2022春?杭州月考）某家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢？（2）現(xiàn)有三種施工方案：①單獨請甲組裝修；②單獨請乙組裝修；③請甲，乙兩組合做．若裝修完后，商店每天可盈利200元，你認(rèn)為如何安排施工有利于商店經(jīng)營？說說你的理由．【分析】（1）設(shè)甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店應(yīng)付y元，根據(jù)“甲、乙兩個裝修組同時施工8天，需付兩組費用共3520元；甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲組每天完成的工作量為m，乙組每天完成的工作量為n，根據(jù)“請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，進(jìn)而可求出甲、乙兩個裝修組單獨施工所需時間，利用總費用＝（每天需付裝修費+200）×裝修時間，可求出三個方案所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店應(yīng)付y元，依題意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲組工作一天商店應(yīng)付300元，乙組工作一天商店應(yīng)付140元．（2）設(shè)甲組每天完成的工作量為m，乙組每天完成的工作量為n，依題意得：8m+8n=16m+12n=1解得：m=1∴甲組單獨完成裝修所需時間為1÷1乙組單獨完成裝修所需時間為1÷1施工方案①所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（300+200）×12＝6000（元）；施工方案②所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（140+200）×24＝8160（元）；施工方案③所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴方案③請甲，乙兩組合做最有利于商店經(jīng)營．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型八商品銷售問題題型八商品銷售問題【例題8】（2022?義烏市模擬）某商場按定價銷售某種商品時，每件可獲利45元；按定價的8.5折銷售該商品8件與將定價降低35元銷售該商品12件所獲利潤相等．該商品的進(jìn)價、定價分別是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元【分析】設(shè)每件商品定價x元，進(jìn)價y元，由題意表示出銷售8件和銷售12件的利潤，進(jìn)而列出方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：設(shè)每件商品定價x元，進(jìn)價y元，根據(jù)題意得：x=y+458(0.85x?y)=12×(45?35)解得：x=200y=155即該商品每件進(jìn)價155元，定價每件200元，故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找出正確等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉銷售問題基本的數(shù)量關(guān)系式：①利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率=利潤②售價=進(jìn)價+利潤=進(jìn)價×（1+利潤率）=標(biāo)價×折扣.【變式8-1】（2022秋?西安期末）直播帶貨已經(jīng)成為年輕人購物的新時尚．某網(wǎng)紅為回饋粉絲，在直播間為某品牌帶貨促銷：凡購買該品牌產(chǎn)品均享受13%的補貼（憑付款截屏到線上客服處返現(xiàn)）．某粉絲購買該品牌電視和空調(diào)各一臺共花去6000元，且該空調(diào)的單價比所買電視的單價的2倍還多600元．（1）該粉絲可以到線上客服處返多少元現(xiàn)金？（2）該粉絲所買的空調(diào)與電視的單價各是多少元？【分析】（1）利用返的現(xiàn)金＝付款金額×13%，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該粉絲所買的空調(diào)的單價是x元，電視的單價是y元，根據(jù)“購買該品牌電視和空調(diào)各一臺共花去6000元，且該空調(diào)的單價比所買電視的單價的2倍還多600元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）．答：該粉絲可以到線上客服處返780元現(xiàn)金．（2）設(shè)該粉絲所買的空調(diào)的單價是x元，電視的單價是y元，根據(jù)題意得：x+y=6000x?2y=600解得：x=4200y=1800答：該粉絲所買的空調(diào)的單價是4200元，電視的單價是1800元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022?甘井子區(qū)校級模擬）某超市對甲、乙兩種商品進(jìn)行打折銷售，其中甲種商品打八折，乙種商品打七五折，已知打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元．（1）打折前甲、乙兩種商品每件分別為多少元？（2）某人購買甲種商品80件，乙種商品100件，問打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省多少元？【分析】（1）設(shè)打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，根據(jù)“打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)節(jié)省的錢數(shù)＝打折前購買所需費用﹣打折后購買所需費用，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，依題意，得：6x+3y=60050×0.8x+40×0.75y=5200解得：x=40y=120答：打折前甲種商品每件40元，乙種商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省3640元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋?和平區(qū)期末）（列二元一次方程組求解）水果經(jīng)營戶老李用520元從水果批發(fā)市場批發(fā)蘋果和橙子共50千克，然后到水果市場去賣，已知蘋果和橙子當(dāng)天的批發(fā)價和零售價如表所示：品名蘋果橙子批發(fā)價（元/千克）812零售價（元/千克）1015（1）求老李購進(jìn)的蘋果和橙子各多少千克？（2）如果蘋果和橙子全部賣完，請直接寫出老李能賺元．【分析】（1）設(shè)老李購進(jìn)蘋果x千克，橙子y千克，根據(jù)老李用520元從水果批發(fā)市場批發(fā)蘋果和橙子共50千克，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進(jìn)數(shù)量），即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)老李購進(jìn)蘋果x千克，橙子y千克，根據(jù)題意得：x+y=508x+12y=520解得：x=20y=30答：老李購進(jìn)蘋果20千克，橙子30千克；（2）（10﹣8）×20+（15﹣12）×30＝2×20+3×30＝40+90＝130（元），∴蘋果和橙子全部賣完，老李能賺130元．故答案為：130．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2022秋?南山區(qū)校級期末）某商場第1次用390000元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后獲得利潤60000元，它們的進(jìn)價和售價如下表：（總利潤＝單件利潤×銷售量）商品價格進(jìn)價（元/件）售價（元/件）A10001200B12001350（1）該商場第1次購進(jìn)A、B兩種商品各多少件？（2）商場第2次以原進(jìn)價購進(jìn)A、B兩種商品，購進(jìn)B商品的件數(shù)不變，而購進(jìn)A商品的件數(shù)是第1次的2倍，B商品按原售價銷售，而A商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經(jīng)營活動獲得利潤等于18000元，則A種商品是打幾折銷售的？【分析】（1）設(shè)第1次購進(jìn)A商品x件，B商品y件，列出方程組可求解；（2）設(shè)A商品打m折銷售，由（1）得A、B商品購進(jìn)的數(shù)量，結(jié)合（2）中數(shù)量的變化，再根據(jù)第2次經(jīng)營活動獲得利潤等于18000元，得出方程即可．【解答】解：（1）設(shè)第1次購進(jìn)A商品x件，B商品y件，根據(jù)題意得：100x+1200y=390000(1200?1000)x+(1350?1200)y=60000解得：x=150y=200答：商場第1次購進(jìn)A商品150件，B商品200件；（2）設(shè)A商品打m折銷售，根據(jù)題意得：購進(jìn)A商品的件數(shù)為：150×2＝300（件），則：300×(1200×m解得：m＝8，答：A商品打8折銷售．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次方程．【變式8-5】（2022秋?渠縣期末）正值春夏換季的時節(jié)，某商場用12000元分別以每件120元和60元的價格購進(jìn)了某品牌襯衫和短袖共140件．（1）商場本次購進(jìn)了襯衫和短袖各多少件？（2）若該商場以每件180元的價格銷售了襯衫總進(jìn)貨量的25%，將短袖在成本的基礎(chǔ)上提價20%銷售，在銷售過程中，有5件襯衫因損壞無法銷售，為了減少庫存積壓，該商場準(zhǔn)備將剩下的襯衫在原售價的基礎(chǔ)上降價銷售，每件襯衫降價多少元，該商場銷售完這批襯衫和短袖正好達(dá)到利潤25.5%的預(yù)期目標(biāo)．【分析】（1）設(shè)商場本次購進(jìn)了襯衫x件，短袖y件，利用進(jìn)貨總價＝進(jìn)貨單價×進(jìn)貨數(shù)量，結(jié)合商場用12000元購進(jìn)某品牌襯衫和短袖共140件，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每件襯衫降價m元，利用總利潤＝銷售單價×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨總價，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)商場本次購進(jìn)了襯衫x件，短袖y件，依題意得：x+y=140120x+60y=12000解得：x=60y=80答：商場本次購進(jìn)了襯衫60件，短袖80件．（2）設(shè)每件襯衫降價m元，依題意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，解得：m＝15．答：每件襯衫降價15元，該商場銷售完這批襯衫和短袖正好達(dá)到益利25.5%的預(yù)期目標(biāo)．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．題型九解決分類問題題型九解決分類問題【例題9】（2021春?奉化區(qū)校級期末）某公園的門票價格規(guī)定如表：購票人數(shù)1～50人51～100人100以上票價10元/人8元/人5元/人（1）某校七年級甲、乙兩班共100多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班為單位分別買票，兩個班一共應(yīng)付920元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團(tuán)體購票，一共只要付515元．問：甲、乙兩班分別有多少人？（2）若有A、B兩個團(tuán)隊共160人，以各自團(tuán)隊為單位分別買票，共用950元，問A、B兩個團(tuán)隊各有多少人？【分析】（1）本題等量關(guān)系有：甲班人數(shù)×8+乙班人數(shù)×10＝920；（甲班人數(shù)+乙班人數(shù)）×5＝515，據(jù)此可列方程組求解；（2）A團(tuán)隊a人，B團(tuán)隊（160﹣a）人，根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，并列出方程進(jìn)行解答．【解答】解：（1）設(shè)甲班有x人，乙班有y人．由題意得：8x+10y=9205(x+y)=515解得：x=55y=48答：甲班55人，乙班48人；（2）設(shè)A團(tuán)隊a人，B團(tuán)隊（160﹣a）人，①當(dāng)1≤a≤50時，由題意得：10a+5（160﹣a）＝950，解得a＝30，則160﹣a＝130．即A團(tuán)隊30人，B團(tuán)隊130人；②當(dāng)51≤a＜60時，由題意得：8a+5（160﹣a）＝950，解得a＝50，不合題意，舍去．③當(dāng)60≤a＜100時，由題意得：8a+8（160﹣a）＝950，明顯該等式不成立．④當(dāng)100≤a＜110時，5a+8（160﹣a）＝950．解得a＝110，不合題意，舍去；⑤當(dāng)a≥110時，5a+10（160﹣a）＝950．解得a＝130，則160﹣a＝30．即A團(tuán)隊130人，B團(tuán)隊30人；綜上所述，A團(tuán)隊30人，B團(tuán)隊130人或A團(tuán)隊130人，B團(tuán)隊30人．解題技巧提煉本題運用了分類討論思想，找到兩個基本的等量關(guān)系式后，應(yīng)根據(jù)不同范圍的重量找