7.2　視圖、投影、尺規(guī)作圖

第頁(yè)7.2視圖、投影、尺規(guī)作圖學(xué)用P81[過(guò)關(guān)演練](30分鐘80分)1.把一個(gè)正六棱柱如圖擺放,光線由上向下照射,此時(shí)正六棱柱的正投影是(A)【解析】易知正投影是正六邊形.2.如圖所示的幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱體組成的,則它的主視圖是(B)【解析】從正面看,下方是一個(gè)較大的矩形,上方是一個(gè)較小的矩形.3.(2019·四川瀘州)如圖是一個(gè)由5個(gè)完全相同的小正方體組成的立體圖形,它的俯視圖是(B)【解析】從上面看第一列是兩個(gè)小正方形,第二列是一個(gè)小正方形,第三列是一個(gè)小正方形.4.(2019·山東聊城)如圖所示的幾何體,它的左視圖是(D)【解析】從左邊看是等寬的上下兩個(gè)矩形,上邊的矩形小,下邊的矩形大,兩矩形的公共邊是虛線.5.下列幾何圖形,主視圖、俯視圖、左視圖都相同的是(B)【解析】結(jié)合選項(xiàng)知,只有球的三視圖都是圓,B符合題意.6.如圖是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖,則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)不可能是(D)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】左視圖與主視圖相同,可判斷出底面最少有2個(gè),最多有4個(gè)小正方體.而第二層則只有1個(gè)小正方體.則這個(gè)幾何體的小立方塊可能有3或4或5個(gè).7.如圖是每個(gè)面上都有一個(gè)漢字的正方體的一種表面展開(kāi)圖,那么在這個(gè)正方體的表面,與“我”相對(duì)的面上的漢字是(D)A.花 B.是 C.攀 D.家【解析】正方體的表面展開(kāi)圖,相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形,“我”與“家”是相對(duì)面;“攀”與“花”是相對(duì)面;“枝”與“是”是相對(duì)面.8.(2019·浙江嘉興)用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD,下列作法中錯(cuò)誤的是(C)【解析】由作圖可知,AC⊥BD,且平分BD,即對(duì)角線平分且垂直的四邊形是菱形,A正確;由作圖可知AB=BC,AD=AB,即四邊相等的四邊形是菱形,B正確;由作圖可知AB=DC,AD=BC,只能得出四邊形ABCD是平行四邊形,C錯(cuò)誤;由作圖可知對(duì)角線AC平分對(duì)角,可以得出四邊形ABCD是菱形,D正確.9.(2019·河南)如圖,已知?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(-1,2),點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖:①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E;②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F;③作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(A)A.(5-1,2) B.(5,2)C.(3-5,2) D.(5-2,2)【解析】設(shè)AC與y軸相交于點(diǎn)H,∵?AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(-1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=5,由題可得OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=5,∴HG=5-1,∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(5-1,2).10.如圖是按1∶10的比例畫(huà)出的一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的側(cè)面積是(C)A.200cm2 B.600cm2C.200πcm2 D.100πcm2【解析】觀察三視圖知該幾何體為圓柱,高(圖上距離)為2cm,底面直徑(圖上距離)為1cm,∵比例尺為1∶10,∴該圓柱體的高的實(shí)際長(zhǎng)度為20cm,底面直徑的實(shí)際長(zhǎng)度為10cm,∴側(cè)面積為10×20·π=200π(cm2).11.三棱柱的三視圖如圖所示,已知△EFG中,EF=8cm,EG=12cm,∠EFG=45°.則AB的長(zhǎng)為42cm.

【解析】過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥FG于點(diǎn)Q,由題意可得出EQ=AB,∵EF=8cm,∠EFG=45°,∴EQ=AB=22×8=42(cm)12.如圖,OP平分∠MON,A是邊OM上一點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心、大于點(diǎn)A到ON的距離為半徑作弧,交ON于點(diǎn)B,C,再分別以點(diǎn)B,C為圓心,大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)D,作直線AD分別交OP,ON于點(diǎn)E,F.若∠MON=60°,EF=1,則OA=23.【解析】由作法得AD⊥ON于點(diǎn)F,∴∠AFO=90°,∵OP平分∠MON,∴∠EOF=12∠MON=12×60°=30°,在Rt△OEF中,OF=3EF=3,在Rt△AOF中,∠AOF=60°,∴OA=2OF=213.(2019·山東青島)一個(gè)由16個(gè)完全相同的小立方塊搭成的幾何體,其最下面一層擺放了9個(gè)小立方塊,它的主視圖和左視圖如圖所示,那么這個(gè)幾何體的搭法共有10種.

【解析】設(shè)俯視圖有9個(gè)位置,由主視圖和左視圖知:①第1個(gè)位置一定是4,第6個(gè)位置一定是3;②一定有2個(gè)2,其余有5個(gè)1;③最后一行至少有一個(gè)2,當(dāng)中一列至少有一個(gè)2.根據(jù)排列不同,這個(gè)幾何體的搭法共有10種.14.如圖,已知圓柱的底面半徑為6cm,高為10cm,螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是21.3cm.(精確到0.1cm)

【解析】畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖,其中B是側(cè)面展開(kāi)圖矩形長(zhǎng)的中點(diǎn),所以由勾股定理得AB2=102+(6π)2,解得AB≈21.3cm,即螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是21.3cm.15.(10分)已知直線l及其兩側(cè)兩點(diǎn)A,B,如圖.(1)在直線l上求一點(diǎn)P,使PA=PB;(2)在直線l上求一點(diǎn)Q,使l平分∠AQB.(以上兩小題保留作圖痕跡,標(biāo)出必要的字母,不要求寫(xiě)作法)解:如圖.16.(10分)如圖所示,一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD,臺(tái)階每層高0.2米,且AC=17.2米,設(shè)太陽(yáng)光線與水平地面的夾角為α,當(dāng)α=60°時(shí),測(cè)得樓房在地面上的影長(zhǎng)AE=10米,現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽(yáng).(1)求樓房的高度約為多少米?(2)過(guò)了一會(huì)兒,當(dāng)α=45°時(shí),小貓(填“能”或“不能”)曬到太陽(yáng).

(參考數(shù)據(jù):3≈1.73)解:(1)當(dāng)α=60°時(shí),在Rt△ABE中,∵tan60°=ABAE∴AB=10·tan60°=103≈10×1.73=17.3(米).∴樓房的高度約為17.3米.(2)當(dāng)α=45°時(shí),小貓仍可以曬到太陽(yáng).理由:假設(shè)沒(méi)有臺(tái)階,當(dāng)α=45°時(shí),從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F,與CM或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為點(diǎn)H.∵∠BFA=45°,∴tan45°=ABAF=此時(shí)的影長(zhǎng)AF=AB=17.3米,∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(米),∴CH=CF=0.1米,∴大樓的影子落在臺(tái)階MC這個(gè)側(cè)面上,∴小貓能曬到太陽(yáng).[名師預(yù)測(cè)]1.將一根圓柱形的空心鋼管任意放置,它的主視圖不可能是(A)【解析】一根圓柱形的空心鋼管不管怎么放置,它的三視圖不可能是三角形,∴主視圖不可能是A項(xiàng).2.如圖,有一個(gè)正方體紙巾盒,它的平面展開(kāi)圖是(B)【解析】根據(jù)展開(kāi)圖的各面相鄰或相對(duì)特點(diǎn)進(jìn)行判斷,也可動(dòng)手操作.3.由若干邊長(zhǎng)相等的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示,則構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體有(C)A.9個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)【解析】結(jié)合三視圖可知,這個(gè)幾何體的底層有2+1+1+1=5個(gè)小正方體,第二層有1個(gè)小正方體,因此構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體有5+1=6個(gè).4.如圖,已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.步驟1:以C為圓心,CA為半徑畫(huà)弧①;步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫(huà)?、?交?、儆邳c(diǎn)D;步驟3:連接AD,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.下列敘述正確的是(A)A.BH垂直平分線段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD【解析】連接CD,BD,∵AC=CD,AB=BD,∴BH為線段AD的垂直平分線,A正確.對(duì)于B,C,D,由題中條件并不能證明.5.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4.以點(diǎn)C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D;再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心,大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)E;作射線CE交AB于點(diǎn)F.則AF的長(zhǎng)為(B)A.5 B.6C.7 D.8【解析】由題意可知,CE⊥AB,∴∠AFC=90°,在Rt△ABC中,∵BC=4,∠A=30°,∠ACB=90°,∴AC=43.在Rt△AFC中,∵∠A=30°,∠AFC=90°,∴AF=43×326.如圖,一個(gè)幾何體的三視圖分別是兩個(gè)矩形、一個(gè)扇形,則這個(gè)幾何體表面積的大小為15π+12.

【解析】通過(guò)三視圖,易知幾何體的形狀如圖,上、下底面的面積和為2×34πr2=2×34π×22=6π.側(cè)面積為34×2πrh+2×2×3=34×2π×2×3+12=9π+12.所以這個(gè)幾何體的表面積為6π+9π+12=157.我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有一條葛藤?gòu)狞c(diǎn)A處向上纏繞,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處.則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是25尺.

【解析】將圓柱平均分成五段,將最下邊一段圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖畫(huà)出,并連接其對(duì)角線即為每段的最短長(zhǎng)度=32+42=5,所以葛藤的最短長(zhǎng)度為5×58.用小立方塊搭一個(gè)幾何體,使從正面和上面看到的這個(gè)幾何體的形狀如圖所示,從上面看到的形狀圖中小正方形中的字母表示在該位置