新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊：指數(shù)函數(shù)

授課主題：指數(shù)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1．嫻熟把握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．會(huì)求指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定義域、值域，并能推斷其單調(diào)性．3．理解指數(shù)函數(shù)的簡潔應(yīng)用模型，培育數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)內(nèi)容1．指數(shù)函數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．由于指數(shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到有理數(shù)和無理數(shù)，所以在底數(shù)a＞0的前提下，x可以是任意實(shí)數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽．2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)：圖象定義域值域性質(zhì)（1）過定點(diǎn)，即時(shí)，（2）在上是減函數(shù)（2）在上是增函數(shù)（3）時(shí)，時(shí)，（3）時(shí)，時(shí)，（4）對于同一個(gè)，與的圖象關(guān)于軸對稱（5）接近于，越靠近軸（5）越大，越靠近軸題型一指數(shù)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用例1點(diǎn)評：推斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一形式，即底數(shù)a為不等于1的正常數(shù)，指數(shù)只能是x，且ax的系數(shù)為1.鞏固下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3－xD．y＝3·2x答案：C題型二求指數(shù)函數(shù)的定義域與值域例2求下列函數(shù)的定義域與值域：點(diǎn)評：函數(shù)y＝af(x)的定義域、值域的求法．(1)函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．(2)函數(shù)y＝af(x)的值域的求法如下：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域D；③求t＝f(x)的值域M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．鞏固求下列函數(shù)的定義域和值域：題型三指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用例3下圖是指數(shù)函數(shù)：①y＝ax(a＞0，且a≠1)，②y＝bx(b＞0，且b≠1)，③y＝cx(c＞0，且c≠1)，④y＝dx(d＞0，且d≠1)的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜dD．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c解析：法一：在①②中底數(shù)小于1且大于零，在y軸右側(cè)，底數(shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故有b＜a，在③④中底數(shù)大于1，在y軸右邊，底數(shù)越大圖象向上越靠近y軸，故有d＜c.法二：設(shè)直線x＝1與①、②、③、④的圖象分別交于點(diǎn)A，B，C，D(如上圖)，則其坐標(biāo)依次為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由圖象觀看可得c＞d＞1＞a＞b.答案：B點(diǎn)評：1.指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)變化的規(guī)律(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象都與直線x＝1相交于點(diǎn)(1，a)．由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大．(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系可概括為：在第一象限內(nèi)，圖高則底大．2．指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理方法(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn)，如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1)；(2)利用圖象變換，如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)；(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．鞏固圖中的曲線是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知取四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線的依次為_______________．答案：題型四利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例4比較下列各組數(shù)的大?。狐c(diǎn)評：比較冪的大小的方法(1)對于底數(shù)相同，但指數(shù)不同的冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來推斷．(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的冪的大小比較，可利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來推斷．(3)對于底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小比較，則應(yīng)通過中間值來比較．鞏固比較下列各組數(shù)的大?。侯}型五求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例5確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并對其加以證明.點(diǎn)評：1.關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)打算，一是底數(shù)a＞1還是0＜a＜1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．2．y＝f(u)，u＝g(x)，列函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性有如下特點(diǎn)：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f[φ(x)]的單調(diào)性．鞏固已知a＞0且a≠1，爭辯函數(shù)的單調(diào)性． 題型六解簡潔的指數(shù)不等式例6已知不等式a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)，試求x的取值范圍．點(diǎn)評：形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．假如a的值不確定，需分0＜a＜1和a＞1爭辯．鞏固已知集合,,則等于（）A．{－1,1}B．{－1} C．{0}D．{－1,0}題型七依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象爭辯其定義域、值域例7求函數(shù)的定義域、值域，并作出圖像．點(diǎn)評：含確定值問題留意爭辯去確定值，指數(shù)函數(shù)定義域、值域相關(guān)問題留意利用函數(shù)的圖象．鞏固畫出函數(shù)y＝2|x＋1|的圖象． 分析：通過分類爭辯可去掉確定值號，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，進(jìn)而作出圖象．另外，也可把函數(shù)y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一個(gè)單位得到，而y＝2|x|的圖象，可由y＝2x的圖經(jīng)對稱變換得到．解析：法一：由函數(shù)解析式可得法二：故先作出y＝2x(x≥0)的圖象，再作關(guān)于y軸對稱，y＝2|x|的圖象，再將y＝2|x|的圖象左移一個(gè)單位即可得到y(tǒng)＝2|x＋1|的圖象．點(diǎn)評：函數(shù)y＝ax的圖象與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱，y＝ax的圖象與y＝－ax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝ax的圖象與y＝－a－x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．A組1.指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，那么f(2)·f(4)的值為()A．64 B．256 C．8D．162.設(shè),則有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y23．函數(shù)的定義域?yàn)開__________;值域?yàn)開___________.答案：；B組1．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)的定義域是()A．(－∞，0)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指數(shù)函數(shù)y＝2x的性質(zhì)可知x≤0.答案：C2．一種細(xì)胞在分裂時(shí)由一個(gè)分裂成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)，四個(gè)分裂成八個(gè)，……每天分裂一次，現(xiàn)在將一個(gè)該細(xì)胞放入一個(gè)容器，發(fā)覺經(jīng)過10天就可布滿整個(gè)容器，則當(dāng)細(xì)胞分裂到布滿容器的一半時(shí)需要的天數(shù)是()A．5天B．6天C．8天D．9天答案：D3．若0＜a＜1，b＜－2，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象肯定不經(jīng)過()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：A4．函數(shù)＝y(tǒng)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1－\f(1,8))的定義域是________．C組1．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，當(dāng)f(x1)＝g(x2)＝2時(shí)，有x1＞x2，則a，b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)＜bD．不能確定解析：∵a＞1，b＞1，由圖示知b＞a.答案：C2．定義運(yùn)算，例如，則函數(shù)的值域?yàn)開_____________．3．若函數(shù)f(x)＝ax－1＋3恒過定點(diǎn)P，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．分析：爭辯f(x)＝ax的圖象和f(x)＝ax－1＋3圖象的關(guān)系，由指數(shù)函數(shù)恒過(0,1)點(diǎn)推導(dǎo)．解析：將指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象沿x軸右移一個(gè)單位，再沿y軸向上平移3個(gè)單位，即可得到y(tǒng)＝ax－1＋3的圖象，由于y＝ax的圖象恒過(0,1)，故相應(yīng)的y＝ax－1＋3恒過定點(diǎn)(1,4)．4．的最大、最小值．A組1.函數(shù)f(x)＝3－x－1的值域是()A．R B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．[0，＋∞)答案：CA. B. C. D.B組1．已知指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則a等于()A.eq\f(1,2)B．2 C．4D.eq\f(1,4)解析：∵指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，∴端點(diǎn)處取得最大、小值，∴a0＋a＝3，故a＝2.答案：B2．下列不等關(guān)系中，正確的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜1C．1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜13．函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，對于任意實(shí)數(shù)x，y都有()A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故選C.答案：C4．將函數(shù)y＝2x的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可得到函數(shù)__________的圖象．答案：y＝2x－1＋25．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－2x在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．解析：∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－2x在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，有最大值為eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)C組1．函數(shù)y＝|2－x－2|的圖象是()答案：D2．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍為()A．(－∞，1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(0,2)D．R解析：∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)＞1，∴由題設(shè)知x＞1－x，解得x＞eq\f(1,2).答案：B3．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)，若f(x)為奇函數(shù)，則a＝__________.解析：∵f(－x)＝a－eq\f(1,2－x＋1)＝a－e