




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文檔簡(jiǎn)介
平均數(shù)的變異數(shù)分析
ANOVA
Cheng-FongWong2024/8/81大綱變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析
檢定k個(gè)母體平均數(shù)是否相等事後比較2024/8/82變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析(ANOVA)可用來檢定三個(gè)或三個(gè)以上得自觀察型或?qū)嶒?yàn)型研究的資料母體平均數(shù)是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結(jié)果進(jìn)行以下假設(shè)檢定。2024/8/83H0:
1
=
2
=
3
=
...=
k
Ha:所有母體平均數(shù)不全相等變異數(shù)分析介紹如果拒絕H0
,我們不能下結(jié)論說所有的母體平均數(shù)都不相等。拒絕H0
意指至少有兩個(gè)母體平均數(shù)不相等2024/8/84變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析的假設(shè)每個(gè)母體之反應(yīng)變數(shù)均呈常態(tài)分配。所有反應(yīng)變數(shù)的變異數(shù),記為
2,均相等由每個(gè)母體抽取之樣本必須互為獨(dú)立。2024/8/85變異數(shù)分析
檢定k個(gè)母體平均數(shù)是否相等母體變異數(shù)之處理間估計(jì)值母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計(jì)值比較變異數(shù)之估計(jì)值:F檢定ANOVA表2024/8/86母體變異數(shù)之處理間估計(jì)值
2之處理間估計(jì)值的概念,稱之為處理間均方(MSTR)。
MSTR的分子稱為處理間平方和(SSTR)。
MSTR的分母為SSTR的自由度。組間平方和SSTR母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計(jì)值共同變異數(shù)
2之處理內(nèi)估計(jì)值的概念,稱之為誤差均方(MSE)。MSE的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE的分母為SSE的自由度。2024/8/88誤差平方和SSE比較變異數(shù)之估計(jì)值:F檢定假設(shè)虛無假設(shè)為真且ANOVA之假設(shè)均成立,MSTR/MSE的抽樣分配將會(huì)服從MSTR自由度為k-1,MSE自由度為nT–k的F分配。如果k個(gè)母體平均數(shù)不全相等,則因MSTR高估2,MSTR/MSE值將提高。因此,當(dāng)MSTR/MSE之值太大,使其不似來自F分配時(shí),我們將拒絕H0。假設(shè)
檢定統(tǒng)計(jì)量
拒絕法則
其中F
值係由分子自由度k-1,分母自由度nT-k
之F分配查表而得。H0:
1
=
2
=
3
=
...=
k
Ha:所有母體平均數(shù)不全相等F=MSTR/MSE假設(shè)F>F,拒絕H0MSTR/MSE之抽樣分配此圖顯示顯著水準(zhǔn)為
時(shí)的拒絕域,其中F
為臨界值。不拒絕H0拒絕H0F
臨界值MSTR/MSEANOVA表
SST除以它的自由度nT-1,即為總樣本異變數(shù),其為將nT個(gè)觀察值視為同一組樣本計(jì)算而得。變異來源平方和自由度均方F處裡SSTRk-1MSTRMSTR/MSE誤差SSEnT-kMSE
總和SSTnT-k
例題變異數(shù)分析 國(guó)家電腦產(chǎn)品公司(NCP)係生產(chǎn)印表機(jī)與傳真機(jī)的公司,它在亞特蘭大、達(dá)拉斯、西雅圖三地均設(shè)有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念,我們從每間工廠各隨機(jī)選取6名員工參加品質(zhì)認(rèn)知測(cè)驗(yàn)。18名員工的測(cè)驗(yàn)成績(jī)及各個(gè)工廠的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標(biāo)準(zhǔn)差均列於下表。變異數(shù)分析
廠1 廠2 廠3
觀察值 亞特蘭大達(dá)拉斯 西雅圖
1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 858267
樣本平均數(shù) 79 74 66
樣本變異數(shù) 34 20 32
樣本標(biāo)準(zhǔn)差5.834.475.66範(fàn)例變異數(shù)分析處理間均方 因?yàn)闃颖緮?shù)均相同
x=(79+74+66)/3=73
SSTR=6(79-73)2+6(74-73)2+6(66-73)2=516
MSTR=516/(3-1)=258誤差均方
SSE=(6–1)34+(6–1)20+(6–1)32=430
MSW=430/(18-3)=28.67=範(fàn)例變異數(shù)分析虛無與對(duì)立假設(shè)
H0:
1
=
2
=
3
Ha:所有母體平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不全相等 其中:
1=母體1平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)
2=母體2平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)
3=母體3平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)變異數(shù)分析F檢定 假設(shè)虛無假設(shè)為真,此時(shí)MSTR與MSE為兩個(gè)相互獨(dú)立的2之不偏估計(jì)值。對(duì)一個(gè)常態(tài)分配母體而言,兩個(gè)相互獨(dú)立的母體變異數(shù)2之估計(jì)值的比,所形成的抽樣分配必服從F分配。因此,假設(shè)虛無假設(shè)為真且ANOVA之假設(shè)均成立,MSTR/MSE的抽樣分配將會(huì)服從分子自由度為
k–1,分母自由度為n–k的F分配。拒絕法則 假設(shè)F=MSTR/MSE>3.68,則拒絕H0變異數(shù)分析檢定統(tǒng)計(jì)量
F=MSB/MSW=258/28.67=9.00結(jié)論
由於F=MSTR/MSE=258/28.67=9.00大於臨界值F=3.68。因此,我們有充分的證據(jù)拒絕三個(gè)母體平均數(shù)相等的虛無假設(shè)。換言之,變異數(shù)分析支持NCP公司中,三家工廠平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不全相等之結(jié)論。變異數(shù)分析ANOVA表
變異來源平方和自由度均方F
處理
516 2258.009.00
誤差 430 15 28.67
總和 946 17多重比較
〔MultipleComparisons〕在ANOVA分析裡,有三組〔含〕以上之組別接受不同的自變項(xiàng)〔IV〕的處理,但是ANOVA的結(jié)果只能解釋這三組〔以上〕之間『有無差異』,而無法解釋『兩組間的差異』。多重考驗(yàn)次數(shù)越多,越容易犯錯(cuò)〔a,當(dāng)H0為真時(shí),拒絕H0之機(jī)率〕,因此衍生出一些校正a值的考驗(yàn)方法。2024/8/820事前比較
〔apriori,plannedcomparison〕因?yàn)橛欣碚摶A(chǔ)或假設(shè)作引導(dǎo),所以在實(shí)驗(yàn)前就已經(jīng)決定要做的組間比較
2024/8/821事後比較
〔aposteriori,post-hoc,unplannedcomparison〕實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有顯著的F值時(shí),才會(huì)做的組間比較杜凱氏考驗(yàn)〔Tukey’sHSD〕組間樣本數(shù)相等雪費(fèi)法〔Scheffe’s〕每一組有不相等的樣本數(shù)2024/8/822雪費(fèi)LSD程序假設(shè)變異數(shù)分析已提供拒絕母體平均數(shù)相等之虛無假設(shè)的統(tǒng)計(jì)證據(jù)。此時(shí),費(fèi)雪最低顯著差異(LSD)程序可用以決定哪些母體平均數(shù)間存在差異。2024/8/823雪費(fèi)LSD程序假設(shè)
檢定統(tǒng)計(jì)量拒絕法則
其中ta/2值係查自由度為nT
–
k之t分配表而得。2024/8/824H0:
i
=
jHa:
i
j假設(shè)t<-ta/2或t>ta/2,拒絕H0以檢定統(tǒng)計(jì)量為基礎(chǔ)之雪費(fèi)LSD程序假設(shè)
檢定統(tǒng)計(jì)量
拒絕法則
其中2024/8/825H0:
i=
jHa:
i
j若|xi-xj|>LSD,則拒絕H0__雪費(fèi)LSD
假設(shè)
=0.05,虛無與對(duì)立假設(shè)(1)H0:
1=
2
Ha:
1
2統(tǒng)計(jì)檢定量
|x1-x2|=|79-74|=5結(jié)論 我們無法下「亞特蘭大之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)與達(dá)拉斯之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)不相等」之結(jié)論。2024/8/826雪費(fèi)LSD虛無與對(duì)立假設(shè)(2)
H0:
1=
3
Ha:
1
3統(tǒng)計(jì)檢定量
|x1-x3|=|79-66|=13結(jié)論 由於此值大於6.59,我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測(cè)驗(yàn)成績(jī)相等之假設(shè)。2024/8/8
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