2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 6 垂直關(guān)系 6.1 垂直關(guān)系的判定（教師用書）教案 北師大版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步6垂直關(guān)系6.1垂直關(guān)系的判定（教師用書）教案北師大版必修2授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自北師大版必修2高中數(shù)學(xué)第1章“立體幾何初步”中的6.1節(jié)“垂直關(guān)系的判定”。教學(xué)內(nèi)容主要包括：

1.理解垂直關(guān)系的定義和性質(zhì)；

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何法和平面解析法判斷線線垂直、線面垂直和面面垂直；

3.掌握垂直關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用；

4.能夠解決一些簡(jiǎn)單的垂直關(guān)系證明問題，例如證明線與線、線與面、面與面的垂直關(guān)系；

5.通過具體實(shí)例，讓學(xué)生感受垂直關(guān)系在實(shí)際生活中的重要性。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)直觀四個(gè)方面展開。

1.數(shù)學(xué)抽象：通過垂直關(guān)系的定義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從具體事物中抽象出數(shù)學(xué)概念和關(guān)系的能力，讓學(xué)生理解垂直關(guān)系在幾何圖形中的普遍存在和重要作用。

2.邏輯推理：在教學(xué)過程中，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何法和平面解析法進(jìn)行垂直關(guān)系的判定，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力，使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。

3.數(shù)學(xué)建模：通過實(shí)際問題的引入，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用垂直關(guān)系判定方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。

4.數(shù)學(xué)直觀：借助直觀的教具和實(shí)際案例，讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受垂直關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直觀。

5.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合運(yùn)用：通過解決垂直關(guān)系證明問題，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的綜合素質(zhì)。

在教學(xué)過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索、合作交流，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新能力，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，提升核心素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）垂直關(guān)系的定義及其性質(zhì)：理解垂直關(guān)系是兩條直線或線與面之間的特殊位置關(guān)系，掌握其基本性質(zhì)，如垂直線段的性質(zhì)、垂直平面與直線的性質(zhì)等。

舉例：通過實(shí)際生活中的例子，如墻角、桌面與地面等，讓學(xué)生理解垂直關(guān)系的概念。

（2）垂直關(guān)系的判定方法：重點(diǎn)掌握幾何法和平面解析法判斷線線垂直、線面垂直和面面垂直的方法。

舉例：給出具體的幾何圖形，讓學(xué)生判斷兩條直線、直線與平面、平面與平面之間的垂直關(guān)系，并說明判定依據(jù)。

（3）垂直關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用：學(xué)會(huì)將垂直關(guān)系應(yīng)用于解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

舉例：運(yùn)用垂直關(guān)系解決建筑、工程等領(lǐng)域中的實(shí)際問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）垂直關(guān)系的判定：對(duì)于不同類型的垂直關(guān)系，判定方法的選擇和應(yīng)用是難點(diǎn)。

突破方法：通過典型例題的講解和練習(xí)，讓學(xué)生掌握不同情況下的判定方法，如利用垂直線段的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等。

（2）垂直關(guān)系的證明：如何運(yùn)用已知條件和幾何定理進(jìn)行垂直關(guān)系的證明，是學(xué)生普遍感到困難的地方。

突破方法：指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理和幾何定理，分步驟進(jìn)行證明，并給出詳細(xì)的解釋和說明。

（3）空間想象能力的培養(yǎng)：對(duì)于空間幾何問題，學(xué)生往往缺乏空間想象能力，難以理解垂直關(guān)系在不同角度和維度下的表現(xiàn)。

突破方法：利用教具、多媒體等輔助手段，讓學(xué)生從不同角度觀察和思考問題，培養(yǎng)空間想象能力。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，確保學(xué)生能夠透徹理解本節(jié)課的核心知識(shí)。同時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，提高學(xué)生的幾何素養(yǎng)和解決問題的能力。教學(xué)資源1.軟硬件資源

-教學(xué)課件（PPT）

-立體幾何模型（教具）

-直尺、圓規(guī)等繪圖工具

-黑板、白板、磁性貼紙

2.課程平臺(tái)

-學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)（發(fā)布作業(yè)、學(xué)習(xí)資料等）

-課堂互動(dòng)軟件（如課堂派、雨課堂等）

3.信息化資源

-3D幾何繪圖軟件（輔助展示立體圖形）

-數(shù)學(xué)學(xué)科軟件（如GeoGebra、MathType等）

-視頻資源（講解難點(diǎn)、展示立體幾何動(dòng)畫等）

4.教學(xué)手段

-探究式教學(xué)（小組合作、討論交流）

-情境教學(xué)（生活實(shí)例、實(shí)際問題）

-互動(dòng)教學(xué)（提問、回答、講解）

-演示教學(xué)（利用教具、多媒體展示）

-練習(xí)與反饋（課堂練習(xí)、作業(yè)批改、個(gè)別輔導(dǎo)）教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是“垂直關(guān)系的判定”這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^什么是垂直的現(xiàn)象？”（如墻角、桌面與地面等）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索垂直關(guān)系的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解垂直關(guān)系的基本概念。垂直關(guān)系是指兩條直線或線與面之間的特殊位置關(guān)系，它是幾何圖形中非常重要的性質(zhì)。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了垂直關(guān)系在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定方法這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與垂直關(guān)系相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示垂直關(guān)系的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“垂直關(guān)系在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了垂直關(guān)系的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)垂直關(guān)系的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《幾何原本》：了解歐幾里得幾何中的垂直關(guān)系及其相關(guān)定理。

-《立體幾何圖形的畫法》：學(xué)習(xí)如何準(zhǔn)確地繪制立體圖形，以及在不同角度觀察垂直關(guān)系。

-《建筑中的幾何學(xué)》：探索垂直關(guān)系在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，如高樓大廈的穩(wěn)定性分析。

-《工程制圖》：了解垂直關(guān)系在工程圖紙中的表示方法及其在實(shí)際工程中的作用。

-《數(shù)學(xué)史上的幾何學(xué)家》：了解幾何學(xué)家在垂直關(guān)系研究方面的貢獻(xiàn)和發(fā)現(xiàn)。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

-研究垂直關(guān)系在其他學(xué)科中的應(yīng)用，如物理學(xué)中的力的分解、化學(xué)結(jié)構(gòu)中的分子構(gòu)型等。

-探索垂直關(guān)系在自然界中的存在，如晶體結(jié)構(gòu)、植物生長(zhǎng)方向等。

-設(shè)計(jì)并制作一個(gè)垂直關(guān)系演示裝置，用于解釋線線垂直、線面垂直和面面垂直的概念。

-利用3D建模軟件，如SketchUp或Blender，創(chuàng)建一個(gè)包含多種垂直關(guān)系的立體幾何模型。

-研究垂直關(guān)系在藝術(shù)作品中的應(yīng)用，如繪畫中的透視法、雕塑中的立體構(gòu)成等。

-分析并解釋生活中常見的垂直現(xiàn)象，如橋梁的拱形結(jié)構(gòu)、建筑物的立面設(shè)計(jì)等。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)1.課堂小結(jié)

（1）垂直關(guān)系的定義及其性質(zhì)：垂直關(guān)系是指兩條直線或線與面之間的特殊位置關(guān)系，具有垂直線段的性質(zhì)、垂直平面與直線的性質(zhì)等。

（2）垂直關(guān)系的判定方法：本節(jié)課學(xué)習(xí)了幾何法和平面解析法判斷線線垂直、線面垂直和面面垂直的方法。

（3）垂直關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用：通過實(shí)例分析，了解垂直關(guān)系在建筑、工程等領(lǐng)域的重要性。

2.當(dāng)堂檢測(cè)

（1）選擇題

①以下哪個(gè)選項(xiàng)不是垂直關(guān)系的判定方法？

A.幾何法

B.平面解析法

C.向量法

D.觀察法

②下列哪個(gè)圖形展示了線面垂直關(guān)系？

A.直線與平面相交

B.直線與平面平行

C.直線在平面內(nèi)

D.平面與平面垂直

（2）填空題

①兩條直線互相垂直，它們的夾角是______度。

②如果一個(gè)點(diǎn)到直線的距離是0，那么這個(gè)點(diǎn)與直線之間的位置關(guān)系是______。

（3）解答題

①請(qǐng)用幾何法證明：在等腰三角形中，底邊上的高線與底邊垂直。

②請(qǐng)利用平面解析法判斷：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0,2)到平面xoy的距離。

（4）實(shí)際應(yīng)用題

①在一座大橋的設(shè)計(jì)中，橋墩與水面的夾角為60度，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解釋這個(gè)夾角對(duì)大橋穩(wěn)定性的影響。

②在一棟建筑物的設(shè)計(jì)中，為了使建筑物顯得更加美觀，設(shè)計(jì)師采用了垂直線條作為立面設(shè)計(jì)的主要元素。請(qǐng)分析這種設(shè)計(jì)對(duì)建筑物外觀和結(jié)構(gòu)的影響。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-垂直關(guān)系的定義與性質(zhì)

-兩條直線垂直：夾角為90度

-線與面垂直：線在面內(nèi)或與面相交成直角

-面與面垂直：相交線垂直于其中一個(gè)面

-垂直關(guān)系的判定方法

-幾何法：利用垂直線段的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等

-平面解析法：利用向量的點(diǎn)積、坐標(biāo)計(jì)算等

-垂直關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用

②重點(diǎn)詞句：

-"垂直線段最短"

-"點(diǎn)到直線的距離"

-"線線垂直、線面垂直、面面垂直"

-"幾何法與平面解析法"

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色的粉筆，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)，如用紅色標(biāo)注關(guān)鍵詞語，藍(lán)色標(biāo)注公式和判定方法。

-利用圖形和示意圖，展示立體幾何中的垂直關(guān)系，增強(qiáng)視覺效果。

-創(chuàng)意布局，如在板書兩側(cè)添加與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的趣味插圖，如建筑物的立體圖、自然界中的垂直現(xiàn)象等。

-設(shè)計(jì)互動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生上臺(tái)參與板書，如在判定方法部分，邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示如何使用幾何法和平面解析法判斷垂直關(guān)系。典型例題講解例題1：證明線線垂直

題目：在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，證明：CD垂直于AB。

解答：連接AD和BD，由于AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以AD=DC，∠ADB=∠ADC。又因?yàn)槿切蜛DB和三角形ADC是全等的，所以∠BDC=90度，即CD垂直于AB。

例題2：證明線面垂直

題目：直線l在平面α內(nèi)，點(diǎn)P是直線l外的一點(diǎn)，且直線l垂直于過點(diǎn)P的平面β，證明：直線l垂直于平面β。

解答：過點(diǎn)P作平面β的垂線，設(shè)垂足為H，連接PH。由于直線l垂直于平面β，所以PH垂直于直線l。又因?yàn)镻H在平面α內(nèi)，所以直線l垂直于平面α。

例題3：證明面面垂直

題目：平面α和平面β相交于直線l，平面α垂直于平面β，證明：平面α垂直于平面β。

解答：由于平面α和平面β相交于直線l，且平面α垂直于平面β，所以直線l垂直于平面β。又因?yàn)橹本€l在平面α內(nèi)，所以平面α垂直于平面β。

例題4：應(yīng)用垂直關(guān)系解決實(shí)際問題

題目：在一棟建筑物的設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)師希望在立面設(shè)計(jì)中采用垂直線條作為主要元素。請(qǐng)分析這種設(shè)計(jì)對(duì)建筑物外觀和結(jié)構(gòu)的影響。

解答：采用垂直線條作為立面設(shè)計(jì)的主要元素可以使建筑物顯得更加挺拔和穩(wěn)定。垂直線條可以