2020-2021學年新教材高中數(shù)學第十一章立體幾何初步1142平面與平面垂直學案新人教B版必修第四冊

11.4.2平面與平面垂直

新課程標準學業(yè)水平要求

★水平一

1.借助長方體,通過直觀1.能夠了解用數(shù)學語言表達的面面垂直的判定與性質(zhì)定

感知，了解平面與平面垂理.（數(shù)學抽象）

直的關(guān)系，并歸納出面面2.了解面面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯

垂直的判定與性質(zhì)定理.關(guān)系.（邏輯推理）

2.能運用直觀感覺、定理3.掌握一些基本命題的證明，并有條理地表述論證過程.（邏

和已獲得的結(jié)論證明空輯推理）

間基本圖形位置關(guān)系的★水平二

命題.對于一些基本命題，能選擇合適的論證方法表述論證過程，能

夠通過舉反例說明某些數(shù)學結(jié)論不成立.（邏輯推理）

必備知識-自主學習

1.二面角、二面角的平面角是怎樣定義的?怎么求二面角的大??？

導(dǎo)思2.平面與平面垂直的判定定理是什么？

3.兩平面垂直的性質(zhì)定理是什么？

1.二面角

（D二面角的定義

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線稱為二面角的棱,這兩個半

平面稱為二面角的面.

（2）圖示與記法

圖示記法

二面角?-1-0或

二面角P-AB-Q或

二面角P-1-Q

（3）二面角的平面角

定義圖示

在二面角a-1-P的棱上任取一點。，以0

為垂足，分別在半平面a和B內(nèi)作垂直于

棱的射線0A和0B,則射線0A和0B所成的

角稱為二面角的平面角

思考7

(i)在二面角的定義中，根據(jù)“從一條直線出發(fā)的兩個半平面”，想一想，能否用運動的觀點

定義二面角？

提示:二面角也可以看作是一個半平面以其棱為釉旋轉(zhuǎn)而成.

(2)二面角的平面角的定義中，“棱1上”、“在半平面a和B內(nèi)”、“垂直于棱”可以

缺少一個嗎？

提示:這三條是構(gòu)成二面角的平面角的三要素,缺一不可.實際上,二面角的平面角的頂點必須

在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直:這三個缺一不可.前兩

個要索決定了二面角的平面角在同一個平面內(nèi)，第三個要素決定了二面角的平面角大小的唯

一性和平面角所在的平面與棱垂直.

2.平面與平面垂直

(1)兩個平面垂直的定義

如果兩個平面a與B所成角的大小為90°,則稱這兩個平面互相垂直，記作a_LB.

(2)畫法:兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖所示.

(3)面面垂直的判定定理

判定定理符號表示圖示

(4)面面垂直的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理符號表示圖示

如果兩個平面互相垂直，那如果

么在一個平面內(nèi)垂直于它們a_LB,anB

交線的直線垂直于另一個平=m,AOua,A0±5

面m,則A0±B

思考？

(1)由面面垂直的定義中“直二面角”可以想到線線垂直和面面垂直有什么關(guān)系？

提示:作出二面角的平面角，由二面角的平面角是直角推出兩個平面垂直,反之，由兩個平面垂

直也可以推出二面角的平面角是直角，即實現(xiàn)了線線垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.

(2)由面面垂直的判定定理中，可以想到線面垂直和面面垂直有什么關(guān)系？

提示:可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為:線面垂直,則面面

垂直.因此證明面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

(3)性質(zhì)定理中若去掉在一個平面內(nèi)即“AOua”，定理是否成立？

提示:不一定成立，如圖,a_La,這時也有2_11,但a與B不垂直.

,，基礎(chǔ)小測j

1.辨析記憶(對的打“J”，錯的打“X”)

(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角.

(2)對于確定的二面角而言,平面角的大小與頂點在棱上的位置有關(guān).

(3)兩個平面垂直，其中一個平面內(nèi)的任一條直線與另一個平面一定垂直.

(4)如果平面a內(nèi)有一條直線垂直于平面B內(nèi)的一條直線，則a1P.

提示：(1)X.由二面倒的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面倒，所以

(1)不對，實質(zhì)上它共有四個二面角.

⑵X.對于確定的二面角而言，在其棱上任取兩個不同的點，分別作這兩個二面角的平面角，

因為這兩個二面角的平面角所在的邊分別平行，且它們的方向相同，所以這兩個角相等，即平

面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)，所以該命題錯誤.

(3)X.不一定.只有在一個平面內(nèi)垂直于兩平而交線的直線才能垂直于另一個平面.

⑷X.如圖所示，長方體中平面a內(nèi)有一條直線I垂直于平面B內(nèi)的一條直線叫但是平面a與

平面B不垂直.

2.空間四邊形ABCD中，若AD±BC,BDXAD,那么有

A.平面ABC_L平面ADC

B.平面ABCJ_平面ADB

C.平面ABC_L平面DBC

D.平面ADC_L平面DBC

【解析】選D.因為AD±BC,ADXBD,BCDBD=B,

所以ADJ■平面BCD.

又因為ADc平面ADC,

所以平面ADCJ■平面DBC.

3.（教材二次開發(fā):例題改編）在長方體ABCD-ABCD中,AB=AD=2A/WCC*/2,二面角G-BD-C

的大小為.

【解析】如圖，連接AC交BD于點0,連接GO.

因為CiD=CiB,0為BD中點,

所以CQ_LBD.

因為AC±BD,所以NCQC是二面角C-BD-C的平面角，

在RtACiCO中，GC=企，可以計算出CQ=2&,

CiC1

所以sinNGOG;-------

C±O2

所以NCQC=30°.

答案:30°

關(guān)鍵能力-合作學習

類型一二面角的概念及大小的計算（數(shù)學運算、直觀想象）

【典例】如圖所示，四邊形ABCD是正方形,0是正方形的中心,四_L底面ABCD,側(cè)棱HA與底面

A/6

ABCD所成的角的正切值為一.求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小.

2

V6

【思路導(dǎo)引】一方面借助側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為5求底面邊長和棱錐高的

關(guān)系，另?方面要作出側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，并解直角三角形求正切

值.

【解析】取AD中點M,連接MO,PM,

因為四邊形ABCD是正方形，所以0A=0D,所以O(shè)M±AD,

因為POJ■底面ABCD,所以NPOA=NP0D=90°,

所以aPOA且△POD,所以PA=PD,所以PM±AD,

所以NPM0是側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因為PO_L底面ABCD,

DMA

所以NPA0是側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，

V6

所以tanNPAO二,

2

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則AoJ^a,

2

V2V6V3

所以PO=AO?tanZPAO=---aX—=-a,

222

OP后

所以tanZPMO=---=V3,所以/PM0=60°.

OM

故側(cè)面PAD與底而ABCD所成的二面角是60°.

?變直送究

V6

將本例的條件“側(cè)楂PA與底面ABCD所成的角的正切值為——”改為“底面邊長為a,E是PC

2

的中點.若二面角E-BD-C為30°”，求四棱錐P-ABCD的體積.

B

【解析】取0C的中點F,連接EF,OE,如圖所示,

因為E為PC的中點，

所以EF為△POC的中位線，所以EF〃PO,

因為POJL底面ABCD,所以EF_L底面ABCD,

BDc平面ABCD,所以EF_LBD,

因為OF_LBD,EF±BD,OFClEF=F,

所以BDJ■平面EOF,OEc平面EOF,

所以BDLOE,

所以NEOF為二面角E-BD-C的平面角，

所以NEOF=30°,

11V2

因為OF=-OC=-AC=—a,

244

所以在RtZkEOF中，

EF=OF-tan300=-a,

12

所以0P二2EF=A,

6

故Vi/xdx吏a二吏J

3618

?解避略

1.求二面角大小的步驟

作出平面角

證明所作的角滿足定義,即為所求二面角

的平面角

將作出的角放在三角形中,計算出平面角

的大小

簡稱為“一作二證三求”.

2.作二面角的平面角的方法

方法一：（定義法）在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.

如圖所示，ZAOB為二面角n-a-B的平面角.

方法二：（垂線法）過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該

點與垂足,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.

如圖所示，ZAFE為二面角A-BC-I）的平面角.

方法三：（垂面法）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩

條交線所成的角，即為二面角的平面角.

如圖所示，NAOB為二面角a-1-3的平面角.

提醒：二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān),通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作平面角

的頂點

跟蹤訓練

1.如圖,在正方體ABCD-ABCD中,求二面角B-AiCrB,的正切值.

（解析］取AC的中點0,連接B,0,B0.

由題意知B,O±AiCh又BAFBCI,0為AiCi的中點，所以B0_LAQ,所以NBOBi即是二面角B-AiCi-Bi

的平面角.

因為BBiJ■平面AiB^iDi.OBiC平面ABCD,

所以BB,±OBi.

設(shè)正方體的棱長為a,則陽二紇

2

在RtABBiO中tanZBOB,=

所以二面角B-A￡LBI的正切值為Y2.

2.如圖所示,在4ABC中,AB_LBC,SAJ_平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC,SC于點D,E,又

SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.

（解析】因為E為SC的中點，且SB=BC,

所以BE_LSC.又DE_LSC,BEClDE=E,

所以SCJ■平面BDE,所以BD±SC,又SAJ■平面ABC,

可得SA_LBD,因為SCClSA=S,所以BDJ■平面SAC,

從而BD±AC,BD±DE,

所以NEDC為二面角E-BD-C的平面角.

設(shè)SA=AB=1,在4ABC中，因為AB_LBC,

所以SB=BC=V2,AC=A/3,

所以SC=2.在RtASACZDCS=30°,

所以NEDC=60°,即二面角E-BD-C為60°.

【補償訓練】

1.如圖所示的二面角可記為(

A.a-3-1B.M-l-NC.1-M-ND.l-0-a

【解析】選B.根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確.

1

2.如圖,AC_L平面BCD,BD±CD,AC=~AD,求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小.

2

【解析】因為AC_L平面BCD,BDc平面BCD,所以BD±AC.

又因為BD_LCD,ACDCD=C,所以BDJ■平面ACD.

因為ADc平面ACD,所以AD±BD,

1

所以NADC即為平面ABD與平面BCD所成二面南的平面角.在RtAACD中，AC二一AD,所以N

2

ADC=30°.

即平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小為30°.

類型二平面與平面垂直的判定（邏輯推理、直觀想象）

【典例】1.經(jīng)過平面a外一點和平面a內(nèi)一點與平面a垂直的平面有.

2.如圖，四棱柱ABCD-ABCD的底面為菱形，四邊形BBDD是矩形，證明：平面BDDB_L平面

AiC>CA.

【思路導(dǎo)引】1.分這兩點的連線與平面之間的關(guān)系討論，得出不同的結(jié)論.

2.依據(jù)題目條件,要證平面BDDB_L平面ACCA,只要證BD_L平面ACCA.

【解析】1.設(shè)平面外的點為A,平面內(nèi)的點為B,過點A作平面a的垂線1,若點B恰為垂足，

則所有過AB的平面均與a垂直，此時有無數(shù)個平面與a垂直；若點B不是垂足，則1與點B

確定唯一一個平面與a垂直.

答案:1個或無數(shù)個

2.由于四邊彩BBiDtD是矩形，所以BD±B,B.

又A從〃BB,所以BDJLAA

又四棱柱ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形,

所以BD_LAC.

因為ACClAiA=A，所以BDJ■平面AiCiCA.

因為BDu平面BDDB,

所以平面BDDBJ■平面AiCiCA.

.解涯南

證明平面與平面垂直的兩個常用方法

(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：

①找出兩相交平面的平面角；

②證明這個平面角是直角；

③根據(jù)定義,這兩個相交平面互相垂直.

(2)利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直，只要證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條

直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是：

跟蹤訓練'

1.已知直線1_L平面?,則經(jīng)過1且和□垂直的平面

A.有一個B.有兩個

C.有無數(shù)個D.不存在

【解析】選C.經(jīng)過1的任一平面都和a垂直.

2.如圖，在直三棱柱ABC-A.B,C.中，D,E分別為AB,BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且

BD_LAF,ACJ_AB.

求證：(DDE〃平面ACF.

(2)平面BiDE_L平面AiCiF.

【證明】⑴因為D,E分別是AB,BC的中點,

所以DE〃AC,又AC〃AC,所以DE〃AC,

又因為AiCiC平面AiCiF,且DEQ平面ACF,

所以DE〃平面ACF.

(2)因為ABC-ABC是直三棱柱，

所以AA」平面ABG,

所以AAi±AiC,.

又因為AiCi±AiBi,JLAA,ClAiBi=AbAAbA1B1C平面AABB,所以AG_L平面AABB,

所以ACJLBD,又AiF±B,D,A.FAAICFAI,

所以&D_L平面ACF,

又因為BiDc平面B,DE,

所以平面BQEJ■平面AiCiF.

【補償訓練】

1.如圖所示,在四面體ABCS中，已知NBSC=90°,ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.

求證:平面ABC_L平面SBC.

【證明】方法一：(利用定義證明)

因為NBSA=ZCSA=60°,SA=SB=SC,

所以aASB和4ASC是等邊三角形，

則有SA=SB=SC=AB=AC,

令其值為a,則4ABC和4SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點D,如圖所示,

連接AD,SD,則ADJLBC,SD±BC,

所以NADS為二面角A-BC-S的平面角.

在RtABSC中，因為SB=SC=a,

V2BCV2

所以SD=-----a,BD=-----=-----a.

222

V2

在RtZ\ABD中，AD二-a,

2

在AADS中，因為SD2+AD2=SA2,

所以NADS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角，

故平面ABC_L平面SBC.

方法二：（利用判定定理）

因為SA=SB=SC,且ZBSA=ZCSA=60°,

所以SA二AB二AC,

所以點A在平面SBC上的射影為aSBC的外心.

因為4SBC為直角三角影，

所以點A在4SBC上的射影D為斜邊BC的中點，

所以ADJ■平面SBC.

又因為ADu平面ABC,所以平面ABCJ■平面SBC.

2.如圖所示,四邊形ABCD是邊長為a的菱形,PCJ_平面ABCD,E是PA的中點,求證:平面BDE±

平面ABCD.

【證明】連接AC,設(shè)ACABD=O,連接0E.

因為0為AC中點,E為PA的中點，

所以E0是APAC的中位線，所以E077PC.

因為PCJ■平面ABCD,所以EOJ■平面ABCD.

又因為EOc平面BDE,所以平面BDEJ■平面ABCD.

類型三面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)

［典例］1.如圖,在多邊形PABCD中,AD〃BC,AB_LAD,

PA=AB=AD=2BC,ZPAD=60°,M是線段PD上的一點,且DM=2MP,若將△PAD沿AD折起,得到幾何

體P-ABCD.

(1)證明:PB〃平面AMC.

(2)若BC=1,且平面PAD_L平面ABCD,求三棱錐P-ACM的體積.

2.如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,平面PADJ_平面ABCD,PA±PD.

(1)求證:DC_L平面PAD.

(2)求證:平面PAB_L平面PCD.

【思路導(dǎo)引】1.(D用線面平行的判定定理證明.

(2)一方面要注意由平面PAD_L平面ABCD推出BA_L平面PAD;另一方面要注意VP-^VC-PAM.

2.(1)依據(jù)平面PAI)J_平面ABCD和AD1DC證明；

(2)轉(zhuǎn)化為證明PA_L平面PCD.

【解析】1.(1)連接BD,交AC于點0,連接M0.

因為AD#BC,所以△BCOsADAO,

M

/A，址今。

BC

因為AD=2BC，所以D0=2B0,因為DN=2MP,

所以PB/7M0,

因為PBQ平面AMC,MOc平面AMC,

所以PB〃平面AMC.

(2)因為平面PADJ■平面ABCD,

平面PADD平面ABCD=AD,

ABc平面ABCD,AB±AD,

所以BAJ■平面PAD.因為BC/7AD,

BCQ平面PAD,ADc平面PAD,

所以BC〃平面PAD,則三枝維C-PAM的高等于點B到平面PAD的距離，即BA=2,

111V312>/3

=l-=

因為SAPAM=_SziPAo-XXAPXADXsin600,所以VP-ACM=Vc-PAk^^apM,BA—

332339

2.(1)因為底面ABCD是能形，所以AD_LDC,又因為平面PADJ?平面ABCD,干面PADCl平面ABCD=AD,

且DCc平面ABCD,所以DCJ?平面PAD.

⑵由⑴得DCJ?平面PAD.又因為PAu平面PAD,所以DCXPA,又因為PA_LPD,DCDPD=D,所以

PA_L平面PCD,又PAc平面PAB,所以平面PABJ■平面PCD.

?解還略

1.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的一個意識和三個注意點

(1)一個意識

若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直.

(2)三個注意點:①兩個平面垂直，是前提條件;②直線必須在其中一個平面內(nèi);③直線必須垂

直于它們的交線.

2.證明線面垂直的常用方法

(1)線面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性質(zhì)定理；

(3)若@〃卜2_1_/則13_1(1(a,b為直線，a為平面)；

(4)若/_1(1,a〃B祟lJa_LB(a為直線，a,B為平面).

3.解決折疊問題的策略

(1)抓住折疊前后的變量與不變量，一般情況下，在折線同側(cè)的量，折疊前后不變，“跨過”折

線的量,折疊前后可能會發(fā)生變化,這是解決這類問題的關(guān)鍵.

(2)在解題時仔細審視從平面圖形到立體圖形的兒何特征的變化情況，注意相應(yīng)的點、直線、

平面間的位置關(guān)系,線段的長度,角度的變化情況.

跟蹤訓練、

如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB_L底面ABCD,又VB_L平面VAD.

求證:平面VBC_L平面VAC.

【證明】因為平面VAB_L平面ABCD,且BC_LAB,平面VABA平面ABCD=AB,BCu平面ABCD.

所以BCJ■平面VAB,

又VAc平面VAB,所以BC1VA,

又VBJ■平面VAD,所以VB1VA,

又VBABC=B,所以VAJ■平面VBC,

因為VAu平面VAC,所以平面VBCJ?平面VAC.

【補償訓練】

如圖,在三棱錐P-ABC中,PAJ_平面ABC,平面PAB_L平面PBC.

求證:BC_LAB.

【證明】如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD_LPB于點D.

D

AC

B

因為平面PAB_L平面PBC,

且平面PABCi平面PBC=PB,AD±PB,ADc平面PAB,

所以ADJ■平面PBC.

又BCc平面PBC,所以AD±BC.

又因為PAJ■平面ABC,BCc平面ABC,所以PA±BC,

又因為PADAD=A,所以BC_L平面PAB.

又ABc平面PAB,所以BC±AB.

備選類型垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)

(典例】如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABC1)垂直,底面ABCI)是邊

長為2的菱形，NBAD=60°,N是PB的中點,過A,D,N三點的平面交PC于M,E為AD的中點.求

證：

(DEN〃平面PDC;

(2)BC_L平面PEB;

(3)平面PBC_L平面ADMN.

【思路導(dǎo)引】(1)證明EN〃DM;

⑵由AD/7BC可證ADJ_平面PEB;

(3)利用(2)可證PB_L平面ADMN.

【證明】⑴因為AD〃BC,BCu平面PBC,ADC平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

又因為平面ADMNCl平面PBC二MN,所以AD〃MN.

又因為BC〃AD,所以MN〃BC.

又因為N是PB的中點，所以點M為PC的中點.

1

所以MN〃BC且MN二一BC,

2

又因為E為AD的中點，所以MN〃DE,且MN=DE.

所以四邊形DENM為平行四邊形.

所以EN〃DM,且ENQ平面PDC,DMc平面PDC.

所以EN〃平面PDC.

(2)因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，

且NBAD=60°，所以BE_LAD.

又因為側(cè)面PAD是正三角形，且E為AD中點，

所以PE_LAD,因為BEC1PE=E,所以ADJ?平面PBE.

又因為AD〃BC,所以BCJ"平面PEB.

⑶由(2)知ADJ■平面PBE,又PBu平面PBE,

所以ADJLPB.又因為PA=AB,N為PB的中點，

所以AN_LPB,且ANCAD二A,

所以PB_L平面ADMN.

又因為PBu平面PBC,

所以平面PBCJ?平面ADMN.

.解避略

線面、面面垂直的綜合問題的解題策略

(1)重視轉(zhuǎn)化

涉及線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即證面面垂直，轉(zhuǎn)化為證線面垂直;證

線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.

(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系

解答線面垂直、面面垂直的綜合問題時,通常要先證出一個關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系，由此出發(fā)才

能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系,因此要注意線面垂直在解題過程中的樞紐作用.

跟蹤訓練、

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA1AB,PA±BC,AB1BC,AB=BC,I)為線段AC的中點,E為線段PC上

—占

/、、、?

⑴求證:PA_LBD;

（2）求證:平面BDE_L平面PAC.

【證明】（1）因為PA_LAB,PA_LBC,ABC1BC二B,

所以PAJ■平面ABC.

又因為BDc平面ABC,所以PA±BD.

⑵因為AB=BC,D為AC的中點，所以BDJ_AC.

由（1）知，PA_LBD,又AC（1PA=A,

所以BD_L平面PAC.因為BDc平面BDE,

所以平面BDEJ?平面PAC.

課堂檢測?素養(yǎng)達標

1.下列說法中，錯誤的是

A.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面B

B.如果平面a不垂直于平面B,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面B

C.如果平面a_L平面Y,平面B_L平面Y,anB=l,那么1_L平面Y

D.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面B

【解析】選D.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面B,其他

與交線不垂直的直線均不與平面B垂直，故D錯誤.

2.如圖,AB是圓的直徑,PA±AC,PA1BC,C是圓上一點（不同于A,B）,且PA=AC,則二面角P-BC-A

的平面角為

A.ZPACB.ZCPAC.ZPCAD.ZCAB

【解析】選C.因為AB為圓的直徑，所以AC±BC.因為PA_LBC,ACnPA=A，所以BC_L平面PAC.

所以BC_LPC.所以NPCA為二面角P-BC-A的平面角.

3.（教材二次開發(fā):練習改編）下列四個說法中,正確的序號有.

0a//3,BJ.丫，貝ija_LY;②a〃B,B〃丫，則a〃丫；

③a_LR,Y_LH,貝lJa_Ly；④a_LR,Y_LR，貝ijQ〃y.

【解析】③④不正確，如圖所示，a_LB,y_LB,但a,y相交且不垂直.

答案:?0

4.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上,

另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了，其原理

是.

【解析】如圖，因為OA±OB,0A10C,OBc0,OCc13且OBGOC=O,根據(jù)線面垂直的判定定理，可

得OA_LB.又OAua,根據(jù)面面垂直的判定定理，可得a13.

答案：面面垂直的判定定理

5.如圖所示,三棱錐P-ABC中，已知AABC是等腰直角三角形，NABC=90°,ZXPAC是直角三角

形，ZPAC=90°,平面PACJ_平面ABC.求證:平面PAB_L平面PBC.

【證明】因為平面PACJ■平面ABC,平面PACC1平面ABC=AC,PA±AC,

所以PAJ■平面ABC.又BCc平面ABC,所以PA±BC.

又因為AB_LBC,ABAPA=A,ABc平面PAB,

PAc平面PAB,所以BC_L平面PAB.又BCc平面PBC,

所以平面PABJ■平面PBC.

課時素養(yǎng)評價

十九平面與平面垂直

恒基礎(chǔ)通關(guān)一"水平一?（15分鐘,30分）

1.對于直線m,n和平面a,B,能得出a±B的一個條件是（）

A.m±n,m//a,n//BB.m±n,aGB,nCa

C.m//n,n_LB,mUaD.m//n,ml.a,n_LB

【解析】選C.因為n_LB,m〃n,所以m_LB,又mUa,由面面垂直的判定定理，得a±3.

2.如圖所示,四邊形ABCD是矩形,PA_L平面ABCD,則圖中互相垂直的平面共有（）

A.3對B.4對C.5對D.6對

【解析】選D.因為PA_L平面ABCD,且PAU平面PAB,

PAU平面PAD,PAU平面PAC,

所以平面PAB和平面PAC和平面PAD都與平面ABCD垂直，

又AD±PA,AD_LAB,所以ADJ?平面PAB,

又ADU平面PAD,

所以平面PABJ■平面PAD,

同理可證平面PBCJ■平面PAB,

平面PCD1■平面PAD.

3.設(shè)叫n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）

A.若a_LB,mUa,nCB,則m±n

B.若a〃B,mUa,nCB,貝ljm//n

C.若m±n,mCa,nCB,貝ija_LB

D.若m_La,m〃n,n〃B,則aJLB

【解析】選I）.A中，m,n可能為平行、垂直、異面直線；B中，m,n可能為異面直線；C中，m應(yīng)與

B中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立.

4-/3

4.矩形ABCD的兩邊AB=3,AD=4,PA平面ABCD,且PA=-,則二面角A-BD-P的度數(shù)為

5

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解析】選A.過A作AE_LBD,連接PE,

則NAEP為所求角.

由AB=3,AD=4知BD=5.

又AB-AD=BD?AE,所以AEq-,

—V3

所以tanNAEP二號——.所以NAEP=30°.

5.如圖所示，平面a_L平面B,在a與B交線上取線段AB=4,AC,BI）分別在平面a和B

內(nèi)，AC_LAB,BD1AB,AC=3,BD=12,則CD=________.

（解析］連接BC.因為BDXAB,a10,aA0=AB,

所以BD±a.因為BCCa,

所以BD_LBC,

所以ACBD是直角三角形.

在RtABAC中，BC=V32+42=5.

在RtACBD中,Cg/52+122=13.

答案：13

6.如圖所示，已知正方體ABCD-A,B>CiDl中,E為棱CG上的動點.

⑴求證:A】EJ_BD.

(2)當E恰為棱CG的中點時，求證:平面儲RDI平面ERD.

【解題指南］(1)欲證A.E±BD,只需證明BD垂直A.E所在平面即可.

(2)要證平面A】BD_L平面EBD,只需求出二面角為直二面角即可,或證明一個平面內(nèi)的某一直線

垂直于另一個面.

【證明】連接AC,設(shè)ACClDB=O,連接AiO,OE,

⑴因為AA」底面ABCD,所以BD±AiA,

XBD±AC,AiAAAC=A,所以BDJL平面ACEAi,

因為AiEU平面ACEAi,所以AiEJLBD.

(2)在等邊三角形AiBD中，BDJLAQ,

因為BDJ■平面ACEA】，OEU平面ACEAi,

所以BDXOE,所以NAQE為二面角A-BD-E的平面角.

在正方體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)棱長為2a,

因為E為棱CG的中點，由平面幾何知識，

得E0=V3a,AiO=V6a,AiE=3a,

滿足AiE?=AQ4E（）2,所以NAQE=90°,

即平面ABDJL平面EBD.

@L能力進階一水/—?（30分鐘*60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.己知1,m,n是三條不同的直線，o,B是不同的平面,則a_L8的一個充分條件是（）

A.1Ua,mUB,且1_Lm

B.1Ca,mCB,nUB,且l_Lm,1J_n

C.mCa,nC且l_Lm

D.1Ua,l〃m,且mj,B

【解析】選D.A選項，IUa,mUB,且l_Lm,

如圖1,a,B不垂直；B選項，IUa,mU0,nUB,且I_Lm,I_Ln,

如圖2,a,B不垂直；

C選項，mUa,nU0,m〃n，且I_Lm,直線I沒有確定，則a,B的關(guān)系也不能確定；D選項，IU

a,l〃m,且m_LB,則必有I，B,根據(jù)面面垂直的判定定理知，

a_LB.

2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點E為AD的中點,現(xiàn)分別沿BE,CE將△ABE,ADCE翻折，

使得點A,D重合于F,此時二面角E-BC-F的余弦值為（）

3V72V5

A.一B.—C.一

433

［解析］選B.取BC的中點0,連接0E,0F,

因為BA二CD,所以BF二FC,即三角形BFC是等腰三角形,

則F0XBC,因為BE=CE,

所以ABEC是等腰三角形，所以E01BC,

則NFOE是二面角E-BC-F的平面角，

因為EF±CF,BF±EF,

3

則直角三角形EFO中，0E=AB=2,EF=DE=",

3.在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中,E,F,M分別是AB,AD,AAt的中點,又P,Q分別在線段

AiBi,AiDi±,且AiP=AiQ=m(O<m<a),設(shè)平面MEFG平面MPQ=1,則下列結(jié)論中不成立的是()

A.1〃平面BDDB

B.1JLMC

a

C.當nF-ff寸，平面MPQ1MEF

2

D.當m變化時,直線1的位置不變

【解析】選C.因為AF=AQ二m,

所以PQ〃BD,因為E,F分別是AB,AD的中點,

所以EF〃BD,

所以PQ〃EF,

因為平面MEFA平面MPQ=I,

所以PQ〃EF〃I.選項A,D顯然成立；

因為BD〃EF〃I,BDJ■平面ACCA,

所以l_L平面ACC.Ai,

因為MCU平面ACCA,

所以I_LMC,所以B選項成立；

易知AG_L平面MEF,A￡J?平面MPQ,而直線AC與AC不垂直，所以C項不成立.

4.如圖,AB是圓錐SO的底面圓0的直徑,D是圓0上異于A,B的任意一點，以A0為直徑的圓與

AD的另一個交點為C,P為SD的中點.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①4SAC為直角三角形；

②平面SAD_L平面SBD;

③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】選C.①因為SO_L底面圓0,

所以SO_LAC,C在以A0為直徑的圓上，

所以ACJLOC,因為ocnso=o,

所以ACJ■平面SOC,AC±SC,

即4SAC為直角三角形，故①正確；

②假設(shè)平面SAD_L平面SBD,在平面SAD中過A作AH±SD交SD于H,

則AHJ■平面SBD,所以AH±BD,

又因為BDJLAD,

所以BDJ■平面SAD,又C0/7BD,

所以CO_1■平面SAD,所以CO_LSC,

又在△SOC中，SOJ_OC,在一個三角形內(nèi)不可能有兩個直角，故平面SADJ■平面SBD不成立，故②

錯誤；

③連接DO并延長交圓于E,連接PO,SE,

因為P為SD的中點,0為ED的中點,

所以0P是ASDE的中位線，

所以P0〃SE,即SE〃平面APB,

即平面PAB必與圓錐S0的母線SE平行,故③正確.故正確的是①③.

【補償訓練】

如圖,BC為圓0的直徑,D為圓周上異于B,C的一點,AB垂直于圓0所在的平面,BE1AC于點

E,BF_LAD于點F.給出以下命題:①BF_LDE;②BEJ_CD;③平面ABD4Flil|ACD;④平面BEFJ_平面

ACD.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.由題可知,AB_L平面BCD,

則有AB±CD.XCD±BD,可得CDJ■平面ABD,又CDU平面ACD,得：平面ABDJL平面ACD,故③正

確；

由CDJ■平面ABD,得CD±BF,又BF1AD,得BFJ?平面ACD,又DEU平面ACD,

所以BF_LDE,故①正確；

由BFJ■平面ACD,BFU平面BEF,得平面BEFJ■平面ACD,故④正確；

不正確的是②BEJLCD.

二、多選題（每小題5分，共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分）

5.已知直線l,m,平面a,B,且l_La,mUB,下列四個命題中正確命題是（）

A.若a〃B,則l_Lm

B.若l_Lm,則a〃B

（；.若CI_LB,則l〃m

D.若l〃m,貝lja_LR

【解析】選AD.A選項，若a〃B,

因為l_La,則l_LB,又因為mU0,所以l_Lm.故A正確；

B選項，舉反例，當aDB二m時，滿足I_La,mU0,I_Lm,故B錯；

C選項，舉反例，當anB二m時，滿足I_La,mUB,a_LB,

則IJ_m,故C錯;D選項，若l〃m,

則mJLa,因為mU0,所以a±B,D正確.

【補償訓練】

（多選題）已知兩條直線1,m及三個平面a,B,Y,下列條件中能推出a_LB的是（）

A.lCa,l±p

B.1±a,m±B,IXm

C.a_Ly,B〃丫

D.ICa,mUB,l_Lm

【解析】選ABC.由如果一個平面經(jīng)過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直知選項A正確；

選項B顯然正確；由如果兩個互相平行的平面有一個垂直于一個平面，那么另一個平面也垂直

這個平面知選項C正確；D選項a與B可能平行.

6.如圖所示，已知正方體ABCD-ABCD,E,F分別是DBAC上不重合的兩個動點,下列四個結(jié)論

中正確的是（）

A.CE〃DF

B.平面AFD〃平面BEG

C.AB1±EF

D.平面AED_L平面ABB.Ai

【解析】選CD.A選項，如圖,

Di

在DB,AC上分別取點E,F,

因為ABCD-AiBiCiDi為正方體，

則四邊形AiBC?為矩形,因為NFD￡+NECDKNADC+NBCD產(chǎn)180°,

所以CE與DF不平行，故A錯誤;B選項，不妨取F與Ai重合，E與0重合，此時平面AFD與平面

BEG相交，故B錯誤；C選項,AB」AiB,AB」BC,且BBDBC=B,則AB】_L平面ABC。，則AB.XEF,

故C正確；D選項，ADJ?平面ABBA,而ADU平面AED,則平面AED_L平面ABBA,故D正確.

【補償訓練】

（多選題）在正四面體ABCD中,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點,下面四個結(jié)論中正確的是（）

A.BC〃平面AGF

B.EG_L平面ABF

C.平面AEF_L平面BCD

D.平面ABF_L平面BCD

【解析】選ABD.

如圖所示.

A選項，因為F,G分別是CD,DB的中點，

所以GF〃BC,則BC〃平面AGF,故A正確；

B選項,因為E,F,G分別是BC,CD,DB的中點,

所以CD_LAF,CD±BF,

即CD_L平面ABF,

因為EG#CD,所以EG_L平面ABF,故B正確；

D選項，因為CD_L平面ABF,

CDU平面BCD,

所以平面ABFJ■平面BCD,故D正確；只有C錯誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.已知正方形ABCD的邊長為1,將aADC沿對角線AC折起,若折疊后平面ACD_L平面ACB,則此

時AC與BD所成角的大小是，點B,D之間的距離是.

【解析】如圖所示，取AC的中點0,連接0B,0D.

因為DA=DC,BA=BC,。為AC的中點，

所以DO±AC,B0±AC,又D0CIB0=0,

所以ACJ■平面B0D,又BDu平面B0D,

所以ACJ_BD,即此時AC與BD所成的角是90°.

因為平面ACD_L平面ACB,平面ACDP平面ACB=AC,D0_LAC,所以D0_L平面ABC,

1V2

所以DOJLOB,又OB=OD=~AC=-,

22

2

所以BD=VOB2+OD=1.

答案：90°1

【補償訓練】

如圖所示,A,B,C,D為空間四點,在aABC中,AB=2,AC=BC=J2等邊三隹形ADB以AB為軸運動,

當平面ADB_L平面ABC時,CD=

（解析】取AB的中點E,連接DE,CE.

因為4ADB是等邊三角形，所以DE1AB.

當平面ADBJ■平面ABC時，因為平面ADBCI平面ABC=AB,且DEJ_AB,

所以口￡_!_平面ABC,故DE±CE.

由已知可得DE二相,EC=1,在RtADEC中,CD='DE2+CE2=2.

答案:2

8.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA_L底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點，當點

M滿足條件①BM_LDM,②DM_LPC,③BM_LPC中的時,平面MBD_L平面PCD（只要填寫一個

你認為是正確的條件序號即可）.

【解析】因為PAJ■底面ABCD,所以PA_LBD,

因為底面各邊都相等，所以AC±BD,

因為PADAC=A,所以BDJ■平面PAC,

所以BD±PC,所以當DM_LPC（或BMJ_PC）時，即有PCJ■平面MBD,而PCU平面PCD,

所以平面MBD_L平面PCD.

答案:②（或③）

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示,AABC是正三角形,線段EA和DC都垂直于平面ABC,設(shè)EA=AB=2a,DC=a,且F為BE

的中點.

⑴求證:DF〃平面ABC.

⑵求證:AF_LBD.

（3）求平面BDF與平面ABC所成的較小二面角的大小.

E

D

AW-十，C

【解析】(1)如圖所示，取