2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第一章 預(yù)備知識(shí)綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第一章預(yù)備知識(shí)

綜合拔局練

五年高考練

考點(diǎn)1集合及其運(yùn)算

1.（2021全國(guó)新高考1,1）設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5}JjRJAnB=（）

A.{2}B.億3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.（2021全國(guó)新高考口,2）若全集U={123,4,5,6},集合A={1,3,6},B=億3,4},則

ADCuB=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

3.（2020全國(guó)ID理,1）已知集合人={（'丫）僅丁￡人+以”}上={僅》）卜+丫=8}廁人『8

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2020全國(guó)I理,2）設(shè)集合A={x|x2-4wO},B={x|2x+awO},且ADB={x|-2wx〈l},

則a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

考點(diǎn)2常用邏輯用語

5.（2021天津,2）已知a￡R,則"a>6"是"a^>36"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（2020天津,2）設(shè)a￡R,則"a>1"是\2>a"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)3基本不等式

7.（2020上海,13）下列不等式恒成立的是（）

A.a2+b2<2abB.a2+b2>-2ab

C.a+b>-27|a^|D.a+bw2j|ab|

8.（2020天津,14）已知a>0,b>0,且ab=L則5+白的最小值為.

9.（2020江蘇,12）已知5x2y2+y4=i（x,y￡R）,貝”2+y2的最小值是.

考點(diǎn)4不等式的應(yīng)用

10.（2019北京,14）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、

京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增

加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少

付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則

x的最大值為.

11.（2020全國(guó)印,23）設(shè)a,b,cGR,a+b+c=O,abc=l.

⑴證明:ab+bc+ca<0;

（2）用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,證明:m衣{a,b,c}c

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.（2022廣西欽州浦北中學(xué)期中）命題Fxo￡R鬲-axo+140"為假命題的充要

條件是（）

A.ae[-2,2]B.ae(-2,1)

C.ae[-2,1]D,ae(-2,2)

2.（2021河北石家莊月考）有甲、乙、丙三個(gè)條件，如果甲是乙的必要條件,丙是乙

的充分條件,但不是乙的必要條件，那么（）

A.丙是甲的充分條件但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充分條件也是甲的必要條件

D.丙不是甲的充分條件也不是甲的必要條件

3.（2022江西宜春月考）已知a>0,b>0,若不等式汽W”汽亙成立廁m的最大值

為（）

A.4B.16C.9D.3

4.侈選）（2022山東棗莊期中）一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示廁

（）

A.b=-2aB.a+b+c<0

C.a-b+c<0D.abc<0

5.（多選）（2022遼寧葫蘆島協(xié)作校二聯(lián)）某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一的兩個(gè)班共有120

名同學(xué).已知參加跑步、拔河、籃球比賽的人數(shù)分別為58,38,52,同時(shí)參加跑步和

拔河比賽的人數(shù)為電同時(shí)參加拔河和籃球比賽的人數(shù)為16,同時(shí)參加跑步、拔

河、籃球三項(xiàng)比賽的人數(shù)為12,三項(xiàng)比賽都不參加的人數(shù)為20廁（）

A.同時(shí)參加跑步和籃球比賽的人數(shù)為24

B.只參加跑步比賽的人數(shù)為26

C.只參加拔河比賽的人數(shù)為16

D.只參加籃球比賽的人數(shù)為22

6.（2021天津塘沽一中月考）已知關(guān)于x的不等式［x2+bx+c<0（ab>l）的解集為

空集廁丁二七+嘴2的最小值為（）

A.V3B.2C.2V3D.4

7.(2022安徽宿州麗山中學(xué)一檢)若關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a<0的解集

中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是.

8.(2021安徽阜陽重點(diǎn)中學(xué)月考)已知集合P={123,4,5},若A,B是P的兩個(gè)非空

子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)

為.

9.(2022湖南衡陽田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知關(guān)于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的

解集為{x[2<x<3},設(shè)不等式bx2-(c+l)x-c>0的解集為A,集合B={x|(x+l)-(4-

x)>0},C={x|m-l<x<2m}.

⑴求集合A,B,并求AfiB,AUB;

⑵若BnC=C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

10.(2022江西南昌蓮塘第一中學(xué)月考)某公司有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)

造利潤(rùn)10萬元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，公司決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出x(x￡N+)名

員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)為10(a-自)萬元3>0),

剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.4x%.

⑴若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),

求最多可調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)；

(2)在保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)的

條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總

利潤(rùn)，求a的最大值.

遷移創(chuàng)新

11.(2020山東泰安第四中學(xué)月考)我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式:如果a>0,b>0廁

而w半，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.利用基本不等式可以證明其他不等式，也可

以利用"和定積最大，積定和最小"求最值.

(1)對(duì)于三元基本不等式，請(qǐng)猜想:設(shè)a>0,b>0,c>0,則V手，當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=c時(shí)，等號(hào)成立(把橫線補(bǔ)全即可，不需要證明)；

(2)利用(1)中猜想的三元基本不等式證明：

當(dāng)a>0,b>0,c>0時(shí),Q2+b2+c2)(a+b+c)29abc;

(3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值：

設(shè)2>0力>04>0a+5+d,求(17)(1也)(1-(:)的最大值

本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)見增分測(cè)評(píng)卷P1

答案與分層梯度式解析

第一章預(yù)備知識(shí)

綜合拔司J練

五年高考練

1.13在數(shù)軸上表示出集合A,如圖而圖知ADB={2,3}.

2.13解法一:因?yàn)榧蟄={123,4,5,6},B={2,3,4},所以［uB={l,5,6},又

A={1,3,6},所以u(píng)B={L6},故選B.

解法二:因?yàn)?WB斯以3qCuB,所以3q(A法uB),故排除A、D;因?yàn)?qA,所以

5陣(ADCuB),故排除C,故選B.

3。由右；啕;：閾;：酒;：幽;蟄所以

UIN+

AnB={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)},^AnB中元素的個(gè)數(shù)為4,故選C.

4.B由已知可得A={x卜2WXW2},

B={%|x<-g,

X/AnB={x|-2<x<l},

?Y=l，

...a=-2.故選B.

5.A當(dāng)a>6時(shí),a?>36,所以充分性成立.

當(dāng)a2>36時(shí),a<-6或a>6,所以必要性不成立，故"a>6"是、2>36"的充分不

必要條件.故選A.

6A由a2>a得/-1)>0〃十_*或設(shè)2，

/.a>l或a<0.

據(jù)此可知"a>1"是匕2>a"的充分不必要條件，故選A.

7.Ba2+b2±-2ab=a2+b2+2abN0,即(a+b)2N0恒成立，故B正確.

8.答案4

解需由已知得a+b>0,

?喘+白磊成+野盤呻+融2產(chǎn)占=4,當(dāng)且僅當(dāng)方為即a+b=4時(shí)取等

號(hào)，結(jié)合ab=L解得a=2-V3,b=2+b或a=2+V3,b=2-VX故所求最小值為4.

9.答案？

解析由5x2y2+y4=l知丫。0,.+2=*,.?2+丫2=言+丫2=空二會(huì)+等22位3,當(dāng)

且僅當(dāng)/二警，即y2弓X2=K時(shí)取"=".故x2+y2的最小值為:

10.答案①130②15

解析①x=10時(shí)，一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，共140元,由題可知顧客需支付

140-10=130(元).

②設(shè)每筆訂單金額為m元，則只需考慮m>120時(shí)的情況.

根據(jù)題意得(m-x)x80%之mx70%,

所以x線,而m>120,

為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則xw(上)，而

1"min

G)=15,所以三15.

所以X的最大值為15.

1L證明⑴由題設(shè)可知,a,b,c均不為零，所以ab+bc+ca=|[(a+b+c)2-

(a2+b2+c2)]=-|(a2+b2+c2)<0.

(2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a，因?yàn)閍bc=l,a=-(b+c),

所以a>0,b<0,c<0.由bcw女坐，可得abcv。,故aN矚所以max{a,b,c}>V4.

三年模擬練

求命題z,為假命題的充要條件，即求命題

l.PJxOGR^-axo+l<O

"vx￡R,x2-ax+l>0"為真命題的充要條件.若命題"vx￡R,x2-ax+l>0"為

真命題廁△=a2-4<0,解得-2<a<2.

2.A因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，所以乙=甲.因?yàn)楸且业某浞謼l件,但不是乙的必

要條件，所以丙=乙，但乙=/丙.結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示，

甚1

綜上有丙今乙=甲，即丙=甲，甲今/丙,即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.

3.B問題等價(jià)于m4(a+3臂a+b)=空哈唾=3司+J+10恒成立.由基本不等式可

知3停+5)+1026層+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)戶擁Ja=b時(shí)取,所以mwl6.故m

的最大值為16.

4.ACD由題圖可知，此一元二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,

故4=1廁b=-2a,故A正確;

當(dāng)x=l時(shí),y=a+b+c>0,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=-l時(shí),y=a-b+c<0,故C正確；

易知a<0,b=-2a>0,

當(dāng)時(shí),故故正確.

x=0y=c>0,abc<0,D

故選ACD.

5.BCD設(shè)同時(shí)參加跑步和籃球比賽的人數(shù)為x,根據(jù)題意可作出Venn圖如圖，

易得58+38+52-18-16-x+12=120-20,解得x=26,貝U只參力口跑步比賽的人數(shù)為

58-18-26+12=26,只參力口拔河比賽的人數(shù)為38-16-18+12=16,只參力口籃球比

賽的人數(shù)為52-16-26+12=22.故選BCD.

6.P由題意得工>05-色40,即蜂孚.

ClCL4

.T_1+a(b+2c)>l+2ab+a2力2

*2(ab-l)ab-1-2(ab-l)'

令ab-l=mJjUJm>0,T^1+2(m+^(m+1)-4,

當(dāng)且僅當(dāng)尹3即m=2時(shí)，等號(hào)成立.

故T:看+答的最小值為4.

故選D.

7.答案(5,8]

解余作電函數(shù)y=x2-6x+a的大致圖象如圖：

易得圖象的對(duì)稱軸為直線x=3,若關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a<0的解集

中有且僅有3個(gè)整數(shù)，

則鼠謂:宜解得5<a?8.

所以a的取值范圍是(5,8].

8.答案49

解需當(dāng)A中的最大數(shù)為L(zhǎng)即A=｛1｝時(shí)力=｛2｝或｛3｝或｛4｝或｛5｝或｛2,3｝或億4｝或

｛2,5｝或｛3,4｝或｛3,5｝或｛4,5｝或｛2,3,4｝或｛2,3,5｝或｛2,4,5｝或｛3,4,5｝或｛2,3,4,5｝,貝口滿

足題意的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為15;

當(dāng)A中的最大數(shù)為2,即A=｛2｝或｛1,2｝時(shí),B=｛3｝或｛4｝或｛5｝或｛3,4｝或｛3,5｝或｛4,5｝

或｛3,4,5｝,則滿足題意的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為14;

當(dāng)A中的最大數(shù)為3,即A=｛3｝或｛1,3｝或｛2,3｝或｛123｝時(shí)力:｛4｝或｛5｝或｛4,5｝,則滿

足題意的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為12;

當(dāng)A中的最大數(shù)為4,即A=｛4｝或｛1,4｝或｛2,4｝或｛3,4｝或｛124｝或｛134｝或｛2,3,4｝

或｛123,4｝時(shí)上=｛5｝,則滿足題意的集合對(duì)(人力)的個(gè)數(shù)為8.

所以滿足題意的集合對(duì)(A,B)的總個(gè)數(shù)為15+14+12+8=49.

9.解析⑴因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集為｛x[2<x<3｝,

所以2和3是關(guān)于x的方程x2-(b+2)x+c=0的兩根，

所以｛竺短解得｛，二

不等式bx2-(c+l)x-c>0即為3x2-7x-6>0,解得x>3或x<-|,

即集合A二(『-|)U(3,+8).

易得B=｛x|(x+D(4-x)“｝=[-L4].

所以ADB斗i,-|)U(3,4],

AUB=R.

(2)由⑴知B=[-L4].

因?yàn)锽DC=C,所以3B.

若C=0廁有解得m<-l.

若Cw。,則需滿足如i2-i,解得0wm42.

2m<4,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,-1]u[0,2].

10.解析(1)由題意得,10(1000-x)(l+0.4x%)>10xl000,即x2-750x<0,X

x>0,