2023年四川省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（甲卷理科）（解析版）

2023年四川省高考數(shù)學(xué)模擬試卷(甲卷理科)

模擬卷01

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.集合A={-2,_1,(M,2},3={X|X2-X—2<0},則AB=()

A.{-2,2}B.{-2,-1,2}C.{-2}D.{051}

【答案】D

【解析】因?yàn)?={X|X2_X_2<0}={X|-1<X<2},所以A8={0,l}.故選：D.

2.己知i是虛數(shù)單位，z(2+3i)=2+4,則復(fù)數(shù)z的虛部為().

A.-1B.-iC.1D.i

【答案】A

【解析】設(shè)2=。+齒(a,6eR),則2=q-歷，

由z(2+3i)=z+4,有(“+歷)(2+3i)=(a-bi)+4,即(2a-36)+(3a+2Z>)i=(a+4)-fti,

(2。-3〃=。+4

則有。c,J，解得a=1/=-1,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-1.故選：A.

[3a+2b--b

3.北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故

宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依

次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個重要建筑及遺存中隨機(jī)

選取相鄰的3個游覽，則選取的3個中一定有故宮的概率為()

1C.』1

A.—B.-D.

119113

【答案】D

【解析】設(shè)11個重要建筑依次為a,Ac,d,eJ,g,其中故宮為(

從這11個重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個有：(a/c)R,c,d),(c,d,e)，m，eJ),

{e,f,g),(f,g,h),{g,h,i),(h,i,j),(仃㈤共9種情況,

其中選取的3個中一定有故宮的有：(b,c,d),(c,d,e),(d,e,f),共3種,

所以其概率為：/3=￥1

故選：D.

22

4.若雙曲線三一馬=1的一條準(zhǔn)線與拋物線V=8x的準(zhǔn)線重合，則雙曲線離心率為()

8b-

A.72B.20C.4D.40

【答案】A

【解析】拋物線V=8x的準(zhǔn)線為x=-2,

/2_____

ill——萬?=1，得礦=8，則<?-=8+b~,T-lc=\js+b2>

因?yàn)殡p曲線［?-的一條準(zhǔn)線與拋物線V=8x的準(zhǔn)線重合,

28

所以一幺=—2,所以==r=2.

cV8+/?2

所以我+〃=4，所以從=8,

所以〃=2近,c=4,所以e='=^yj=J2,

故選：A

5.千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)

了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，

雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)月的100天日落和夜晚

天氣，得到如下2x2列聯(lián)表(單位：天)，并計算得到/=19.05,下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不

正確的是()

日落云里走夜晚天氣下雨未下雨

出現(xiàn)255

未出現(xiàn)2545

n(ad-be)?

參考公式：r=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值參照表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.夜晚下雨的概率約為g

B.未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為4

14

C.有99%的把握判斷“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)

D.出現(xiàn)“日落云里走”，有99%的把握判斷夜晚會下雨

【答案】D

【解析】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為喘=g,A

正確;

255

未出現(xiàn)“I卜落云里走”，夜晚下雨的概率約為=^=77,B正確；

25+4514

2=100X(25X45-25X5)2,]§05>6.635,因此有99%的把握判斷“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天

50x50x70x30

氣有關(guān)，C正確，D錯誤.

故選：D

6.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的公比4=2,且2%,%,48成等差數(shù)列，則｛%｝的前8項和為()

A.127B.255C.511D.1023

【答案】B

3

【解析】2%,%，48成等差數(shù)列=2422%34■>2%?5上4.+=4=n

28-1

S=----=255,故選B.

82-1

、7C以下各式不等于tan(x-：J的是()

7.設(shè)sin2x=a,cos2x=Z?,0<x<—,

4

h-a-b+\-a-\—a-h-l

A.-----B.------C.--D.---

1+aa+h-\ba+0+1

【答案】B

【解析】由半角公式得tang=「me吧

21+cosasma

sinf2x-^

兀-cos2x-b,十”

所以tanx而岳=,,A正確;

4

1+cos2x——

I2.

l-cosf2x-^

1-sin2x\-aa-\「十川

=丁,c正確;

sinf2x-y

兀a1

tanx-tan-------------1

sin2xa所以：二力a-b-\

tanx=-----------=------,tan[x-4l+D正確;

.7t,a

l+cos2x\+b1+tanxtan—1+—4+8+1

41+8

故選：B

8.設(shè)異面直線〃力所成的角為50。，經(jīng)過空間一定點(diǎn)。有且只有四條直線與直線。1所成的角均為，,

則6可以是下列選項中的（）

7T?7T

A.-B.一

63

【答案】C

【解析】解：由題意,

過點(diǎn)0作。〃4，匕〃4則6與4所成的角即為異面直線。泊所成的角，為50。,

為與4確定一個平面a,過點(diǎn)。作OCLa,作直線和。5分別平分為與自所成的幾個角

?.?異面直線。力所成的角為50°

,當(dāng)過點(diǎn)0的直線在面AOC內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，與4和4所成角為0,

則。的最小為角平分線（x50°=25°,最大為垂直時的90。，

當(dāng)過點(diǎn)。的直線在面BOC內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，與a,和b、所成角為0,

則。的最小為角平分線;x130。=65°,最大為垂立時的90。，

?.?經(jīng)過空間一定點(diǎn)。有且只有四條直線與直線所成的角均為夕,

.,.65°<0<90°

?？梢詾槲?/p>

故選：C.

9.已知命題：函數(shù)/(九)=工3+62+(2加一4-1)X一〃23>0,機(jī)>0),且關(guān)于X的不等式|/(x)l<機(jī)的解

集恰為(0,1),則該命題成立的必要非充分條件為()

A.m>aB.m<a

C.tn>crD.m<cr

【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)=x3+cix2+(2m-a-\)x-m(a>0,w>0),

故f(0)=0+0+0一相=一機(jī),/(I)=1+a+2m-a-\-m=tn,

/(x)=3x2+2ax+(2m-tz—1),/(0)=0+0+(2m—a-1)=2m—a—\,

令g(x)=/(x)=3x2+2ax+(2m-a-1),所以g(x)=6x+2a,

因?yàn)閤e(0,l),a>0,所以g(x)=6x+2心0,此時函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增的，

所以g(x)>g(0)=2…-1,要使得"(x)|<機(jī)的解集恰為(0,1)恒成立,

且f(0)=-〃?、川)=加則應(yīng)滿足在x?0,l)為增函數(shù)，所以當(dāng)*€(0,1)時，/(x)>0,故

/(0)=2m-a-l>Q,此時，相>色>，由選項可知，選項C和選項D無法由該結(jié)論推導(dǎo)，故排除，

而選項C,m之6,若空1>“2,此時矛盾，故不成立，所以該命題成立的必要非

充分條件為〃欄a.

故選：A.

io.已知函數(shù)>=小用的圖象與函數(shù)丫=皿苫兇的圖象關(guān)于某一條直線/對稱，若。分別為

它們圖象上的兩個動點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為()

A.勺?2B.C.忘(4+皿2)D72(4+ln2)

【答案】A

【解析】設(shè)尸(。例為函數(shù)y=e2，”圖象上任意一點(diǎn)，則尸(。力)關(guān)于直線>=x+l的對稱點(diǎn)為

Q。-1,〃+1),

設(shè)〃=方一1,v=6/+l,則〃=u-l,b=u+l,所以〃+l=e'i”

所以V=皿“；1）+1,即函數(shù)y=e2川的圖象與y=ln（x+l）+l的圖象關(guān)于宜線y=x+l對稱，

所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線y=x+l距離最小值的2倍.

2t+l2

函數(shù)八e在點(diǎn)P（x0,%）處的切線斜率為k=2e2&”，令A(yù)=2e^'=1得,x°=-匕相，%=g,

l+ln21

所以點(diǎn)P到直線y=x+l距離的最小值為“―一2一1201n2,

V24

所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為2d=也如1

2

故選：A.

11.已知動點(diǎn)A,8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0對稱，|A同=2,過點(diǎn)A,8且與直線y=l相切.若存在定

點(diǎn)P,使得為定值，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（0,g）B-（°，-；］C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】B

【解析】設(shè)M（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)4,8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱，所以O(shè)是線段AB的中點(diǎn)，

又因?yàn)橐訫為圓心的圓過A3兩點(diǎn)，所以有OALQW,

因此有|OM『+|Q4「=|M4『，因?yàn)辄c(diǎn)48關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱，|明=2,所以卜1.

又因?yàn)橐訫為圓心的圓與直線》=1相切，所以有

把儂=1、代入|OM'+|Q4|2=|M4|2中,得:

犬+>2+1=卜_『，化簡得：犬=一2丫（”0）,因此點(diǎn)M的軌跡是拋物線，

該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（0,-；）,準(zhǔn)線方程為：y=；,

\MA\-\MP\=\y-l\-\MP\=\-y-\MP\=--y-\MP\+^=y-\MP\+^,

由拋物線的定義可知：,

由題意可知存在定點(diǎn)產(chǎn)，使得當(dāng)A運(yùn)動時，|M4|-|明為定值，

因此一定有|MF|=|明，此時定點(diǎn)尸是該拋物線的焦點(diǎn)尸（0,-；）.

故選：B.

12.函數(shù)〃x)滿足f(x+2)=/(x),且當(dāng)x?0,l)U(L2]時,f(x)=",則函數(shù)f(x)與函數(shù)

X-1

y=2sin心+1(0044)的圖象的所有的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于()

A.12B.16C.20D.24

【答案】D

【解析】由于/(x+2)=/(x),所以函數(shù)/(月為周期函數(shù)，目周期為2.

x-2x-1-11I

令/i(x)=----,則/?(x)=------=-----------=l---------

x-\x-1x-1x-1

對任意的xwl,/?(x)+/?(2-x)=l---^-4-1-

x—1

x-2

所以函數(shù)〉二關(guān)于點(diǎn)(11)中心對稱.

x-1

設(shè)g(x)=2sin7cc+l,則g(x)+g(2-x)=2sin7Lx+l+2sin[7r(2-x)]+l

=2sin7Lx+2sin(27t-兀。+2=2,

所以，函數(shù)y=2sinxr+l關(guān)于點(diǎn)(l,l)中心對稱.

畫出函數(shù)＞=七1與函數(shù)y=2sin;u:+l(0MxM2)的圖象如下圖所示,

X-L

與函數(shù)y=2sin7tr+l(OW2)的圖象有四個交點(diǎn),

不妨設(shè)這四個交點(diǎn)分別為(為，%)、(4，人)、(毛，力)、(之,為)，

設(shè)藥＜七＜毛＜匕，由圖可知，點(diǎn)(X[,%)與點(diǎn)(匕，%)關(guān)于點(diǎn)(U)對稱，

點(diǎn)(*2,%)H點(diǎn)(毛，％)關(guān)于點(diǎn)(I，I)對稱，

所以(芭+W+電+匕)+(乂+%+%+”)=8.

同理可知，函數(shù)f（x）與函數(shù)y=2sinm+l（2Mx44）的圖象也有四個交點(diǎn)，

設(shè)這四個交點(diǎn)分別為（%，%）、（%%）、（天,乃）、（演,為），由兩函數(shù)周期都為2,兩函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（1,1）

對稱，故這四個點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（3,1）對稱，

可得（毛+%+毛+/）+（為+券+K+%）=16,

所以，函數(shù)〃x）與函數(shù)y=2sin7tr+l（O4x44）的圖象的所有的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于

8+16=24.

故選：D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13,已知向量a,8滿足：同=1,網(wǎng)=4,@-4=2有，則,+b卜.

【答案】反

【解析】由他」|=2瓦得同2=12,得|。|2-242+仍『=12,

得1一+16=12，得=g,

'lap+2。力+|/?『=Jl+2xg+16=>/22.

故答案為：V22

e~x,x<0,

14.^/（x）=e\0<x<l,若互不相等的實(shí)數(shù)公和芻滿足/。）=/（七）=/（七），則

3-x,x>1.

%/（玉）+x2/（x2）+x3/（x3）的取值范圍是.

【答案】［w

【解析】設(shè)/'（X|）=/（X2）=/（X3）=A,則4,馬，*3為方程"x）=%的解，所以辦/2，七為函數(shù)“X）的

圖象馬函數(shù)》=*的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

e~\x<0,

又〃“=，h0=41,作函數(shù)/（力和"&的圖象如下，

3—九，尤>1.

觀察圖象可得不妨設(shè)不＜七，則e』=e*2=3-覆=%，所以

X]=-lnZ,x2=\nk,x3=3-k,

2

所以藥/(耳)+x2f(x2)-^-x3f(x3)=-k]nk+k}nk+k(3-k^=3k-k,

所以xj(xj+%2/(七)+//(*3)=3/_〃=_(々一+',

因?yàn)?＜么＜2,所以—

I2；44

所以xj(x)+當(dāng)，。2)+七〃鼻)的取值范圍是(25,

故答案為：(25.

15.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球《,。2,它們都與圓錐相切(即與圓錐的每條母線相切)，切點(diǎn)

圓(圖中粗線所示)分別為G，:工.這兩個球都與平面。相切，切點(diǎn)分別為￡，優(yōu).丹德林

(GDa,tdelin)利用這個模型證明了平面a與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，￡，K為此橢圓的兩個焦點(diǎn)，

這兩個球也稱為￡＞刖加/加雙球.若圓錐的母線與它的軸的夾角為30,G，＜C?的半徑分別為1，4,點(diǎn)

M為C2上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓上的一個動點(diǎn)，則從點(diǎn)尸沿圓錐表面到達(dá)點(diǎn)M的路線長與線段

PF、的長之和的最小值是.

V

如圖所示，在橢圓上任取一點(diǎn)P,連接VP交&于。，交于點(diǎn)R,連接。。，。出，尸。|,尸片，

O2R,

在與。1尸。中，OQ=OF=*其中乙為球O1的半徑,

又HQP=NO嚴(yán)=90,。/為公共邊，QP耳咨QPQ,.?.尸耳二R2；

設(shè)尸沿圓錐表面到達(dá)M的路徑長為d,

則P￡+d=PQ+dNPQ+PR=QR（當(dāng)且僅當(dāng)P為直線VM與橢圓的交點(diǎn)時取等號）,

CRQR4-1.

QR=VR-VQ=2一丁=6

tan30sin30

2

???從點(diǎn)P沿圓錐表面到達(dá)點(diǎn)M的路線長與線段PF、的長之和的最小值為6.

故答案為：6.

16.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究

的是無窮級數(shù)到〃)=￡>“=*+5+?+…，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和5+?+?+…+’入

手.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，且滿足s,=(1,+'],則!+!+???一一=______.(其

5S

2(an)L)2J

中國表示不超過x的最大整數(shù))

【答案】88

【解析】由題意可得，S?>0,

當(dāng)〃..2時，S?=1(5?-5?.1+-,化簡得S：-S'_,=1,

Z,、一.、

又當(dāng)九=1時，s：=4=1,

???數(shù)列｛S；｝是首項、公差均為1的等差數(shù)列,

，S：=1+(〃-1)x1二"，即S〃二冊，

當(dāng)〃..2時，2(J〃+1-?)==2(G7〃-T)①,

y/n+\+\[n2SnSn品+-1

由①可得，S>l+2,[(g-偽+(4-⑨+…+(j2022-j2021)]=l+2x(j2022-仞,

(72022-司=2024-4^/K)^>2024-4J1024=2024-4x32=1896

43.52=1892.25,(V2022-V2)'>1896>1892.25=43.52,：.4^22-y12>43.5,

A1+2x(x/2022-V2)>l+2x43.5=88

同S<l+2x[(夜一l)+&-夜+…+(。2021-s/2020)]=l+2x(j2021-1)=2-2021-I,

,/452=2025，2J2021-l<2j2025-l=2x45-l=89.

.-1111S8

..------F------1-------1----------=oo.

故答案為：88.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，b,c,已知

cosCsin(A-B)=cosBsin(C-y4).

⑴求tanA的最小值；

(2)若tanA=2,a=4石，求c.

【答案】⑴6

⑵c=5a或3屈

【解析】(1)由己知得cosC(sinAcos8-cosAsinB)=cos8(sinCcosA-cosCsin4),

整理得2coscsinAcosB=cosAsinA,

因?yàn)閟inA>0,所以2cosCeosB=cosA,

又因?yàn)閏osA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC,

所以sinBsinC=3cosC8s8,

可得tanBtanC=3,

tanB+tanCtan8+tanC

tanA=-tan(B+C)=>\/tanBtanC=6,

tanBtanC-1

當(dāng)且僅當(dāng)tan8=tanC=百時等號成立，

故tanA的最小值為G.

（2）由（1）知tanA=2,所以tan8+tanC=4,

又因?yàn)閠an8tanC=3,所以tanC=l或tanC=3,8分

當(dāng)tanC=l時，sinC=—,由正弦定理得c=，二sinC=5近，

2sinA

當(dāng)tanC=3時，sinC=3叵，由正弦定理得c=二sinC=3J證.

10smA

綜上，0=5近或3^?5.

18.如圖，在邊長為2的正方形A8CZ）中，E,F分別為8C,C。的中點(diǎn).以O(shè)E為折痕將四邊形

ABEC折起，使A,8分別到達(dá)A,B,,且平面ABF。，平面COE.設(shè)尸為線段CE上一點(diǎn)，且A，

B1,P,F四點(diǎn)共面.

4

8/\

4--------------\SD

BEC

(1)證明：〃平面A￡?F；

(2)求CP的長；

(3)求平面A4尸尸與平面CDE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)CP=-

亞

69

【解析】(1)證明：因?yàn)?E〃AO,所以沿OE為折痕將四邊形48EO折起后，BtE//A.D,

因?yàn)間Ecz平面玲。尸，AQu平面4。尸，所以與￡〃平面A。尸.

(2)延長A8,DE交于點(diǎn)G,沿。E為折痕將四邊形ABE。折起的過程中，4，司，G三點(diǎn)共線,

連接FG,設(shè)尸G與CE的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,則這樣的點(diǎn)P滿足A，4，P,尸四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，所以8為AG的中點(diǎn)，即8G=A8=2,

設(shè)CP=x,則8P=2—x,由△BGQZXPC尸可得，g=些，即

CPBPX2-X

22

所以x=1,即CP=§.

(3)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線CD,CE為x軸，y軸正方向，以垂直于平面CDE且向上的方

向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

A

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，人〃，￡）￡,而平面4石（工），平面8以

而平面4四8|：平面C￡）E=￡>E,所以4W工平面C￡>E,

再作MRJ.BC,MSA.DC,垂足分別為R,5,

.…八EC1,,…，DMDM

sinNEDC=F=7，smNDAM=--=—.Z￡DC=ADAM,

EDV5AD2

所以2=與^,所以。M=1，Rt。肱5中，MS=DM-sinZ.EDC==~CR=^,

DS=>JDM2-MS2=1，

所以CS=2-K,所以點(diǎn)Af的坐標(biāo)是佟|),

AM=NAD?-DM?=竽，所以在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A的坐標(biāo)是*|，華)

a偌'竽）所以評=卜，|，°），褐=（親，竽）

平面AB|P尸與平面COE的法向量分別為石=（芭,y,zj,M=（x,,y2,z2）,

2

F+§%=0(2代、

則,不妨?。?3,則心=2,3,-七，

1246cI57

-xi+~Ji+-^-zi=o

又”=（0,0,1）,

平面AB/尸與平面COE所成角凡。為銳角，

,八|/\|m-n2>/69

所以COS9=|COS(八")|=1—n-r=——,

1'\m\\n\69

即平面ABfF與平面CZ5E所成角的余弦值口便.

69

19.“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學(xué)

生課后活動的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間(單位：

小時)，分別位于區(qū)間[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示

如下，假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加課后活動的時間相互獨(dú)立.

t頻率/組距

0.200--------------1-I

0.125--------------

0.075-----------

0.050.......

0.025bz土出土1,

O-791113151719時間/小時

(1)估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的概率；

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記4表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求

4的分布列和數(shù)學(xué)期望E(J);

(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動的時間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計值分別為。，b,c,請直接

寫出這三個數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)

【答案】⑴0.65

(2)答案見解析

(3)c<b<a

【解析】(1)參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的概率F=(0.125+0.200)x2=0.65.

(2)活動的時間在區(qū)間[15,17)的概率外=0.200x2=0.4,

S的可能取值為0,1,2,3,

3

p(^=0)=(l-0.4)=0.216,=1)=C?04x(1-0.4)2=0432,

=2)=C；0.42x(l-0.4)=0.288,〃(€=3)=0.43=0.064.

故分布列為:

0123

P0.2160.4320.2880.064

￡：(^)=0x0.216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2

(3)眾數(shù)為:a=16；

(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.5,

(0.025+0.050+0.075+0.125)x2=0.55>0.5,

則(人一13)x0.125=0.5—0.3=0.2,*=14.6；

c=8x0.025x2+10x0.050x2+12x0.075x2+14x0.125x2+16x0.200x2

+18x0.025x2=14,

i^c<b<a

20.已知橢圓￡5+￥=1(〃>匕>0)過點(diǎn)A(2,0),B(0,l)兩點(diǎn).

⑴求橢圓E的方程：

(2)過點(diǎn)P的直線/與橢圓E交于C,力兩點(diǎn).

(i)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,1),直線8C,8。分別與x軸交于"，N兩點(diǎn).求證：|AM|=|AN|；

(ii)若點(diǎn)P坐標(biāo)為0,亭)，直線g的方程為&x-6y-2K=0，橢圓E上存在定點(diǎn)Q,使直線QC,

QD分別與直線g交于何，N兩點(diǎn),且|AM卜|AN|.請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)論不需證明.

【答案】(吟+y2=i

(2)⑴證明見詳解;(ii)<2(-2,0)

22

【解析】⑴由橢圓E言r+方=l(a>b>0)過點(diǎn)A(2,0),5(0,1)兩點(diǎn),

所以〃=2,力=1,

所以橢圓E的方程為：y+y2=1.

設(shè)為左,則直線機(jī)：y-1=k(x-2)ny=?x-2)+1,

y=k(x-2)+l

聯(lián)立《f,,消元整理得:

——+y=1

4-

(1+4公卜2+8%(1-2%)》+16%(%-1)=0,

設(shè)C&,y),￡)(%,%)，

則…_弧21)_1W-1)

川玉+/-i+軟？,X內(nèi)—i+4公

所以X=3-24+1,丁2=如-2左+1,

由噎="="二竺

Ixj

(2)

=k1-—

1用Ix2)

則直線凄：y=—i-：

x+1,

令尸°,得±"=法J=M（啟S'°）

同理直線嫉：y=（l-?■卜+1,

令尸°,得燈啟

由圖可知，三點(diǎn)共線且在x軸上，所以要證明

\AM\=\AN\,只需證明A為M,N的中點(diǎn)，

由M,N,A的縱坐標(biāo)均為0,故只需證明/+4=2/=2x2=4即可；

因?yàn)椤?啟產(chǎn)啟J

/I&、

-32一々J

_1芭（2—9）+式2（2—％）

晨,一（2-X,）（2-X2）

12。+出）-2與工2

k4-2（X14-X2）+X1X2

28.2"1）216--1）

:].1+4A’.1+4公

~~k4_28M2氏-1）?16-A-1）

-.1+4/+1+4小

_116A（2A-1）-32Z（D

一k4（1+4公）-16氏（2左一1）+16左伏-1）

_1_32-2-16。-32r+32、

一層4+16r_32公+16%+16公_16左

=--4k=4

k

所以XM+XN==4

所以A為M,N的中點(diǎn)，故|AM|=|4V|.

（ii）先取直線/的斜率為立，則/的方程為：>=正（》_2）+@=且「

6636

此時C,。關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)锳在直線g上，且|4W|=|AN|,M,N相異,

故A為MN的中點(diǎn)，而。為C。的中點(diǎn)，故Q,O,A三點(diǎn)共線，

因0在橢圓匕故。的坐標(biāo)為（-2,0）.

下面證明：當(dāng)。（一2,0）時，|AM|=|AN|,

設(shè)直線/:x=?y-*)+2,C(X|,y),￡>(電,%)，

x=”-/)+21,2鷗

由，可得(/+4)/+2/2-與ty+彳"一~=0,

33

x2+4y2=4

此時A=4產(chǎn)(2-率-4(/

>0,

33

故，＞0或，＜一2收

2/2百124G

—I-----------1

又I333

y+必=一~"+4

y=(x+2)

Xj+2

又直線QC：y=B^(x+2),由.可得"京含瓦’

6石

y=——x-----

63

同^電’同二+2?；?，

/、

_______2i

而外+%=4+

、X[+2—2-j3y2X+2-,

二公產(chǎn)2+。2乂+2(X+%)-4何必

12+2-26y2)(%+2-2y/3y^

(214網(wǎng)乂必+(4當(dāng)，)

(乂+%)

=4x

+2-2&必)(±+2-2退yj

]_2:46

必1-烏3]J

(2f-4碼x工—3

/+43Jr+4

=4x

12+2-26力口+2-2&X)

=4x0=0,

所以A為M,N的中點(diǎn)，故|A〃|=|AN|,

故。(-2,0).

21.已知函數(shù)/(x)=W

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b是兩個不相等的正數(shù)，且a+ln/?=b+lna,證明：a+b+\nab>2.

【答案】(l)f(x)在(F,O),(O,1)匕單調(diào)遞減；在。,+?)上單調(diào)遞增.

(2)證明見解析

【解析】(1)〃%)=次■的定義域?yàn)?y,o)u(o,m),

令廣(另=0,得：x=l,

當(dāng)x變化時r(x),/(x)的關(guān)系如下表:

X(-8,0)0(0,1)1(1收)

((X)—無意義—0+

/(X)無意義

f(x)在(F,O),(O,1)上單調(diào)遞減;在(1,口)上單調(diào)遞增.

(2)證明：要證a+b+ln而>2,

只需證：(a+ln/?)+(b+lna)>2

根據(jù)a+lnb=Z?+ln。，只需證：b+\na>\

不妨設(shè)。〈人，山4+ln/?=Z?+lna得：a-\na=h-\nh；

兩邊取指數(shù)，e"TM=e'i"，化簡得：

ab

令：g(x)=(則g(a)=g(3)，g(x)=，一=y(x),

根據(jù)(1)得g(x)在(—,0),(0,1)上單調(diào)遞減；

在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增(如下圖所示),

由于g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,內(nèi))上單調(diào)遞增,

要使g(a)=g(b)且〃b,

則必有0vavl,b>1,即0<a<1<力

由得：Z?>l,l-lntz>l.

要證人+lna>l,只需證：b>\-lna,

由于g(x)在(1,物)上單調(diào)遞增，要證:b>\-\na,

只需證：g0)>g(l-lna),

又g(a)=g(。)，只需證:g(a)>g(l-lna),

只需證：e。、e'-|Ma

---x>-----------------

a\-\nal-lna

只需證：en(l-lna)>e,

只需證：匕也>《，

ee

只需證：匕4-5>0，

即證上坦-e-">0,

e

令9(x)=~~~—-e-x,(0<x<1),夕⑴=0,(p(a]=-~~—-尸

ee

只需證:夕(x)>0,(0<x<l),

，/、