浙江省金華市浙師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期“揚(yáng)帆起航”試題含解析

PAGE20-浙江省金華市浙師大附中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期“揚(yáng)帆起航”試題（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題依據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.簡單題，注意了基礎(chǔ)學(xué)問、基本計(jì)算實(shí)力的考查.【詳解】，則【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.2.漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.2或【答案】D【解析】【分析】探討焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，依據(jù)漸近線方程求出和，再由關(guān)系求離心率即可求解．【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程，由所以，．當(dāng)焦點(diǎn)在軸，設(shè)雙曲線方程，由解得所以答案為D【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線求雙曲線的離心率，比較基礎(chǔ)．3.若實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出約束條件表示的可行域，求目標(biāo)函數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為求直線的截距范圍求解即可．【詳解】約束條件的可行域如下圖（陰影部分）聯(lián)立可得可得設(shè)，則，作出直線，平移可知在取得最小值，在取得最大值，代入可得，故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題,同時(shí)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解題中的重要性．4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是A. B. C. D.【答案】A【解析】由三視圖可知幾何體為半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐的組合體，∴=,故選A.5.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由基本不等式得出與的關(guān)系，推出充分性；然后舉特別值驗(yàn)證必要性不成立，【詳解】由題知，若，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；若，取時(shí)，則．所以“”是“”充分不必要條件．所以答案為A【點(diǎn)睛】本題考查常用邏輯用語中充分條件與必要條件，但須要用基本不等式推理兩式之間的關(guān)系，所以此題有肯定的綜合性．6.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.7.已知隨機(jī)變量滿意P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A.<，< B.<，>C.>，< D.>，>【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要依據(jù)詳細(xì)狀況確定的取值狀況，然后利用排列，組合與概率學(xué)問求出取各個(gè)值時(shí)的概率．對于聽從某些特別分布的隨機(jī)變量，其分布列可以干脆應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．由已知本題隨機(jī)變量聽從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得A正確．8.如圖，二面角中，，射線，分別在平面，內(nèi)，點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)B，設(shè)二面角、與平面所成角、與平面所成角的大小分別為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形，分別找出二面角及線面角，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性及平面的斜線與平面內(nèi)全部直線所成角中的最小角是線面角進(jìn)行大小比較．【詳解】解：當(dāng)PA⊥l，PB⊥l時(shí)，δ＝φ＝θ；當(dāng)PA，PB與l均不垂直時(shí)，如圖：由已知AB⊥β，可得AB⊥l，過A作AO⊥l，連接OB，則OB⊥l，可得∠AOB為δ，∠APB＝φ，在平面AOB內(nèi)，過B作BI⊥AO，則BI⊥α，連接PI，則∠BPI＝θ，在Rt△ABO與Rt△ABP中，可得tanδ，tanφ，由AB＝AB，PB＞OB，可得tanδ＞tanφ，則δ＞φ；PB為平面α的一條斜線，PB與α內(nèi)全部直線所成角的最小角為θ，即φ＞θ．∴δ＞φ＞θ．綜上，δ≥φ≥θ．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線面角，面面角及其求法，明確平面的斜線與平面內(nèi)全部直線所成角中的最小角是線面角是關(guān)鍵，是中檔題．9.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出的范圍在，再用基本不等式求解即可．【詳解】依據(jù)題意不防設(shè)，則由，得，即，所以．因?yàn)椋裕源鸢笧镃【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式，綜合性比較強(qiáng)．10.已知數(shù)列滿意：，．則下列說法正確的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，同時(shí)用作差法以及對數(shù)的運(yùn)算法則證出數(shù)列是遞增數(shù)列，有解除法可得出選項(xiàng)．【詳解】設(shè),則所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)所以，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以假設(shè)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由在上為增函數(shù)，所以，即成立，當(dāng)時(shí)，成立．又，所以,解除法只有B選項(xiàng)符合．所以答案為B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)歸納法，綜合性比較強(qiáng)．二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．11.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為________；________．【答案】(1).(2).【解析】分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算把分母化為實(shí)數(shù)即可求出虛部；再由即可求出模．【詳解】所以虛部為，，所以所以答案分別為，【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．12.直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，弦長的最小值為________，若的面積為，則m的值為_________．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】（1）求弦的最小值，先確定直線過定點(diǎn)，然后由垂徑定理即可找到最小值．（2）利用三角形的面積公式求出，再有直線的位置確定直線的斜率．【詳解】直線恒過圓內(nèi)的定點(diǎn)，，圓心C到直線的距離,所以，即弦長的最小值為2；由,即或．若，則圓心到弦AB的距離，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為N，又，故，即直線的傾斜角為，則m的值為.故答案為2，【點(diǎn)睛】本題考查直線、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．13.在二項(xiàng)式的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．【答案】(1).280(2).5【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)即可求解．【詳解】綻開式的通項(xiàng)，若為常數(shù)項(xiàng)則即，,即常數(shù)項(xiàng)為280；由通項(xiàng)可知系數(shù)為有理項(xiàng)即為有理數(shù)，即k可取，共有5項(xiàng)所以答案分別為280,5【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的綻開式，比較基礎(chǔ)．14.在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別是，，，則__________．的取值范圍是__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理可得的值.由正弦定理可以把表示為角的函數(shù)，由銳角三角形得出角的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】由正弦定理，可得，則.由，可得，，所以.由是銳角三角形，可得，，則，所以，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，綜合運(yùn)用三角恒等變換學(xué)問是解題關(guān)鍵.15.已知，若對隨意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由分式不等式分母大于零，可把分母乘到不等式的另一側(cè)，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖像只要即可求解．【詳解】因?yàn)椋钥傻?，又因?yàn)?，所以，即恒成立，所以即，所以a的取值范圍為．所以答案為【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式恒成立問題，常用方法為轉(zhuǎn)化一元二次不等式或者分別參數(shù)，但是本題取值不定，不適合用分別參數(shù)．16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在直線過點(diǎn)交雙曲線C的右支于兩點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率e的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)出直線方程，聯(lián)系直線與雙曲線整理出關(guān)于的方程，再利用數(shù)量積求解即可?！驹斀狻吭O(shè)，，直線的方程，由整理得，由直線交雙曲線C的右支于兩點(diǎn)，可得，且，兩式解得。因?yàn)檎砜傻茫驗(yàn)?，所以即整理可得，由得，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查直線、雙曲線的位置關(guān)系，由雙曲線的性質(zhì)求離心率，難度較大。17.如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【答案】.【解析】分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面對量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).實(shí)行幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和協(xié)助角公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而依據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可得單調(diào)增區(qū)間．（2）由即可求解．【詳解】（1）由可得，所以即所以所以的單調(diào)增區(qū)間為（2）因?yàn)?，所以即，所以所以最大值為，最小值為．故答案?）（2）最大值為，最小值為【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是二倍角公式以及協(xié)助角公式、正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)、難度不大，屬于基礎(chǔ)題．19.如圖，在三棱錐中，是棱的中點(diǎn)，，且,（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)先證明與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直.(Ⅱ)過點(diǎn)作于點(diǎn)，證是所求二面角，在三角形中求之即可.【詳解】（Ⅰ）連接，因?yàn)?，所?由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）過點(diǎn)作，垂足是，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).連接，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因?yàn)椋?，所以所?即二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明和二面角的求解，利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，求二面角的一般方法是作-證-求或空間向量.20.已知等差數(shù)列滿意，，的前n項(xiàng)和為．（1）求及；（2）記，求證：．【答案】（1），（2）見詳解【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式可求解．（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和即可得出，再利用單調(diào)性即可證明結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，解得，（2）由（1）可知：所以，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．21.對于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，，是橢圓的兩條切線，則切點(diǎn)所在直線的方程是，利用此結(jié)論解答下列問題：已知橢圓和點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)是，記點(diǎn)到直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離是，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求線段的長；（Ⅱ）求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)論求出直線的方程，進(jìn)而可得線段的長.（Ⅱ）把表示為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而可求其最大值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)，直線的方程式：，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程是，此時(shí).（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程是，直線的方程是.設(shè)，，則.又由點(diǎn)在直線的兩側(cè)可得與異號，所以.又，所以.設(shè)，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵.22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）見詳解【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，，探討與時(shí)導(dǎo)