2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步章末綜合測評含解析蘇教版必修第二冊

PAGE章末綜合測評(五)立體幾何初步(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．給出以下四個命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中隨意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個平面，這與四點(diǎn)不共面沖突，故其中隨意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②如圖，兩個相交平面有三個公共點(diǎn)A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以②不正確；③明顯不正確；④不正確．因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．]2．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥βB[對于A，若l∥α，l∥β，則α和β可能平行也可能相交，故錯誤；對于B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故正確；對于C，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系有三種可能：l⊥β，l∥β，l?β，故錯誤．故選B．]3．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中相互垂直的平面有()A．1對B．2對C．3對D．5對D[∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．]4．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.]5．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，全部棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為()A．πa2 B．eq\f(7,3)πa2C．eq\f(11,3)πa2 D．5πa2B[由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿意R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.]6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D兩點(diǎn)，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為()A．16 B．24或eq\f(24,5)C．14 D．20B[由α∥β得AB∥CD．分兩種狀況：若點(diǎn)P在α，β的同側(cè)，則eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝eq\f(16,5)，∴BD＝eq\f(24,5)；若點(diǎn)P在α，β之間，則有eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝16，∴BD＝24.]7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點(diǎn)E、F，則四邊形D1EBF的形態(tài)是()A．矩形B．菱形C．平行四邊形D．正方形C[因?yàn)檫^D1B的平面和左右兩個側(cè)面分別交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形．]8．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在的直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，下列說法錯誤的是()A．無論翻折到什么位置，A、C兩點(diǎn)都不行能重合B．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°C．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°D．存在某個位置，使得直線AB與直線CD所成的角為90°D[在A中，點(diǎn)A與點(diǎn)C肯定不重合，故A正確；在B中，存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，當(dāng)平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF時(shí)，直線AF與直線CE垂直，故C正確；在D中，直線AB與直線CD不行能垂直，故D錯誤．故選D．]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．下列命題為真命題的是()A．若兩個平面有多數(shù)個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合B．若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直C．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行D．若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面不垂直BD[兩個平面相交時(shí)，也有多數(shù)個公共點(diǎn)，A錯；比如a⊥α，b?α，c?α，明顯有a⊥b，a⊥c，但b與c也可能相交，C錯．故選BD．]10．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．AC⊥BEB．B1E∥平面ABCDC．三棱錐E-ABC的體積為定值D．B1E⊥BC1ABC[因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1，故A正確；因?yàn)锽1D1∥平面ABCD，故B正確；記正方體的體積為V，則VE-ABC＝eq\f(1,6)V，為定值，故C正確；B1E與BC1不垂直，故D錯誤.選ABC．]11．如圖所示，在四個正方體中，l是正方體的一條體對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥平面MNP的圖形為()ABCDAD[如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′.連接AC，BD．∵M(jìn)、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，∴MP∥AC．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′?平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵M(jìn)P∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可證DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵M(jìn)P∩NP＝P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正確．在D中，由A中證明同理可證l⊥MP，l⊥MN，又∵M(jìn)P∩MN＝M，∴l(xiāng)⊥平面MNP.故D正確．故選AD．]12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下面說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APCBC[如圖，對于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的．對于B，由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC．所以C1Q∥平面APC是正確的．對于C，由①知，A，P，M三點(diǎn)共線是正確的．對于D，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．選BC．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2，高為6cm，那么它的體積為________cm3.36eq\r(3)[設(shè)正六棱柱的底面邊長為xcm，由題意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)cm3.]14．已知一圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為________，體積為________．3πeq\f(\r(3),3)π[設(shè)圓錐的底面半徑為r，依據(jù)題意，得2πr＝2π，解得r＝1，依據(jù)勾股定理，得圓錐的高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的表面積S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，體積V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.]15．棱長為1的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向各個面引垂線，垂線段分別為d1，d2，d3，d4，則d1＋d2＋d3＋d4的值為________．eq\f(\r(6),3)[設(shè)四面體的高為h，則h＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×1))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)S(d1＋d2＋d3＋d4)，∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝eq\f(\r(6),3).]16．已知棱長為eq\r(3)的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一圓柱，此圓柱恰好以直線AC1為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為__________．eq\f(9\r(2)π,8)[由題意知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的狀況，由圖形的對稱性可知，側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的上底面必與過A點(diǎn)的三個面相切，且切點(diǎn)分別在線段AB1，AC，AD1上，如圖所示，設(shè)線段AB1上的切點(diǎn)為E，AC1與平面A1BD的交點(diǎn)為O2，圓柱上底面的圓心為O1，半徑即為O1E，記為r，設(shè)AB1與平面A1BD的交點(diǎn)為F.∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為eq\r(3)，∴AC1＝3，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(6).由題意知，O2F＝eq\f(1,3)DF＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\f(\r(2),2)，AO2＝eq\f(1,3)AC1＝1.由O1E∥O2F知eq\f(O1E,\f(\r(2),2))＝eq\f(AO1,1)，∴AO1＝eq\r(2)O1E，則圓柱的高為3－2AO1＝3－2eq\r(2)r，S側(cè)＝2πr(3－2eq\r(2)r)＝4eq\r(2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)r,4)－r2))＝－4eq\r(2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3\r(2),8)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9\r(2)π,8)≤eq\f(9\r(2)π,8)，當(dāng)r＝eq\f(3\r(2),8)時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值，最大值為eq\f(9\r(2)π,8).]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求：(1)三棱錐A′-BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′-BC′D的體積．[解](1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方體，∴六個面是相互全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱錐＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方體＝6a2，∴eq\f(S三棱錐,S正方體)＝eq\f(\r(3),3).(2)明顯，三棱錐A′-ABD，C′-BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′是完全一樣的，∴V三棱錐A′-BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′-ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.18．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[證明](1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC．19．(本小題滿分12分)如圖，圓錐的軸截面SAB為等腰直角三角形，Q為底面圓周上一點(diǎn)．(1)若QB的中點(diǎn)為C，求證：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，求圓錐的表面積．[解](1)證明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C為QB的中點(diǎn)，∴QB⊥SC，QB⊥OC．∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC．又∵QB?平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ為等邊三角形，∴OB＝eq\r(3).∵△SAB為等腰直角三角形，∴SB＝eq\r(6)，∴S側(cè)＝eq\r(3)·eq\r(6)π＝3eq\r(2)π，∴S表＝S側(cè)＋S底＝3eq\r(2)π＋3π＝(3＋3eq\r(2))π.20．(本小題滿分12分)如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面BDE；(2)求證：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：連接OE，如圖所示．∵O，E分別為AC，PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA．∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)證明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC．又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC．又∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(3)取OC中點(diǎn)F，連接EF.∵E為PC中點(diǎn)，∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO.又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD．∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD，∴∠EOF為二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4)a，∴EF＝OF·tan30°＝eq\f(\r(6),12)a，∴OP＝2EF＝eq\f(\r(6),6)a.∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.21．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AC上一點(diǎn)．(1)求證：BD⊥EF；(2)若EF∥平面PBD，求eq\f(AF,FC)的值．[解](1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又