計算根式3771的近似值的幾種方法

四種方法計算eq\r(3771)的近似值※.線性穿插法計算近似值設(shè)eq\r(3771)=x，并找與之最近的兩個完全平方數(shù)，有：eq\r(3721)=61,eq\r(3771)=x,eq\r(3844)=62,用線性穿插得：eq\f(3771-3721,3844-3771)=eq\f(x-61,62-x)50(62-x)=73(x-61)123x=7553,所以：x=eq\f(7553,123)≈61.4065.※.微分法計算近似值設(shè)函數(shù)y=f(x)，增量△y=f(x+△x)-f(x)可表示為△y=A△x+o(△x），則函數(shù)f(x)在點x?是可微的，且A△x稱作函數(shù)在點x?相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即dy=A△x，dy是△y的線性主部，增量△x稱為自變量的微分，記作dx，即dx=△x。∵dy=f'(x)dx，f(x)=eq\r(x)，∴dy=eq\f(dx,2eq\r(x))，對于本題有：eq\r(3771)-eq\r(3721)=eq\f(3771-3721,2eq\r(3721)),eq\r(3771)=eq\r(3721)+eq\f(50,2*61),eq\r(3771)=61+EQ\F(25,61)≈61.4098.※.極限法計算近似值原理:當x趨近無窮小時，有(1±x)?≈1±ax，其中a為不為1的常數(shù)。對于本題:eq\r(3771)=eq\r(3721+50),eq\r(3771)=eq\r(3721(1+eq\f(50,3721)))=61eq\r(1+eq\f(50,3721))=61*(1+eq\f(50,2*3721))=61+EQ\F(25,61)≈61.4098.※.泰勒展開式計算近似值∵f(x)=eq\f(f(x?),0!)+f'(x?)eq\f(x-x?,1!)+f"(x?)eq\f((x-x?)2,2!)+O(x3)∴f(x)=f(x?)+f'(x?)(x-x?)+f"(x?)eq\f((x-x?)2,2)+O(x3),其中O(x3)表示x的三次無窮小。本題冪函數(shù)y=f(x)=eq\r(x),有：f'(x)=eq\f(1,2)xeq\s\up35(-eq\f(1,2)),f"(x)=-eq\f(1,4)xeq\s\up35(-eq\f(3,2))，即：f(x)≈f(x?)+eq\f(1,2)x?eq\s\up35(-eq\f(1,2))(x-x?)-eq\f(1,8)x?eq\s\up35(-eq\f(3,2))*(x-x?)2。對于本題，x=3771，x?=3721,x-x?=50,代入得：eq\r(3771)≈eq\r(3721)+EQ\F(25,1)*3721eq\s\up35(-eq\f(1,2))-eq\f(1,8)*502*3721eq\s\up35(-eq\f(3,2))≈61+EQ\F(25,1)*61?1-eq\f(1,8)*502*61?3≈61+EQ\F(25,61)-eq\f(502,8*613).即：eq\r(3771)≈61.4085?！?結(jié)論拓展分析1.本次近似計算以保留四位小數(shù)為主，從精確度來看，精確度