計算根號13244近似值的四種方法

四種方法計算eq\r(13244)的近似值※.線性穿插法計算近似值設(shè)eq\r(13244)=x，并找與之最近的兩個完全平方數(shù)，有：eq\r(13225)=115,eq\r(13244)=x,eq\r(13456)=116,用線性穿插得：eq\f(13244-13225,13456-13244)=eq\f(x-115,116-x)19(116-x)=212(x-115)231x=26584,所以：x=eq\f(26584,231)≈115.0823.※.微分法計算近似值設(shè)函數(shù)y=f(x)，增量△y=f(x+△x)-f(x)可表示為△y=A△x+o(△x），則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?是可微的，且A△x稱作函數(shù)在點(diǎn)x?相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即dy=A△x，dy是△y的線性主部，增量△x稱為自變量的微分，記作dx，即dx=△x。∵dy=f'(x)dx，f(x)=eq\r(x)，∴dy=eq\f(dx,2eq\r(x))，對于本題有：eq\r(13244)-eq\r(13225)=eq\f(13244-13225,2eq\r(13225)),eq\r(13244)=eq\r(13225)+eq\f(19,2*115),eq\r(13244)=115+EQ\F(19,230)≈115.0826.※.極限法計算近似值原理:當(dāng)x趨近無窮小時，有(1±x)?≈1±ax，其中a為不為1的常數(shù)。對于本題:eq\r(13244)=eq\r(13225+19),eq\r(13244)=eq\r(13225(1+eq\f(19,13225)))=115eq\r(1+eq\f(19,13225))=115*(1+eq\f(19,2*13225))=115+EQ\F(19,230)≈115.0826.※.泰勒展開式計算近似值∵f(x)=eq\f(f(x?),0!)+f'(x?)eq\f(x-x?,1!)+f"(x?)eq\f((x-x?)2,2!)+O(x3)∴f(x)=f(x?)+f'(x?)(x-x?)+f"(x?)eq\f((x-x?)2,2)+O(x3),其中O(x3)表示x的三次無窮小。本題冪函數(shù)y=f(x)=eq\r(x),有：f'(x)=eq\f(1,2)xeq\s\up35(-eq\f(1,2)),f"(x)=-eq\f(1,4)xeq\s\up35(-eq\f(3,2))，即：f(x)≈f(x?)+eq\f(1,2)x?eq\s\up35(-eq\f(1,2))(x-x?)-eq\f(1,8)x?eq\s\up35(-eq\f(3,2))*(x-x?)2。對于本題，x=13244，x?=13225,x-x?=19,代入得：eq\r(13244)≈eq\r(13225)+EQ\F(19,2)*13225eq\s\up35(-eq\f(1,2))-eq\f(1,8)*192*13225eq\s\up35(-eq\f(3,2))≈115+EQ\F(19,2)*115?1-eq\f(1,8)*192*115?3≈115+EQ\F(19,230)-eq\f(192,8*1153).即：eq\r(13244)≈115.0826?！?結(jié)論拓展分析1.本次近似計算以保留四位小數(shù)為主，從精確度來看，