2.4圓的方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0)圓心

半徑為r一、知識(shí)梳理1.

圓的方程走進(jìn)教材一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0條

件

：D2+E2—4F>0圓心：半徑：2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x?,y?)

與圓(x—a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系.(1)若M(x?,yo)

在圓外，則(x?—a)2+(y?—b)2>

r2.

(2)若M(x?,yo)

在圓上，則(x?—a)2+(yo—b)2=

r2.

(3)若M(xo,yo)在圓內(nèi)，則(x?—a)2+(y?—b)2<

r2.常用結(jié)論1.以

A(x?,y?),B(x?,y?)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x—x?)(x—x?)+(y—y?)(y—y?)=0.2.二元二次方程表示圓的條件對(duì)于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

表示圓時(shí)易忽視D2+E2-4F>0

這一條件.練

習(xí)1.圓x2+y2-2+4y-6=0

答案：(1,—2)

√

11的圓心坐標(biāo)

,

半徑

1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0 或m>1D.m>1解析：選B.由(4m)2+4-4×5m>0,表示圓的充要條件是0得m>1.2.點(diǎn)(1,1)在圓

(x-a)2+(y+a)2=4內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：(一1,1)例1:圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為2,且過(guò)點(diǎn)A(2,1)的圓的方程()A.(x-2-√3)2+y2=4B.(x-2±√3)2+y2=4C.(x-2+√3)2+y2=4D.(x-2)2+(y-1)2=4答案：C求圓的方程的兩種方法(1)直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得方程。(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓(a,b)和半徑r

有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出

關(guān)于a,b,r

的方程組，從而求得圓的方程。②已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出

關(guān)于D,E,F的程組，得圓的方程。[提醒]解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).1.在平面直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)o(0,0),A(2,4),B(6,2),則三角形OAB

的外接圓方程是

答案：x2+y2—6x—2y=02.若圓C

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0),且與直線y=1

相切，則圓C的方程是

答案：

與函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0(1)求

的最大值和最小值(2)求y-x

的最大值和最小值(3)求x2+y2的最大值和最小值解：圓方程可化為

(x-2)2+y2=3,

表示以(2,0)為圓心，3為半徑的圓①的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè).即y=kx

當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)解得k=±√3所

的最大值為

√3圖

1(2)y-x

可看作是直線y=x+b

在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b

與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)解得b=-2±√6

所以y-x

的最大值-2+

√6,最小值-2-

√6(3)x2+y2

表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心與原點(diǎn)的距離為(2-0)2+(0-0)2=2所以x2+y2的最值是(2+

√3)2=7+4

√3,x2+y2的最小值(2-

√3)2=7-4

√3考點(diǎn)三：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題已知Rt△ABC的斜邊AB,

且A(-1,0),B(3,0).

求：(1)直角頂點(diǎn)C

的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程解(1)法一：設(shè)C(x,y)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以y≠0因?yàn)锳C⊥BC,

所以kAc·kpc=-1得x2+y2-2x-3=0,ksc=x-3所以又,由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))所以直角頂點(diǎn)的軌跡方程(x-1)2+y2=4(y≠0)法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知(2)設(shè)M(x,y),C(xo,yo),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以x?=2x-3,y?=2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x—1)2+y2=4(y≠0),將x?=2x—3,yo=2y

代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即(x—2)2+y2=1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x—2)2+y2=1(y≠0).事