2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)單元綜合一課一練（含解析）新人教B版必修第一冊(cè)

專題突破專練

專題1函數(shù)的值域及應(yīng)用

1.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,以下三種說法:①若存在常數(shù)M使得對(duì)任意XWR,有f(x)W,%

則"是/Xx)的最大值;②若存在於6R,使得對(duì)任意xGR,有f(x)W人選)，則/U)是/Xx)的

最大值；③若存在施GR,使得對(duì)任意xGR,且學(xué)刖有F(x)WF(加，則Axo)是f(x)的最大值。

其中正確說法的個(gè)數(shù)為()。

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：由函數(shù)最大值的概念知②③正確。

2.(2018?衡水武邑中學(xué)高一月考)函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,5］上的圖像如圖3-4所示，則此函數(shù)

在區(qū)間［-2,5］上的最小值、

A.-2,/(2)B.2,/(2)

答案：C

解析：由函數(shù)最值的幾何意義知，當(dāng)產(chǎn)-2時(shí),有最小值-2;當(dāng)尸5時(shí),有最大值A(chǔ)5)o

3.函數(shù)/?(x)=f+3廣2在區(qū)間(-5,5)上的最大值、最小值分別為()。

A.42,12B,42,-i

C.12,-iD.無最大值,最小值為《

答案：D

解析：：f(x)=(x+1)2],xW(-5,5),

...當(dāng)年V時(shí),f(x)有最小值一,f(x)無最大值。

4.(2018?茂名高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=1的最大值是()。

l-x(l-x)

A.-B.-C.-D.-

5443

答案：D

2

解析：令Z=l-x(l-x)=(x-：)+：》[，0</'(王)?[,即以王)的最大值為9

\2/4433

x2-2x+4,x<-1,

-2x+5,-lWx<l,的值域是()。

(3,%>1

A.(-8,3]B.[3,+8)

C(--3]D.13,+8)

答案：B

解析：作出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像知函數(shù)的值域?yàn)閇3,+8)。

6.(2019?溫州十校聯(lián)合體高一期中聯(lián)考)定義域?yàn)镽的函數(shù)片f(x)的值域?yàn)閇&切，則函數(shù)

產(chǎn)f(戶a)的值域?yàn)?)。

A.[a,b\B.[2a,a^b\

C.[0,b-a\D.[-a,a^b\

答案：A

解析：函數(shù)片Hx)的圖像左右平移后得產(chǎn)『(戶a)的圖像，因此它們的值域是相同的。

[易錯(cuò)點(diǎn)撥】對(duì)于抽象函數(shù)而言,充分利用圖像平移規(guī)律,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵。

專題2函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

7.(2018?阜陽臨泉縣一中高一月考)已知函數(shù)f(x)="+5+2,其中正[1,+8)。

(1)試判斷它的單調(diào)性；

答案：函數(shù)/1￥)=戶;+2,設(shè)1W

2x

Xi<X2,/(^l)-/(A2)=(X1-A2)+[^~~^~)=(X1-X2).(]_^^-)=(%一冠.2：；；1。.門《

xi<X2,.".xrx2<0,xiX2>l,.".2XI^2-1>0,/.AXI)<0,即f(%)<f(x2),f(x)在區(qū)間[1,+8)

上單調(diào)遞增。

(2)試求它的最小值。

答案：由⑴知當(dāng)A=1時(shí)，f(x)有最小值1

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】(1)求函數(shù)的最值問題實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)的值域問題，因此求函數(shù)值域的方法也

可以用來求函數(shù)的最值。(2)需要注意的是分段函數(shù)的最大(小)值是各段函數(shù)最大(小)值中

的最大(小)者。

8.(2019?平邑縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若/'(尸9)=F(x),且

則/■⑻+六①文)。

A.-2B.-1C.0D.1

答案：B

解析：f(8)=f(8-9)=f(-l)。?."(-x)=-f(x),且xCR,

.,1(0)=0,即/(8)=-11,又F(9-9)=f(9),即/,(0)=/(9)=0,

.?"(8)+『(9)=-1。

9.(2018?南充一中高一月考)函數(shù)產(chǎn)式空義()。

A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

答案：D

解析：?.?函數(shù)一尸立空U的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.??此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù),它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,否則這

個(gè)函數(shù)不滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

10.(2019?石家莊二中高一期中)設(shè)奇函數(shù)/'(X)在(0,+8)上為增函數(shù)，且/'(2)=0,則不等式

的解集為()。

X

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-8,-2)U⑵+8)D.(-8,-2)U(0,2)

答案：B

解析：上3〈0可變成「⑺-八-必>0，①

工1%<0,

r/(x)-/(-x)<o,②

lx>0?

,.,/1(X)是奇函數(shù),在(0,+8)上是增函數(shù)，

.?.在(-8,0)上也是增函數(shù)。

又/'(2)=0,

.?"(-2)=--'(2)=0。

不等式組①變成匕2°〉0=，Q2)，解得_2〈/0;

不等式組②變成匕?0<。=/⑵，解得0〈水2。

原不等式的解集是(-2,0)U(0,2)。

11.(2019?吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)已知/Xx)為奇函數(shù),在區(qū)間［3,6］上是增函數(shù)，且在此區(qū)

間上的最大值為8,最小值為T,則2/V6)+f(-3)=()o

A.-15B.-13C.-5D.5

答案：A

解析：因?yàn)楹瘮?shù)在［3,6］上是增函數(shù)，所以F(6)=8,f(3)=T,又函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)，所以

2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-A3)=-2X8+1=-15,故選A。

12.(2018,西寧高一期末)設(shè)函數(shù)/Xx)在定義域R上滿足f(-x)+F(x)=0,若/'(x)在(0,+8)

上是減函數(shù),且/-(-2)=0,則滿足(尸1)f(x)>0的x的取值范圍為()。

A.(-co,1)u(1,2)B.(-2,0)U(1,2)

C.(-2,1)U(2,+8)D.(~°°,-2)U(1,+8)

答案：B

解析：由條件知函數(shù)/Xx)是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù),f(-2)=0,F(2)=0,根據(jù)這些特

點(diǎn)可以畫出圖像(圖略)，得到AxXO的x的取值范圍為(-2,0)U(2,+8),/(力>0的x的取

值范圍為(-8,-2)U(0,2)。故可求得滿足(尸1)f(x)>0的x的取值范圍為(-2,0)U(l,2)o

13.函數(shù)Ax)是定義在R上的偶函數(shù),且函數(shù)圖像關(guān)于尸1對(duì)稱，當(dāng)xG［0,1］時(shí)，F(xiàn)(x)=2x,若

在區(qū)間-2,3］±,方程a戶2wf(x)=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()。

兒(。,9B.(I，I)C.[|,|]D.(|")

答案：B

解析：將方程轉(zhuǎn)化為a(廣2)=f(x),于是問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)片/Xx)與尸a(x+2)的圖像的交點(diǎn)問

題。在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)片/1(x)與尸a(^+2)的圖像，如圖所示,產(chǎn)a(廿2)為過(-2,0)的

直線,此直線在12,3]上與函數(shù)產(chǎn)f(x)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，只需滿足I；。<:

(5a>f⑶=2,

解得|〈水|,故選B。

專題3函數(shù)圖像及應(yīng)用

(-x2+2x,x>0,

14.已知函數(shù)『(%)={1,x=0,

x<0o

(1)求/■{"/?(-!)])的值;

答案:A-D-(-0-1=0,

/[A-1)]=AO)=1,

F{f[f(-1)]}=F(1)=-12+2X1=1。

(2)畫出函數(shù)的圖像；

答案：圖像如圖所示。

(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

答案：由圖像得單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(1,+8),

單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)。

15,已知一次函數(shù)片a肝6與二次函數(shù)y=ax+bx^c{a^0),則它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖像

是()。

圖3-6

答案：D

解析:選項(xiàng)A中，一次函數(shù)中樂0,二次函數(shù)中10,排除A;選項(xiàng)B,C中，一次函數(shù)中b>0,二次

函數(shù)中左0,排除B,C。故選D。

16.（2019?大慶鐵人中學(xué)高一段考）如圖3-6是張大爺離開家晨練過程中離家距離y與行走

時(shí)間x之間函數(shù)關(guān)系的圖像。若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置,則張大爺散步行走的路線可能

是（）。

O△

、、一，’

ABCD

圖3-7

答案：D

解析：由題圖可知散步前期隨著時(shí)間的增加距離增大,因此行進(jìn)時(shí)遠(yuǎn)離家，中期與家的距離不

變,因此行進(jìn)在以家為圓心的圓弧上,后期隨著時(shí)間的增加離家的距離減小，因此回家。

17.（2018?北京西城區(qū)高一檢測(cè)）函數(shù)片廣｝的大致圖像是（）。

圖3-8

答案：B

解析：設(shè)小)=嗎則-(-x)+:(x+￡)=-/U),

???/?（X）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

又x>0時(shí),L>0,，f(x)=戶工>0。故選B,

XX

18.若函數(shù)尸f(戶1)是偶函數(shù)，則下列說法不正確的是()o

A.廣汽X)的圖像關(guān)于直線A=1對(duì)稱

B.產(chǎn)fCv+1)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

C.必有F(l+x)=F(-l-x)成立

D.必有/U+x)=F(l-x)成立

答案：C

解析：由題意,片/■(廿1)是偶函數(shù),所以/■(戶1)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確；將產(chǎn)??(戶1)

的圖像向右平移一個(gè)單位即得函數(shù)片/Xx)的圖像,故A正確;令以x)=F(戶1),由題意

g(-x)=g(x),得/1(-A+1)=f(A+l),故D正確。故選C?

19.(2018?北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中)已知f(x)是定義在區(qū)間［-2,2］上的奇函數(shù)，它在(0,2］上

的圖像是一條如圖3-9所示的線段(不含點(diǎn)(0,1)),則不等式/?(x)-F(-x)>x的解集

為。

02x

圖3-9

答案：［-2,-1)U(0,1)

解析：由已知，當(dāng)0〈x<2時(shí)，/?(x)=W廣1,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以當(dāng)-2W水0

時(shí)，f(x)=-f(-x)=-［-：?(-x)+l］=4尸1,f(0)=0。不等式/'(x)-f(-x)>x可化為2f(x)>x,顯

然產(chǎn)0不是它的解。

當(dāng)0<xW2時(shí),2(-|x+l)>x,解得0<Xl;

當(dāng)-2W/0時(shí)，解得-2WKT。

綜上,不等式的解集為［-2,-1)U(0,1),

專題4抽象函數(shù)及其應(yīng)用

20.具有性質(zhì)：/(習(xí)=-人4)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù),下列函

<%,0<%<1,

數(shù):①尸尸2；②尸*+3；③尸1°，X=1，其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()0

1X

A.①②B.①③C.②③D.①

答案：B

解析:對(duì)于①,設(shè)則/Q=-『(x),所以滿足“倒負(fù)”變換的概念;對(duì)于②,設(shè)『(*)=嗎

%,0<x<1,

滿足/G)=〃x),不滿足“倒負(fù)”變換的概念;對(duì)于③,設(shè)/?(?=0,%=1,當(dāng)0<求］

%>1,

時(shí)，f(^=-x=-f{x),當(dāng)X>\時(shí)，，/0)=i=-/(x),當(dāng)A=1時(shí),：=1,所以4m=-『(十)成立,滿足“倒

負(fù)”變換的概念。故選B。

21.(2018?包頭高一期末)已知定義在(0,+8)上的減函數(shù)/■(?滿足條件:對(duì)任意

(0,+8),總有『(9=〃4)+/'(。-1,則關(guān)于了的不等式『(『1)〉1的解集是()。

A.(1,+8)B.(1,2)C.(-?>,2)D.(0,2)

答案：B

(x-1>0

解析：令尸產(chǎn)1,得f(lXl)=2f(l)T,則f(l)=l,故所求不等式等價(jià)于’又

l/(x-l)>/(1)?

(x-1>0

函數(shù)f(x)在(0,+8)上為減函數(shù),故上述不等式組變?yōu)椤?解得1〈水2。

U-1<1,

22.(2019?荷澤高一期中)已知函數(shù)/"(X)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有/、(廿y)=f(x)+f(力-1,且當(dāng)

x>0時(shí)，f(x)>l。

(1)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

答案：證明：設(shè)汨，在是R上的任意兩個(gè)數(shù),且為〈功則

及-汨>0,二f(及-汨)>1,二f(%)=f(x2-xi+xl)=f(x2-xl)+F(xi)T>f(xd,f(x)在R上是增函數(shù)。

(2)若關(guān)于x的不等式/■(f-@田5/〈外加的解集為{引-3<水2},求應(yīng)的值。

答案：解：?.?/,(X)是R上的增函數(shù)，且/肝5a)<f(〃)的解集為{x|-3<x<2},...V-a戶5a〈山

的解集為(-3,2),，3和2為方程f-a戶5廿獷0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得

a=yr

解得爐1。

(5a-m=-6,

23.(2018?曲阜二中高一檢測(cè))定義在R上的函數(shù)F(x),滿足當(dāng)x>0時(shí)，且對(duì)任意的

x,yGR,有f(戶1)"(*)?f[y),"1)=2。

(1)求/X0)的值；

答案：解：由題意知對(duì)任意X,yeR,/'(廣力=F(x)?f(y),

...令尸尸0,得F(0)=f(0)—(0),即/XO)?[A0)-l]=0o令尸0,得『(得=*x)?『(())，對(duì)任

意xGR成立，

所以f(0)#0,因此/1(0)=1。

(2)求證:對(duì)任意xGR,都有f(x)>0;

答案：證明:對(duì)任意xGR,有/1(x)=《；+，奄)仔)],0。

假設(shè)存在xoGR,使A%0)=0,則對(duì)任意x>0,

有F(x)(片照)+照]=/、(『照)?二0。

這與已知當(dāng)x>0時(shí)，f{x}>1矛盾。

???對(duì)任意xGR,均有f(x)>0成立。

(3)解不等式A3-2%)>4o

答案：解:令尸尸1有f(1+1)"⑴-AD,

???F(2)=2X2=4。任取小，彭仁兄且汨〈松貝I」

￡(及)一F(M)=/[(X2-毛)+汨]一/(乂)=〃X2-乂)?F(X1)—F(矛1)=/、(乂)*[/(A2-%1)-1]O

,?”】《火2,，入2-小>0,由已知得f(jr2-xi)>lf

?\F(X2-小)-1>0,

由(2)知為《R,F(x)>0,JF(X2)(E)>0,

即fUl)</(A2),故函數(shù)F(X)在(-8,+8)上是增函數(shù)。

由*3-2入)>4,得A3-2x)>/(2),

即3-2x>2,解得x<3。

.?.不等式的解集是(-8,3。

真題分類專練

題組1求函數(shù)解析式及函數(shù)值的應(yīng)用

1.(2017?浙江卷?T5)若函數(shù)『(xhf+aB。在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是m,則砂加

的值(兀

A.與a有關(guān)，且與人有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與6無關(guān)

C.與a無關(guān),且與b無關(guān)

D.與a無關(guān)，但與6有關(guān)

答案：B

解析：因?yàn)樽钪翟趂(0)=6,*1)=1+於"?-|卜止?中取,所以最值之差與a有關(guān),與6無關(guān)，

選Bo

2.(2017?山東卷文?19)設(shè)『5)=「3'°："<1'若/>(出=-(>1),則不工)=().

(2(x-l),x>1,I"

A.2B.4

C.6D.8

答案：C

解析：由當(dāng)時(shí)，/U)=2(尸1)是增函數(shù)可知，若a2l,則/'心)#/1(尹1),所以0〈水1,由

f(a)=f(Kl)得VH=2(a+lT),解得才*則/Q)=f(4)=2X(4-1)=6,故選C。

(1,%>0,

3.(湖北卷?丁6)己知符號(hào)函數(shù)$8>1產(chǎn){0鵬=0,7■(X)是R上的增函

1-1,%<0o

數(shù),g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),則()o

A.sgn[g(x)]=sgnx

B.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn"(x)]

D.sgn\.g{x)]=-sgn[f[x}]

答案：B

解析：因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù),令f(4=x,所以g(x)=(l-a)x,又因?yàn)閍>l,所以g(x)是R

1,%>0,—x>0,

0,%=0,知，sgn[g(x)]=0,%=0,=-sgr)Xo

{-1,%<0,、1,%v0

4.(2017全國(guó)〃卷甲14)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)(…劉)吐f(x)=2x+xf

則A2)=o

答案：12

解析：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-x)=-f(x),則

32

F(x)=-f(-x),f(2)=-F(-2)=-［2X(-2)+(-2)］=12O

5.(浙江卷?T⑵設(shè)函數(shù)f［x)=x+,ix+1o已知aWO,且/'(x)-F(a)=(方方)(尸a)；xCR,則實(shí)數(shù)

a=,b=o

答案：-21

解析：f\x)-f(a)-x+3x2+l-a3-3a2-l=^3+3x2-a3-3a2,(x~a)2=x~x++2aZ?)x~^b,

(-2a-b=3,z__2

所以”+2成=0,解得二,

^-a2b=-a3-3a2,b-1。

6.(江蘇卷?Til)設(shè)/'(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［T,D

上，/Xx)=l2I其中adR。若則〃5切的值是________。

||-x|,0<x<1,'2)S

答案：-|

解析:/(-1)=/(-%/0=/(3=一>喙|=胃

因此f(5a)="3)=F(1)=f(T)=T+|=-|?

7.(2019?浙江卷?T4)函數(shù)片，7+6x-x2的定義域是。

答案：［T,7］

解析：由已知得7+6『*2》0,即f-6尸7W0,解得-1WXW7,故函數(shù)的定義域?yàn)?1,7］。

8.(浙江卷文，T20)設(shè)函數(shù)f(x)=f+a戶6(a,6GR)。

(1)當(dāng)爐?+1時(shí),求函數(shù)/1(x)在［T,1］上的最小值g(a)的表達(dá)式；

答案：當(dāng)c+i時(shí),/wdx+qy+i,故其對(duì)稱軸為產(chǎn)號(hào)

4\2/2

當(dāng)心21,即aW-2時(shí)，g(a)=f(l)=Q+a+2。

24

當(dāng)即-2〈aW2時(shí),g(a)=《-|卜1。

當(dāng)々T,即a>2時(shí),g(a)=f(T)=Q-K2。

24

—FQ+2,Q4—2,

4

綜上,g(a)=<1,-2<a<2,

——CL

I4+2,Q>2o

(2)已知函數(shù)F(x)在［-1,1］上存在零點(diǎn),O^ZT-2^1,求b的取值范圍。

答案：設(shè)s"為方程/a)=o的解,且-iwtwi,則F

\St—bo

由于0WZr2aWl,因此W-W1)。

當(dāng)OWtW1吐

t+2t+2

由于二W*wo和二W三二W9-4V5,

3t+23t+2

所以-|W6W9-4代。

當(dāng)TWKO時(shí)，且W6W出,

t+2t+2

由于-2W土<0和-3W包<0,所以-3W80。

t+2t+2

綜上可知,6的取值范圍是[-3,9-4V5]。

題組2函數(shù)圖像及性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用

9.(2018?全國(guó)〃卷Til)已知/'(x)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿足f(i-x)=f(i+x)。

若AD=2,貝!|/1⑴+f(2)+F(3)+“?+F(50)=()。

A.-50B.0C.2D.50

答案：C

解析：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù),且f(l-x)=f(l+x),

所以f(\+x)=-f(x-Y),

，f(3+x)=-f(廣l)=f(尸1)。

上4,因止匕Al)+A2)+/,(3)+???+A50)=12[AD+A2)+A3)+/(4)]+A1)+A2),

因?yàn)閒(3)=-《(l),f(4)=-f(2),所以f(l)+f(2)+F(3)+f(4)=0,

,

V/(2)=/(-2)=-A2),/(2)=0,從而AD+/(2)+A3)+-+A50)=/(l)=2,^Co

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性

進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解。

f|x|+2,%<1,

10.(2017?天津卷?T8)已知函數(shù)汽x)=j設(shè)aGR,若關(guān)于x的不等式/U)》

L+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是()。

A.[-2,2]B.[-2V3,2]

C.[-2,2V3]D.[-2V3,2何

答案：A

解析：作出/U)的圖像如圖所示，當(dāng)T|+a|的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時(shí),可知，±2。當(dāng)片土

的圖像與產(chǎn)產(chǎn):的圖像相切時(shí)，由：+&=田：得V-2ae4=0,由/=0,并結(jié)合圖像可得a=2。要

使Ax)泮+a恒成立,當(dāng)aWO時(shí),需滿足-aW2,即-2WaW0;當(dāng)a>0時(shí),需滿足aW2。綜

上,-2WaW2。

11.(2018,天津卷文，T14)己知aWR,函數(shù)/■(x)=(x；+,2.x+Q—2'xv0'若對(duì)任意xG

(-%2+2x~2a,x>0,

［-3,+8),久外W|x|恒成立,則a的取值范圍是。

答案：［i,2］

解析：分類討論:①當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)<Ix\即-

整理可得心-1+%,

由恒成立的條件可知J8),

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)下泄,(-*+1)=W+號(hào)貝Ua斗?

②當(dāng)-3WxW0時(shí)，/'(x)W|x|即X+2A+CF-2^-^,整理可得43^-^2-3^+2,

由恒成立的條件可知：aW(-%-3^2)min(-3W啟0),

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)尸-3或x=0時(shí)，("-3戶2)min=2,貝ijaW2;

綜合①②可得a的取值范圍是長(zhǎng)，2卜

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】對(duì)于恒成立問題,常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(l)a2f(x)恒成立而；

(2)aW/Xx)恒成立oaWf(x)ml?<,

有關(guān)二次函數(shù)的問題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法。

一般從:①開口方向;②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析。

12.(江蘇卷?T10)已知函數(shù)『(不》居"而T,若對(duì)于任意的xe［勿，研1］都有f(x)〈0,則實(shí)數(shù)加

的取值范圍為。

答案：(-今0)

解析：據(jù)題意得［八㈤=病+癥T:°，解得4〈成。。

1/(m+1)=(m+1)+m(m+1)-1<0,2

13.(上海卷盯2)設(shè)a為實(shí)常數(shù)，尸/Xx)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)水0時(shí)，f(x)=9戶9+7。

若A%)2Kl對(duì)一切x20成立,則a的取值范圍是.

答案：卜8,-外

解析：?.?產(chǎn)/Xx)是定義在R上的奇函數(shù)，.."(0)=0,

n2

?\當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=9A+—-7,

而9戶『-722J%.77=6|a|-7,當(dāng)且僅當(dāng)片號(hào)時(shí)，“=”成立，

???當(dāng)x>0時(shí)，要使/"(X)》於1恒成立，只需61a17》a+l=aWq或a2|,

X***A=0時(shí)，AO)=0^a+l,

/.aWT,

綜上,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-皆。

題組3函數(shù)零點(diǎn)及有關(guān)問題

14.(2017?山東卷310)已知當(dāng)xG[0,1]時(shí)，函數(shù)尸(必-1產(chǎn)的圖像與尸聲+加的圖像有且

只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)勿的取值范圍是(兀

A.(0,1]U[2次,+8)

B.(0,1]U[3,+8)

C.(0,V2]U[2V3,+8)

D.(0,V2]U[3,+8)

答案：B

解析：當(dāng)?！次?時(shí)，需滿足1+/?》(ffl-1)2,解得0W"忘3,故這時(shí)0<mWl;當(dāng)m>l時(shí)，需滿足

(叱1)2e1+卬,解得卬》3或)<0,故這時(shí)小》3。綜上可知，正實(shí)數(shù)卬的取值范圍為(0,1]U

[3,+8)。

15.(全國(guó)〃卷?T12)已知函數(shù)f(x)(xGR)滿足/'(x)=f(2-x),若函數(shù)尸與產(chǎn)/'(x)

m

圖像的交點(diǎn)為(￡,71),(A2,㈤，…，(相丹),則Z%i=()o

i=l

A.0B.m

C.2mD.4/77

答案：B

解析：因?yàn)槭琭(x),產(chǎn)6-2尸31的圖像都關(guān)于尸1對(duì)稱，所以它們圖像的交點(diǎn)也關(guān)于產(chǎn)1對(duì)

稱，當(dāng)勿為偶數(shù)時(shí)，其和為2X1=加;當(dāng)如為奇數(shù)時(shí)，其和為2義等+1=他因此選B。

[易錯(cuò)點(diǎn)撥】如果函數(shù)/'(x),滿足VxG〃恒有/1(>*)=/'(加x),那么函數(shù)的圖像有對(duì)稱軸

行警;如果函數(shù)f(x),滿足恒有F(zx)=-/■(出*),那么函數(shù)Ax)的圖像有對(duì)稱中心

(等，。)。

2-1%x<2

2—函數(shù)g(x)=3-F(2-x),則函數(shù)片f(x)-g(x)

{(x-2),%>2,

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()。

A.2B.3

C.4D.5

答案：A

解析：當(dāng)K0時(shí),2-x>2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2~x)-x,此時(shí)函數(shù)

f(x)-g(x)=F(x)+f(2-x)-3=*+『l,其小于零的零點(diǎn)為l節(jié)店;當(dāng)0Wx<2

時(shí),f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函數(shù)f(x)-g(x)=2-廣『3=-1無零點(diǎn)；當(dāng)x>2

時(shí)，/、(必=(尸2)；f[2-x)=2-12-x\=4-x,函數(shù)F(x)-g(x)=(六2尸+4-尸3=/一5升5,其大于2的

零點(diǎn)為f。綜上可得函數(shù)尸/Xx)-g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。故選A。

7—Ix%v2

2'函數(shù)g(x)=Zr/XZ-x),其中6GR,若函數(shù)

((x-2),x>2,

尸/'(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則6的取值范圍是()。

A.(彳，+°°)B.(-°0,

C-(°>9D-G-2)*4

答案：D

解析：函數(shù)尸/'(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，即方程Ax)-^(x)=O,即為/tO+HZ-x)有4個(gè)不同

的實(shí)數(shù)根,即直線尸6與函數(shù)尸f(x)+F(2-x)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)。又

%2+x+2,%<0,

2,0<%<2,

{x2-5x4-8,x>2,

作出該函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像得當(dāng);"〈2時(shí),直線片6與函數(shù)*/U)+f(2-x)的圖像有

4

4個(gè)不同的交點(diǎn),故函數(shù)片f(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是(：，2),故選Do

18.(2018浙江卷物5)已知/ICR,函數(shù)/當(dāng)4=2時(shí)，不等式〃人)〈0

(X2-4X+3,x<尢

的解集是。若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則乂的取值范圍是o

答案:(1,4)(l,3]U(4,+8)

解析：由題意得廣，或廣2<：二。/0解得2WK4或KX2,即1<X4,不等式f(x)<0

(x-4<0(xz-4x+3<0,

的解集是(1,4)。當(dāng)4>4時(shí),/1(魔=尸4〉0,此時(shí)f(x)=*-4肝3=0,尸1,3,即在(-8,4)上有兩

個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)4?4時(shí)，/'(王)=尸4=0,產(chǎn)4,由『(入)=/-4戶3在(-8,4)上只能有一個(gè)零點(diǎn)得1<4

W3。綜上，A的取值范圍為(1,3]U(4,+8)。

工2-4-2CLX+a%V0

2J-：若關(guān)于X的方程MX

{+o2ax-2a,%>0o

恰有2