二輪復習6：瓜豆原理2

第第②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形二、模型講解：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關系分析軌跡圓半徑數(shù)量關系．

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．【精典例題】1、如圖，在中，，，，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82、如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是 B．3 C． D．3、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23，△ADC與△ABC關于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為()A．1 B．3 C．32 4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．5、如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為________.6、如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是______．7．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是___．8．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，點F沿線段AO從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點E運動的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）9.如圖，已知，平面內(nèi)點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為______．10.如圖所示，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點，當點沿半圓從點運動至點時，求點運動的路徑長．11.如圖所示，點，的半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，求的最小值．12.如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式．7、13.如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標為．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關于直線OP的對稱點D；①連結(jié)BD，求BD的最小值；②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式．14.如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點在上時，連接，求的長；（3）點在運動過程中，是否有最大值或最小值？若有，請求出當取得最大值或最小值時，的度數(shù)；若沒有，請說明理由．15.如圖所示，在扇形中，，，點是上的動點，以為邊作正方形，當點從點移動至點時，求點經(jīng)過的路徑長．16．如圖，在矩形ABCD中，，，連接BD，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為，旋轉(zhuǎn)角為a（，且）．在旋轉(zhuǎn)過程中，當落在線段BC上時，求的長；(2)連接、，當時，求；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若的重心為G，則CG的最小值=______．17.在菱形中，，是對角線上的一點，連接．（1）當在的中垂線上時，把射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點為的中點，連接，求的最大值．18.如圖1，已知在平面直角坐標系中，四邊形是矩形點分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點.(1)求OC的長和點的坐標；(2)如圖2，是線段上的點，，點是線段上的一個動點，經(jīng)過三點的拋物線交軸的正半軸于點，連結(jié)交于點①將沿所在的直線翻折，若點恰好落在上，求此時的長和點的坐標；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當動點從點運動到點時，點也隨之運動，請直接寫出點運動路徑的長.釋疑拓展：瓜豆原理中考題獨家方法軌跡為圓弧型·構(gòu)造中位線（2023·周口·三模）如圖，正方形的邊長是8，點E是邊的中點，連接，點F是線段上不與點D，E重合的一個動點，連接，點G是線段的中點，則線段的最小值為．

2023·山東泰安·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2如圖，點，的坐標分別為，，點為坐標平面內(nèi)一點，，點為線段的中點，連接，則的最大值為A． B． C． D．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動點（不與點A重合），D是的中點，M為的中點，則的最大值為．

題型五軌跡為圓弧型·構(gòu)造手拉手2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題如圖，是正方形邊的中點，是正方形內(nèi)一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

2022沈陽中考如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC如圖，點P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，∠APB＝90°，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接AQ，若AB＝2，則線段AQ的最大值為___________．AADBCPQ2022·鹽城市一模如圖，在直角坐標系中，點A坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），以B點為圓心，2長為半徑的圓交軸于C、D兩點，若P是⊙B上一動點，連接PA，以PA為一直角邊作Rt△PAQ，使得，連接DQ，則DQ的最小值為2023·深圳外國語學校中考模擬如圖，已知正方形的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點，將線段繞點D順時