二輪復(fù)習(xí)6：瓜豆原理2

第第②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形二、模型講解：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來(lái)確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．此類問題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．【精典例題】1、如圖，在中，，，，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82、如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是 B．3 C． D．3、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()A．1 B．3 C．32 4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．5、如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為________.6、如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是______．7．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是___．8．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)F沿線段AO從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，連接OE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③直線；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是．其中正確的結(jié)論是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）9.如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為______．10.如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．11.如圖所示，點(diǎn)，的半徑為2，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．12.如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)點(diǎn)隨著點(diǎn)的移動(dòng)也在一條直線上移動(dòng)，求這條直線的函數(shù)解析式．7、13.如圖，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；①連結(jié)BD，求BD的最小值；②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．14.如圖1，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在上時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出當(dāng)取得最大值或最小值時(shí)，的度數(shù)；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．15.如圖所示，在扇形中，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．16．如圖，在矩形ABCD中，，，連接BD，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為，旋轉(zhuǎn)角為a（，且）．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)落在線段BC上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)連接、，當(dāng)時(shí)，求；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若的重心為G，則CG的最小值=______．17.在菱形中，，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)在的中垂線上時(shí)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的最大值．18.如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，連結(jié)，，，是的中點(diǎn).(1)求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，是線段上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線交軸的正半軸于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)①將沿所在的直線翻折，若點(diǎn)恰好落在上，求此時(shí)的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).釋疑拓展：瓜豆原理中考題獨(dú)家方法軌跡為圓弧型·構(gòu)造中位線（2023·周口·三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

2023·山東泰安·中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為A． B． C． D．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），D是的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則的最大值為．

題型五軌跡為圓弧型·構(gòu)造手拉手2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

2022沈陽(yáng)中考如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝90°，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接AQ，若AB＝2，則線段AQ的最大值為___________．AADBCPQ2022·鹽城市一模如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），以B點(diǎn)為圓心，2長(zhǎng)為半徑的圓交軸于C、D兩點(diǎn)，若P是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為一直角邊作Rt△PAQ，使得，連接DQ，則DQ的最小值為2023·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考模擬如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)