高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座3數(shù)列在高考中的常見題型與求解策略知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE專題講座三數(shù)列在高考中的常見題型與求解策略1．(2016·遼寧省五校聯(lián)考)拋物線x2＝eq\f(1,2)y在第一象限內(nèi)圖像上一點(ai，2aeq\o\al(2,i))處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)記為ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，則a2＋a4＋a6等于()A．64 B．42C．32 D．21解析：選B.令y＝f(x)＝2x2，則切線斜率k＝f′(ai)＝4ai，切線方程為y－2aeq\o\al(2,i)＝4ai(x－ai)，令y＝0得x＝ai＋1＝eq\f(1,2)ai，由a2＝32得：a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.2．(2014·高考遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，A．d<0 B．d>0C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0解析：選C.設(shè)bn＝2a1an，則bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是遞減數(shù)列，則bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1.因為y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，所以a1an>a1an＋1，所以a1an－a1(an＋d)>0，所以a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，3．在等比數(shù)列{an}中，若an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，則a4＋a5的最小值為________．解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，所以a4a5＝2.再由基本不等式，得a4＋a5≥2eq\r(a4a5)＝2eq\r(2).所以a4＋a5的最小值為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)4．(2016·南昌調(diào)研測試卷)一牧羊人趕著一群羊通過6個關(guān)口，每過1個關(guān)口，守關(guān)人將拿走當(dāng)時羊的一半，然后退還1只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下2只羊，則牧羊人在過第1個關(guān)口前有________只羊．解析：記此牧羊人通過第1個關(guān)口前、通過第2個關(guān)口前、…、通過第6個關(guān)口前，剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列{an}(n＝1，2，3，4，5，6)，則由題意得a2＝eq\f(1,2)a1＋1，a3＝eq\f(1,2)a2＋1，…，a6＝eq\f(1,2)a5＋1，而eq\f(1,2)a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2.答案：25．(2016·南昌調(diào)研測試卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當(dāng)n≥5時，an>0.(1)求證：當(dāng)n≥5時，{an}成等差數(shù)列；(2)求{an}的前n項和Sn.解：(1)證明：由4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，4Sn＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.因為當(dāng)n≥5時，an>0，所以an＋1－an＝2，所以當(dāng)n≥5時，{an}成等差數(shù)列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（－1）n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5，))所以Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)[1－（－1）n]，1≤n≤4，,n2－6n＋8，n≥5.))6．(2015·高考山東卷)已知數(shù)列{an}是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n項和為eq\f(n,2n＋1).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(an＋1)·2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，令n＝1，得eq\f(1,a1a2)＝eq\f(1,3)，所以a1a2令n＝2，得eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＝eq\f(2,5)，所以a2a3由①②解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.經(jīng)檢驗，符合題意．(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，兩式相減，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝eq\f(4（1－4n）,1－4)－n·4n＋1＝eq\f(1－3n,3)×4n＋1－eq\f(4,3)，所以Tn＝eq\f(3n－1,9)×4n＋1＋eq\f(4,9)＝eq\f(4＋（3n－1）4n＋1,9).1．(2015·高考廣東卷節(jié)選)數(shù)列{an}滿足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－eq\f(n＋2,2n－1)，n∈N*.(1)求a3的值；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Tn.解：(1)令n＝1?a1＝1；令n＝2?a1＋2a2＝2?a2＝eq\f(1,2)；令n＝3?a1＋2a2＋3a3＝4－eq\f(5,4)?a3＝eq\f(1,4).(2)當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝4－eq\f(n＋1,2n－2)，①a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan＝4－eq\f(n＋2,2n－1).②②－①，得nan＝eq\f(n＋1,2n－2)－eq\f(n＋2,2n－1)＝eq\f(n,2n－1)，所以an＝eq\f(1,2n－1).又因為當(dāng)n＝1時，a1＝1也適合an＝eq\f(1,2n－1)，所以an＝eq\f(1,2n－1)(n∈N*)，易證數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝1，公比q＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{an}的前n項和Tn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2－eq\f(1,2n－1).2．為了加強環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟效益，北京市計劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛．(1)求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S(n)；(2)若該市計劃7年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值．解：(1)設(shè)an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量．依題意，得{an}是首項為128，公比為1＋50%＝eq\f(3,2)的等比數(shù)列，{bn}是首項為400，公差為a的等差數(shù)列．所以{an}的前n項和Sn＝eq\f(128×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1))，{bn}的前n項和Tn＝400n＋eq\f(n（n－1）,2)a.所以經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)為S(n)＝Sn＋Tn＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1))＋400n＋eq\f(n（n－1）,2)a.(2)若計劃7年內(nèi)完成全部更換，則S(7)≥1