2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)12綜合法與分析法含解析新人教B版選修

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十二)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．在證明命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．分析法和綜合法綜合使用D．間接證法[解析]此證明符合綜合法的證明思路．故選B.[答案]B2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0C.eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0[解析]要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證a2b2－a2－b2＋1≥0，只需證(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.[答案]D3．在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算和如下：那么，d(ac)等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．d[解析]由運(yùn)算可知，ac＝c，∴d(ac)＝dc.由運(yùn)算可知，dc＝a.故選A.[答案]A4．欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2[解析]∵eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0，故eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)?eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)?(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.故選C.[答案]C5．對(duì)任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是()A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．sin(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)>sinα＋sinβD．cos(α＋β)<cosα＋cosβ[解析]因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，若eq\f(π,2)≤α＋β<π，則cos(α＋β)≤0，因?yàn)閏osα>0，cosβ>0.所以cosα＋cosβ>cos(α＋β)．若0<α＋β<eq\f(π,2)，則α＋β>α且α＋β>β，因?yàn)閏os(α＋β)<cosα，cos(α＋β)<cosβ，所以cos(α＋β)<cosα＋cosβ，總之，對(duì)任意的銳角α，β有cos(α＋β)<cosα＋cosβ.[答案]D二、填空題6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對(duì)函數(shù)f(x)＝x－xlnx求導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＝－lnx>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．[解析]該證明方法是“由因?qū)Ч狈ǎ甗答案]綜合法7．如果aeq\r(a)>beq\r(b)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是__________．[解析]要使aeq\r(a)>beq\r(b)，只需使a>0，b>0，(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，即a>b>0.[答案]a>b>08．若對(duì)任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是__________．[解析]若對(duì)任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，只需求y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，且令a不小于這個(gè)最大值即可．因?yàn)閤>0，所以y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)).[答案]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))三、解答題9．已知傾斜角為60°的直線L經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求弦AB的長(zhǎng)；(2)求三角形ABO的面積．[解](1)由題意得，直線L的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3).由拋物線的定義，得弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).(2)點(diǎn)O到直線AB的距離d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，所以三角形OAB的面積為S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(4\r(3),3).10．已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，其面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[證明]要證a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要證a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即證a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因?yàn)?absin(C＋30°)≤2ab，只需證a2＋b2≥2ab，顯然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[能力提升練]1．設(shè)a>0，b>0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8 B．4C．1 D．eq\f(1,4)[解析]eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因?yàn)閍>0，b>0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)?ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.[答案]B2．已知關(guān)于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，則k的取值范圍是()A．(－1,2)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因?yàn)槠鋱D象開口向上，由題意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1．[答案]B3．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是__________．[解析]aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)?a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．[答案]a≥0，b≥0且a≠b4．已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β.求證：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β).[證明]要證eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)成立，即證eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β)))).即證cos2α－sin2α＝eq\f(1,2)(