2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案：-直線與平面平行的判定-平面與平面平行的判定

PAGE2．2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定2.2.2平面與平面平行的判定知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.在進(jìn)行線面平行、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從線線平行到線面平行，再到面面平行．2．使用線面平行、面面平行的判定定理時，一定要特別注意定理的使用條件，這些條件有很強(qiáng)的制約性，但它們也是我們解題時打開思路的突破口．高考導(dǎo)航1.判定直線與平面平行：在高考中常有考查，多在解答題的第一問出現(xiàn)，難度不大，分值5～7分．2．判定平面與平面平行：在高考中較少單獨考查，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，以符號語言為載體，綜合考查直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系，難度中等，分值5分.知識點一直線與平面平行的判定文字語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α用該定理判斷直線a和平面α平行時，必須同時具備三個條件：(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b.知識點二平面與平面平行的判定文字語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行圖形語言符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α1．平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則l∥平面α.()(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．()(3)兩條平行線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不對解析：當(dāng)每個平面內(nèi)的兩條直線都是相交直線時，可推出兩個平面一定平行，否則，兩個平面有可能相交．答案：C3．下列結(jié)論正確的是()A．過直線外一點，與該直線平行的平面只有一個B．過直線外一點，與該直線平行的直線有無數(shù)條C．過平面外一點，與該平面平行的直線有無數(shù)條D．過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行解析：過平面外一點，與該平面平行的直線有無數(shù)條，只要直線與平面無公共點，就是直線與平面平行．答案：C4．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交解析：因為a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.答案：D類型一直線與平面平行的判定例1如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點．證明：BC1∥平面A1CD.【證明】如圖，連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點．又D是AB的中點，連接DF，則DF∥BC1.因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.在平面A1CD內(nèi)找到與BC1平行的直線，利用直線與平面平行的判定定理證明．方法歸納(1)直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用步驟①線與線平行；②一條線在已知平面內(nèi)；③一條線在已知平面外．(2)中點的應(yīng)用在題目中出現(xiàn)中點時，常見的證線線平行的兩種途徑：①中位線→線線平行；②平行四邊形→線線平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點，求證：EF∥平面BDD1B1.證明：如圖，取D1B1的中點O，連接OF，OB.∵OF綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OF綊BE，∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.要證EF∥平面BDD1B1，從平面BDD1B1中尋找一條直線與EF平行是證明的關(guān)鍵．類型二平面與平面平行的判定例2如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，CD，A′B′，C′D′的中點．求證：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.【證明】∵E，E′分別是AB，A′B′的中點，∴A′E′綊BE，∴四邊形A′EBE′為平行四邊形，∴A′E∥BE′.∵A′E?平面BCF′E′，BE′?平面BCF′E′，∴A′E∥平面BCF′E′.同理，A′D′∥平面BCF′E′.又A′E∩A′D′＝A′，∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.由平面與平面平行的判定定理知，要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線與另一個平面平行即可．方法歸納利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟第一步：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，點B為△ACD所在平面外一點，點M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．求證：平面MNG∥平面ACD.證明：連接BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于點P，F(xiàn)，H.∵點M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連接PF、FH，PH，則有MN∥PF.又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD，又∵M(jìn)G∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.類型三線面平行、面面平行的綜合應(yīng)用例3在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G，H分別為CC′，C′D′，DD′，CD的中點，N為BC的中點，試在E，F(xiàn)，G，H四點中找兩點，使這兩個點與點N確定一個平面α且平面α∥平面BB′D′D.【解析】如圖，連接HN，由中位線定理得，HN∥BD.∵BD?平面BB′D′D，HN?平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.連接HF，則HF∥DD′，∵DD′?平面BB′D′D，HF?平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.又HN∩HF＝H，連接FN，則平面HFN∥平面BB′D′D，∴H，F(xiàn)，N三點確定的平面α與平面BB′D′D平行．由平面與平面平行的判定定理知，只需所找的兩點與點N構(gòu)成的直線中，有兩條相交直線與平面BB′D′D平行即可．方法歸納線面、面面平行綜合應(yīng)用的策略(1)在立體幾何中常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的．(2)因為eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up12(判定),\s\do10(定理))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up12(判定),\s\do10(定理))eq\x(面面平行)，所以對于平行關(guān)系的綜合問題的解決，必須要靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．解析：存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點F，連接DF，DE，EF，則DF∥B1C1，∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵E為AB的中點，F(xiàn)為BB1的中點，∴EF∥AB1，∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.又EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.先借助圖形確定E為AB的中點，再給出證明.2.2.1-2[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列命題正確的是()A．一條直線與一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平行于同一個平面的兩條直線平行C．與兩個相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個平面D．平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行，則另一條也與這個平面平行解析：對于A，平面內(nèi)還存在直線與這條直線異面，錯誤；對于B，這兩條直線還可以相交、異面，錯誤；對于C，這條直線還可能在其中一個平面內(nèi)，錯誤．故選D.答案：D2．使平面α∥平面β的一個條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．α內(nèi)存在兩條相交直線a，b分別平行于β內(nèi)的兩條直線解析：A，B，C中的條件都不一定使α∥β，反例分別為圖①②③(圖中a∥l，b∥l)；D正確，因為a∥β，b∥β，又a，b相交，從而α∥β.答案：D3．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的是()A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1E與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G解析：根據(jù)面面平行的判定定理，可知A正確．答案：A4．[2019·大連校級檢測]如圖，△ABC的邊BC在平面α內(nèi)，EF是△ABC的中位線，則()A．EF與平面α平行B．EF與平面α不平行C．EF與平面α可能平行D．EF與平面α可能相交解析：∵EF∥BC，BC?α，EF?α，∴EF∥平面α.答案：A5．[2019·遼寧省葫蘆島市校級月考]已知在如圖所示的長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AA1的中點，F(xiàn)為BB1的中點，G為CC1的中點，則在該長方體中，與平面EFG平行的面有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AA1的中點，F(xiàn)為BB1的中點，G為CC1的中點，∴EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，又EF?平面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，又EF∩FG＝F，∴由平面與平面平行的判定定理得：平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在該長方體中，與平面EFG平行的平面有2個．答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．如果直線a，b相交，直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是________．解析：根據(jù)線面位置關(guān)系的定義，可知直線b與平面α的位置關(guān)系是相交或平行．答案：相交或平行7．已知點S是正三角形ABC所在平面外一點，點D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．解析：由D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，知EF是△SBC的中位線，∴EF∥BC.又∵BC平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中點，過點G的截面與側(cè)面ABB1A1平行，若側(cè)面ABB1A1是邊長為4的正方形，則截面周長為________．解析：如圖，取B1C1的中點M，BC的中點N，AC的中點H，連接GM，MN，HN，GH，則GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH為過點G且與平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周長為4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答題(每小題10分，共20分)9．[2019·廣東佛山質(zhì)檢]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.證明：如圖，連接BD，交AC于點O，取PF的中點G，連接EG，ED，ED交CF于點M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點，則EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點，則M為ED的中點．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點，則BE∥MO.又MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.10．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AC的中點．求證：平面EFG∥平面ABD.證明：因為E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，所以EF∥BD.又BD?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.又EF∩EG＝E，EF，EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABD.[能力提升](20分鐘，40分)11.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，且AEEB＝AFFD＝14，H，G分別為BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形解析：由題意，知EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四邊形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH與平面ADC不平行，故選B.答案：B12．如圖所示的四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是________．(填序號)解析：①中連接點A與點B上面的頂點，記為C，則易證平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根據(jù)空間直線與平面平行的