2015年高考理科數(shù)學(xué)陜西卷-答案

3/132015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）理科數(shù)學(xué)答案解析第一部分一、選擇題1.【答案】A【解析】由所以．【提示】求解一元二次方程化簡M，求解對(duì)數(shù)不等式化簡N，然后利用并集運(yùn)算得答案【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算2.【答案】C【解析】初中部女教師的人數(shù)為；高中部女教師的人數(shù)為，∴該校女教師的人數(shù)為，【提示】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)．【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法．3.【答案】C【解析】解：由題意可得當(dāng)取最小值-1時(shí)，函數(shù)取最小值，解得，∴，∴當(dāng)取最大值1時(shí)，函數(shù)取最大值，【提示】由題意和最小值易得k的值，進(jìn)而可得最大值．【考點(diǎn)】的圖象性質(zhì)．4.【答案】B【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以【提示】由題意可得，解關(guān)于n的方程可得．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．5.【答案】D【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是圓柱體的一半，∴該幾何體的表面積為【提示】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱體的一部分，利用圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積．【考點(diǎn)】由三視圖求面積，體積6.【答案】A【解析】所以【提示】由，即可判斷出．【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．7.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；所以選項(xiàng)D正確【提示】由向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算8.【答案】C【解析】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得滿足條件滿足條件……滿足條件滿足條件不滿足條件輸出y的值為【提示】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當(dāng)時(shí)不滿足條件，計(jì)算并輸出y的值為.【考點(diǎn)】程序框圖9.【答案】B【解析】，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以【提示】由題意可得，，，可得大小關(guān)系．【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．10.【答案】D【解析】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y頓，利潤為z元，則，目標(biāo)函數(shù)為．作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域．由得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，解方程組，解得，即B的坐標(biāo)為，∴即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2，3頓，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是萬元【提示】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y頓，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用11.【答案】D【解析】∵復(fù)數(shù)且，∴，即，∴點(diǎn)在為圓心1為半徑的圓及其內(nèi)部，而表示直線左上方的部分，（圖中陰影弓形）∴所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，∴所求概率【提示】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，分別求面積可得．【考點(diǎn)】幾何概型12.【答案】A【解析】假設(shè)選項(xiàng)A錯(cuò)誤，則選項(xiàng)B、C、D正確，，因?yàn)?是的極值點(diǎn)，3是的極值，所以，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得：，所以，，所以因?yàn)椋圆皇堑牧泓c(diǎn)，所以假設(shè)成立，選A【提示】可采取排除法．分別考慮A，B，C，D中有一個(gè)錯(cuò)誤，通過解方程求得a，判斷是否為非零整數(shù)，即可得到結(jié)論．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．第二部分二、填空題13.【答案】5【解析】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得解得【提示】由題意可得首項(xiàng)的方程，解方程可得．【考點(diǎn)】等差數(shù)列14.【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得【提示】先求出的左焦點(diǎn)，得到拋物線的準(zhǔn)線，依據(jù)p的意義求出它的值．【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)15.【答案】【解析】∵，∴∵在處的切線與上點(diǎn)P的切線垂直∴點(diǎn)P處的切線斜率為又，設(shè)點(diǎn)∴∴∴∴點(diǎn)【提示】利用在某點(diǎn)處的切屑斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲線的斜率，進(jìn)而求得切點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程16.【答案】【解析】如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為：，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過，可得，所以拋物線方程：，橫截面為等腰梯形的水渠，泥沙沉積的橫截面的面積為：，等腰梯形的面積為：，當(dāng)前最大流量的橫截面的面積，原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為：【提示】建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，然后利用定積分求出泥沙沉積的橫截面面積，求出梯形面積，即可推出結(jié)果．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．三、解答題17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，可得；（Ⅱ）由正弦定理得，從而，又由，知，所以故所以的面積為【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及，通過余弦定理求出c，然后求解的面積．【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用，平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示18.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】證明：（Ⅰ）在圖1中，∵，E是的中點(diǎn)，，∴，即在圖2中，，則；∵，∴；（Ⅱ）若，由（Ⅰ）知，∴為二面角的平面角，∴，如圖，建立空間坐標(biāo)系，∵，∴，設(shè)的法向量為，的法向量為，則得，令，則，即，由得，取，則，即與夾角的余弦值為．【提示】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：；（Ⅱ）若，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求與夾角的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)19.【答案】（Ⅰ）T的分布列為：T25303540P0.20.30.40.1（分鐘）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為T（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而數(shù)學(xué)期望（分鐘）（Ⅱ）設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，的取值相互獨(dú)立，且與的分布列相同，設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過分鐘”，由于講座時(shí)間為分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過分鐘”故【提示】（Ⅰ）求T的分布列即求出相應(yīng)時(shí)間的頻率，頻率=頻數(shù)÷樣本容量，數(shù)學(xué)期望（分鐘）；（Ⅱ）設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授共用時(shí)間不超過分鐘”，先求出【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差，離散型隨機(jī)變量及其分布列20.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)和的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離為，即為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為①，由題意可得圓心是線段的中點(diǎn)，則，易知與x軸不垂直，記其方程為，代入①可得，設(shè)，則，，由，得，解得，從而，于是，解得，則有橢圓E的方程為【提示】（Ⅰ）求出經(jīng)過點(diǎn)和的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為，①設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得，即可得到橢圓方程．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題，曲線與方程21.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【解析】證明：（Ⅰ）由，則，，∴在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，∵是的一個(gè)零點(diǎn)，∴，即，故；（Ⅱ）由題設(shè)，，設(shè)．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．若，．若，．∴在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，∴，即．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【提示】（Ⅰ）由，求得，．再由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，得到在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，由，得到；（Ⅱ）先求出，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，即得到．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合22.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）3【解析】證明：（Ⅰ）∵是的直徑，則，∵，∴，即，∵切于點(diǎn)B，∴，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，則，∵，∴，，則，由切割線定理得，即，故，即的直徑為3．【提示】（Ⅰ）根據(jù)直徑的性質(zhì)即可證明：；（Ⅱ）結(jié)合割線定理進(jìn)行求解即可求的直徑．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系23.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由的極坐標(biāo)方程為．∴，化為，配方為．（Ⅱ）設(shè)，又．∴，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值．此時(shí)．【提示】（Ⅰ）由的極坐標(biāo)方程為．化為，把代入即可得出．（Ⅱ）設(shè)，又．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，