（高二數(shù)學(xué)高分突破）第7章計(jì)數(shù)原理章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）第7章計(jì)數(shù)原理章末題型歸納總結(jié)（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）第7章計(jì)數(shù)原理章末題型歸納總結(jié)（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）第7章計(jì)數(shù)原理章末題型歸納總結(jié)（原卷版）第7章計(jì)數(shù)原理章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理經(jīng)典題型二：相鄰問題的排列問題經(jīng)典題型三：不相鄰的排列問題經(jīng)典題型四：分組分配問題經(jīng)典題型五：隔板法經(jīng)典題型六：幾何計(jì)數(shù)問題經(jīng)典題型七：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題經(jīng)典題型八：涂色問題經(jīng)典題型九：二項(xiàng)展開式問題經(jīng)典題型十：系數(shù)與系數(shù)和問題經(jīng)典題型十一：整除與余數(shù)、近似計(jì)算問題經(jīng)典題型十二：楊輝三角問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理例1．(2024·江西九江·高二九江市同文中學(xué)校考期末)從1,2,3,4,5,6,7,9中,任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則所有不同的對(duì)數(shù)的值有(

)A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)例2．(2024·江西·高二江西省安義中學(xué)校聯(lián)考期末)某學(xué)校開設(shè)5門球類運(yùn)動(dòng)課程、6門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和3門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí),某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí),則不同的選法共有(

)A．90種 B．30種 C．14種 D．11種例3．(2024·河南·高二校聯(lián)考期末)某同學(xué)逛書店,發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書,若決定至少買其中的兩本,則購買方案有()A．4種 B．6種 C．7種 D．9種例4．(2024·山東德州·高二統(tǒng)考期末)已知集合,從集合M中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),從集合N中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),則落在第三、第四象限內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．6 B．8 C．10 D．12例5．(2024·廣東深圳·高二?？计谀?某班4個(gè)同學(xué)分別從3處風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光,則不同的選擇方案是(

)A．種 B．種 C．種 D．種例6．(2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末)閱讀課上,5名同學(xué)分別從3種不同的書中選擇一種進(jìn)行閱讀,不同的選法種數(shù)是(

)A．50 B．60 C．125 D．243經(jīng)典題型二：相鄰問題的排列問題例7．(2024·北京西城·高二期末)2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間,甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念,若甲與乙相鄰?丙不排在兩端,則不同的排法種數(shù)有(

)A．720 B．960 C．1120 D．1440例8．(2024·全國·高二假期作業(yè))7個(gè)人站成兩排,前排3人,后排4人,其中甲乙兩人必須挨著,甲丙必須分開站,則一共有(

)種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．1056例9．(2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末)為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開,某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng).高一?高二?高三年級(jí)分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影,要求同年級(jí)同學(xué)排在一起,則不同的排法共有(

)A．18種 B．36種 C．72種 D．144種例10．(2024·廣東江門·高二?？计谀?某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念,要求學(xué)員A和B不相鄰,則不同的排法共有(

)A．120種 B．240種 C．360種 D．480種例11．(2024·甘肅臨夏·高二?？奸_學(xué)考試)中國古代中的"禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱"六藝”．為傳承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校國學(xué)社團(tuán)開展"六藝”講座活動(dòng),每藝安排一次講座,共講六次．講座次序要求"禮”在第一次,"射”和"御”兩次相鄰,則"六藝”講座不同的次序共有()A．48種 B．36種 C．24種 D．20種例12．(2024·貴州畢節(jié)·高二校考階段練習(xí))高二年級(jí)組在一次考試后,年級(jí)總分排名前6名的同學(xué)站成一排照相,若排名為第一名與第二名的同學(xué)不站兩端,第三名與第四名同學(xué)要站在一起,則不同站隊(duì)方法的種數(shù)為(

)A．36 B．48 C．60 D．72經(jīng)典題型三：不相鄰的排列問題例13．(2024·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí))5人排成一行,其中甲、乙兩人之間至少有一人,則不同的排法種數(shù)是(

)A．48 B．72 C．96 D．144例14．(2024·浙江嘉興·高二校考階段練習(xí))澉浦"八大碗”是由兩冷菜,三大菜,三熱炒組成.今有人欲以其中的"東坡肉”"紅燒羊肉”"醋魚湯”"韭芽肉皮”"老筍干絲”"大蒜肉絲”共六道菜宴請(qǐng)遠(yuǎn)方來客,這六道菜要求依次而上,其中"紅燒羊肉”和"醋魚湯”不能接連相鄰上菜,請(qǐng)問不同的上菜順序種數(shù)為()A．480 B．240 C．384 D．1440例15．(2024·高二?？紗卧獪y(cè)試)有6個(gè)座位連成一排,安排3個(gè)人就座,恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有(

)A．36種 B．60種 C．72種 D．80種例16．(2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末)某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過6道工序,如果其中某2道工序必須相鄰,另外有2道工序不能相鄰,那么加工順序的種數(shù)為(

)A．72 B．144 C．288 D．156例17．(2024·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)?？计谀?隨著北京冬奧會(huì)的開幕,吉祥物"冰墩墩”火遍國內(nèi)外,現(xiàn)有3個(gè)完全相同的"冰墩墩”,甲、乙、丙、丁、戊5位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)"冰墩墩”站成一排拍照留念,則有且只有2個(gè)"冰墩墩”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為(

)．A．3600 B．1440 C．720 D．480例18．(2024·河南安陽·高二統(tǒng)考期末)2023年5月份開始,為防范社會(huì)風(fēng)險(xiǎn),更好服務(wù)群眾,某地公安局推出社區(qū)民警"駐村”工作模式,要求民警每周一到周五,把值班地點(diǎn)挪到村子中,該地某派出所計(jì)劃下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名優(yōu)秀民警輪流"駐村”,每名民警安排1天值班,則甲、乙兩名民警不能相鄰值班的排法有(

)A．58種 B．60種 C．72種 D．78種經(jīng)典題型四：分組分配問題例19．(2024·上海·高二上海市川沙中學(xué)?？计谀?某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者,則所選3人中男女生都有的選法有種.(用數(shù)字作答)例20．(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末)2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開后,4位同學(xué)到三個(gè)體育場(chǎng)館做志愿者服務(wù)活動(dòng),每個(gè)體育場(chǎng)館至少一人,每人只能去一個(gè)體育場(chǎng)館,則不同的分配方法總數(shù)是．例21．(2024·河南南陽·高二南陽中學(xué)校考階段練習(xí))某旅行社有導(dǎo)游9人,其中3人只會(huì)英語,4人只會(huì)日語,2人既會(huì)英語,也會(huì)日語,現(xiàn)從中選6人,其中3人進(jìn)行英語導(dǎo)游,另外3人進(jìn)行日語導(dǎo)游,則不同的選擇方法有種.例22．(2024·江西南昌·高二江西師大附中?？计谀?現(xiàn)有4名同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)不同的課后服務(wù)小組,每人只能報(bào)一個(gè)小組,若每個(gè)小組至少要有1人參加,則共有種不同的安排方法.例23．(2024·高二單元測(cè)試)將5本不同的書分發(fā)給4位同學(xué),其中甲、乙兩本書不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué),每位同學(xué)都發(fā)到書,每本書只能給一位同學(xué),則不同的分配方案數(shù)為(用數(shù)字作答)例24．(2024·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí))若將5名志愿者安排到三個(gè)學(xué)校進(jìn)行志愿服務(wù),每人只去一個(gè)學(xué)校,每個(gè)學(xué)校至少去一人,則不同的分配方案共有種．(用數(shù)字作答)例25．(2024·全國·高二隨堂練習(xí))填空：(1)甲、乙、丙3名同學(xué)選修興趣課程,從5門課程中,甲選修2門,乙選修4門,丙選修3門,則不同的選修方案共有種．(2)H城市某段時(shí)間內(nèi)發(fā)放的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成,其中4個(gè)數(shù)字互不相同,這樣的牌照號(hào)碼共有種．(3)4名教師分配到3所學(xué)校任教,每所學(xué)校至少1名教師,則不同的分配方案共有種．(4)五人并排站成一排,甲、乙必須相鄰且甲在乙的左邊,則不同的站法共有種．(5)要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育和藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表,要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié),英語課不排在第6節(jié),則不同的排法共有種．經(jīng)典題型五：隔板法例26．(2024·安徽合肥·高二合肥一中?？计谀?在中國革命史上有許多與"8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事,如"八子參軍”、"八女投江”等,因此數(shù)字"8”是當(dāng)之無愧的新時(shí)代"英雄數(shù)字”．如果一個(gè)四位數(shù),各個(gè)位置上數(shù)字之和等于8,這樣的數(shù)稱為"英雄數(shù)”(比如1223,,就是一個(gè)"英雄數(shù)”),則所有的"英雄數(shù)”有個(gè)(用數(shù)字回答)例27．(2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末)現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額,計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí),則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.例28．(2024·江蘇·高二專題練習(xí))各數(shù)位數(shù)字之和等于8(數(shù)字可以重復(fù))的四位數(shù)個(gè)數(shù)為．例29．(2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí))關(guān)于的方程(其中)的解共有組.例30．(2024·福建三明·高二統(tǒng)考期末)將個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額分配給個(gè)不同的班級(jí),其中甲、乙兩個(gè)班至少各有個(gè)名額,則不同的分配方案種數(shù)為.例31．(2024·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀?個(gè)相同的籃球,分給甲、乙、丙三位同學(xué)(每人至少分得一個(gè)),不同分法的總數(shù)為．經(jīng)典題型六：幾何計(jì)數(shù)問題例32．(2024·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí))北斗七星是夜空中的七顆亮星,我國漢代緯書《春秋運(yùn)斗樞》就有記載,它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗,故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象,也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖,用點(diǎn),,,,,,表示某一時(shí)期的北斗七星,其中,,,看作共線,其他任何三點(diǎn)均不共線,過這七個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)作直線,所得直線的條數(shù)為(

)

A．4 B．13 C．15 D．16例33．(2024·高二課時(shí)練習(xí))有兩條平行直線a和b,在直線a上取4個(gè)點(diǎn),在直線b上取5個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,這樣的三角形共有()A．70個(gè) B．80個(gè) C．82個(gè) D．84個(gè)例34．(2024·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末)平面內(nèi)有兩組平行線,一組有6條,另一組有8條,這兩組平行線相交,由這些平行線可以構(gòu)成平行四邊形的個(gè)數(shù)為(

)A．14 B．48 C．91 D．420例35．(2024·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))正三棱柱的各棱中點(diǎn)共個(gè)點(diǎn),在其中取個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法共有(

)A．種 B．種 C．種 D．以上都不對(duì)例36．(2024·高二課時(shí)練習(xí))空間中有個(gè)點(diǎn),其中有個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)且無三點(diǎn)共線,其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線,無四點(diǎn)共面,則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為()A． B． C． D．例37．(2024·河南鄭州·高二鄭州十九中校聯(lián)考期末)如圖,已知圖形,內(nèi)部連有線段．圖中矩形總計(jì)有(

)個(gè)．A．75 B．111 C．102 D．120經(jīng)典題型七：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題例38．(2024·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí))實(shí)數(shù)2160所有正因數(shù)有個(gè)．例39．(2024·北京朝陽·高二北京八十中?？计谀?世界數(shù)學(xué)三大猜想："費(fèi)馬猜想”、"四色猜想”、"哥德巴赫猜想”,其中"四色猜想”和"費(fèi)馬猜想”已經(jīng)分別在年和年榮升為"四色定理”和"費(fèi)馬大定理”．如今,哥德巴赫猜想仍未解決．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于的偶數(shù),都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．(質(zhì)數(shù)是指在大于的自然數(shù)中,除了和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù))．在不超過的質(zhì)數(shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和為奇數(shù)取法有種．例40．(2024·山東聊城·高二統(tǒng)考期末)數(shù)字2022具有這樣的性質(zhì)：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6,稱這種正整數(shù)為"吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中,"吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為.例41．(2024·陜西寶雞·高二寶雞中學(xué)?？计谀?從,,,,,六個(gè)數(shù)中任取不相同的兩個(gè)數(shù),分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),可得到個(gè)不同的對(duì)數(shù)值.例42．(2024·北京·高考真題)已知n次式項(xiàng)式．如果在一種算法中,計(jì)算的值需要次乘法,計(jì)算的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法,3次加法),那么計(jì)算的值共需要次運(yùn)算．下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：．利用該算法,計(jì)算的值共需要6次運(yùn)算．計(jì)算的值共需要次運(yùn)算．經(jīng)典題型八：涂色問題例43．(2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí))中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家,傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘,其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字,,,,現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色,要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同,對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇,則不同的涂色方案有(

)A．種 B．種C．種 D．種例44．(2024·江西新余·高二校考階段練習(xí))如圖,用4種不同的顏色給矩形,,,涂色,要求相鄰的矩形涂不同的顏色,則不同的涂色方法共有(

)A．12種 B．24種 C．48種 D．72種例45．(2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末)用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色,要求相鄰兩塊涂不同的顏色,則不同的涂色方法有(

)

A．240 B．360 C．480 D．600例46．(2024·全國·高二假期作業(yè))如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同染色方法的種數(shù)為()A．192 B．420 C．210 D．72例47．(2024·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰顏色不同,則不同的涂色方法種數(shù)為(

)

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)例48．(2024·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖,某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃,花圃分為6個(gè)部分,現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有(

)種.

A．40 B．80 C．120 D．160經(jīng)典題型九：二項(xiàng)展開式問題例49．(2024·江西·高二校聯(lián)考期末)的展開式中,的系數(shù)為(

)A．60 B．120 C． D．例50．(2024·北京海淀·高二清華附中?？计谀?的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為(

)A． B． C．5 D．10例51．(2024·江蘇·高二假期作業(yè))的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(

)A． B． C． D．例52．(2024·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末)展開式中的系數(shù)為(

)A．45 B． C． D．例53．(2024·江蘇·高二假期作業(yè))已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64,則展開式中的系數(shù)為(

)A． B．1215 C．135 D．例54．(多選題)(2024·山西晉中·高二?？计谀?已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是(

)A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B．展開式中常數(shù)項(xiàng)為第8項(xiàng)C．展開式中有理項(xiàng)有3項(xiàng)D．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)例55．(多選題)(2024·重慶江北·高二重慶十八中?？计谀?在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．各項(xiàng)系數(shù)和為2B．不含字母的項(xiàng)的系數(shù)和為1C．不含字母的項(xiàng)的系數(shù)和為80D．不存在這樣的項(xiàng)經(jīng)典題型十：系數(shù)與系數(shù)和問題例56．(多選題)(2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末)已知,則(

)A． B．C． D．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為例57．(多選題)(2024·河北唐山·高二校聯(lián)考期末)若,則(

)A． B．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C．奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 D．例58．(多選題)(2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．展開式中各項(xiàng)的系數(shù)最大的是C． D．例59．(多選題)(2024·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？计谀?在二項(xiàng)式的展開式中,下列結(jié)論正確的是(

)A．第5項(xiàng)的系數(shù)最大B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為D．所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為例60．(多選題)(2024·江西·高二校聯(lián)考期末)若,則下列等式正確的有(

)A． B．C． D．例61．(多選題)(2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谀?已知,則下列結(jié)論正確的是(

)A．B．C．D．例62．(多選題)(2024·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)校考階段練習(xí))已知,下列命題中,正確的有(

)A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為 B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為 D．經(jīng)典題型十一：整除與余數(shù)、近似計(jì)算問題例63．(2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末)若能被13整除,則m的最小正整數(shù)取值為．例64．(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀?設(shè),且,若能被15整除,則.例65．(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期末)今天是第一天星期一,則第天是星期.例66．(2024·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谀?若,則除以7的余數(shù)是.例67．(2024·安徽阜陽·高二安徽省太和第一中學(xué)?？计谀?若,且,,且,則．例68．(2024·高二課時(shí)練習(xí))用二項(xiàng)式定理估算.(精確到0.001)例69．(2024·高二課時(shí)練習(xí))將精確到0.01的近似值是．經(jīng)典題型十二：楊輝三角問題例70．(2024·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí))展開式中各項(xiàng)的系數(shù)可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角,其性質(zhì)是以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方和左?右兩邊三個(gè)數(shù)的和(不足3個(gè)數(shù)時(shí),用0補(bǔ)上),則的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為.例71．(2024·遼寧本溪·高二?？计谀?在"楊輝三角”中,每一個(gè)數(shù)都是它"肩上”兩個(gè)數(shù)的和,它開頭幾行如圖所示．那么,在"楊輝三角”中,第行會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù),其比為．第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

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1

5

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10

5

1例72．(2024·北京東城·高二東直門中學(xué)?？计谀?我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里給出了楊輝三角,書中是用漢字來表示的,如圖1.研究發(fā)現(xiàn),楊輝三角可以由組合數(shù)來表示,如圖2.

楊輝三角有很多有趣的性質(zhì),如楊輝三角的兩個(gè)腰上的數(shù)字都是1,用組合數(shù)表示為.請(qǐng)寫出一條其他的性質(zhì),用組合數(shù)表示為：.從楊輝三角蘊(yùn)含的規(guī)律可知：.例73．(2024·安徽滁州·高二?？计谀?如圖所示,在楊輝三角中,斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：,,,,,,,記這個(gè)數(shù)列前項(xiàng)和為,則．

例74．(2024·四川資陽·高二統(tǒng)考期末)楊輝是我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家,在其所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了圖①所示的三角形數(shù)表,這比歐洲早500多年．楊輝三角本身包含很多性質(zhì),并有廣泛的應(yīng)用．借助圖②所示的楊輝三角,可以得到,從第0行到第行：第1斜列之和;第2斜列之和．類比以上結(jié)論,并解決如下問題：圖③所示為一個(gè)層三角垛,底層是每邊堆個(gè)圓球的三角形(底層堆積方式如圖所示),向上逐層每邊少1個(gè),頂層是1個(gè)．則小球總數(shù)．例75．(2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末)如圖,在楊輝三角中,斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：,記這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的值為.

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例76．(2024·河南·模擬預(yù)測(cè))某惠民醫(yī)院開展"關(guān)愛健康,守護(hù)生命,服務(wù)老人”的義診活動(dòng),需要臨時(shí)從某科室中抽調(diào)3名醫(yī)護(hù)人員,已知該科室現(xiàn)共有3名醫(yī)生和4名護(hù)士.為了保障醫(yī)院工作正常運(yùn)作,該科室內(nèi)至少需要留有1名醫(yī)生和2名護(hù)士,則不同的抽調(diào)方案共有(

)A．72種 B．36種 C．30種 D．18種例77．(2024·全國·模擬預(yù)測(cè))的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為(

)A．1984 B．960 C．660 D．704例78．(2