2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用一學(xué)案新人教A版必修第一冊

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

L課前自主預(yù)習(xí)

目學(xué)習(xí)目標(biāo)

i.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題.

2.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.

目要點梳理

兒類常見的函數(shù)模型

名稱解析式條件

一次函數(shù)

y=kj：-\-bk手。

模型

反比例k,.

y=—20

函數(shù)模型JC

一般式：y=aa:2

二次函數(shù)頂點式：

a7^0

模型/?b\2i4ac-U

3r(F)+4a

嘉函數(shù)

y=ax11+〃

模型

分段函(/(①)，1g,

—

數(shù)模型[g(①)，1612

E］思考診斷

1.一次函數(shù)/=公+6中〃的取值是如何影響其圖象和性質(zhì)的？

［答案］當(dāng)00時直線必經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)爾0時直線必經(jīng)

過第二、四象限，y隨x的增大而減小

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由哪些因素決定？

［答案］二次函數(shù)片=@*2+原+。的圖象和性質(zhì)由開口方向、對稱軸及頂點位置決定.a

b—b

決定拋物線的開口方向，直線*=一天決定對稱軸的位置，——決定頂點的縱坐標(biāo).另外

2a4a

其單調(diào)性由開口方向及對稱軸決定

3.判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)尸Ax+8(N#0)在R上是增函數(shù).()

—g

(2)二次函數(shù)/'(x)=ax2+"+c(aW0)的最大值是一;一.()

4a

(3)分段函數(shù)中每一段的模型可以是一次函數(shù)或二次函數(shù).()

［答案］⑴X⑵X⑶V

L課堂互動探究

題型一用一、二次函數(shù)模型解決實際問題

【典例1】某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷

售單價x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系：

銷售單價片(元)30404550

日銷售量y(件)6030150

(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x,y)對應(yīng)的點，并確定x與y的一

個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f{x)；

(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為尸元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出尸關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤.

［思路導(dǎo)引］(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點，選擇合適的模型，從而用待定系數(shù)法求

解；(2)日銷售利潤尸=每件利潤X銷量.

［解］(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出各點，如圖.

這些點近似地分布在一條直線上，猜想y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系,

設(shè)/1(x)=Ax+/?(AWO,且A,6為常數(shù)),

[60=304+6,

則

[30=40/+6,

4=-3,

解得，

6=150.

；"(")=-3犬+150,經(jīng)檢驗，點(45,15),點(50,0)也在此直線上.

與x之間的函數(shù)解析式為y=-3x+150(30WxW50).

(2)由題意，得尸=(*-30)(—3x+150)=-3*+240*-4500=—3(*—40)2+

300(30^x^50).

.?.當(dāng)x=40時，夕有最大值300.故銷售單價為40元時，日銷售利潤最大.

名師提醒A

在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解析式后，

可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際

問題中的利潤最大、用料最省等問題.

［針對訓(xùn)練］

1.有1米長的鋼材，要做成如右圖所示的窗框：上半部分為半圓，下半部分為四個全等

的小矩形組成的矩形，則小矩形的長與寬之比為多少時，窗戶所通過的光線最多？并求出窗

戶面積的最大值.

［解］設(shè)小矩形的長為x,寬為y,窗戶的面積為S,

則由圖可得9x+nx+6y=/,所以6y=/—(9+n)x,

所以S=~^-x+4xy=-^-x(9+n)x］=

36+葉2,2,36+"27Y,2/

6-x+『，=6\A，-36+n)+3(36+it)-

要使窗戶所通過的光線最多，只需窗戶的面積S最大.

由6y>0,得

y?Ji

271

因為°<36+n<9+n'

所以當(dāng)7-(9+n)^7(18-n)

切4Tx36+n，y6伙36+n)'

x12272

即-時，窗戶的面積S有最大值，且品=Q而,口、.

題型二用哥函數(shù)模型解決實際問題

【典例2】在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量A與管

道半徑r的四次方成正比.

(1)寫出函數(shù)解析式；

(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm7s,求該氣體通過半徑為rcm

的管道時，其流量斤的表達(dá)式：

(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm,計算該氣體的流量(精度為1cm7s).

［解］(1)由題意得萬=履'(4是大于0的常數(shù)).

(2)由r=3cm,4400cm3/s,得A?34=400,

..100

一81，

...流量"的表達(dá)式為Q鑼?/.

O1

(3)：仁察?r’，.?.當(dāng)r=5

cm時,51^3086(cm3/s).

o1

|名師提醒A

利用幕函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟

(1)設(shè)出函數(shù)關(guān)系式.

(2)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式.

(3)根據(jù)題意，利用得出的函數(shù)關(guān)系式解決問題.

［針對訓(xùn)練］

2.某家庭進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與

投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1

萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.

(D分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大

收益，最大收益是多少萬元？

［解］(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)=&x(x20),g(x)

結(jié)合已知得/'(1)=j=Al,g⑴=\=〃2,

所以f(x)=：x(x，O),g(x)=太「(420).

oZ

(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬元，則投資風(fēng)險型產(chǎn)品(20—x)萬元，依題意得獲得收益為y

=f(x)+g(20—x)=孑+^\/20—x(0WxW20),令￡=#20—x(0WtW2#),貝ijx=20—

9八J+1

所以y=T—+5=-d1-2)旺3,所以當(dāng)t=2,即x=16時，y取得最大值，％產(chǎn)3.

oZo

故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元，風(fēng)險型產(chǎn)品4萬元時，可使投資獲得最大收益，最大收

益是3萬元.

題型三用分段函數(shù)模型解決實際問題

【典例3］提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，

大橋上的車流速度”單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流

密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，

車流速度為60千米/時.研究表明：當(dāng)20WxW200時，車流速度/是車流密度x的一次函

數(shù).

(1)當(dāng)0WxW200時，求函數(shù)Mx)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛

/時)f(x)=x?Mx)可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/時)

［思路導(dǎo)引］用待定系數(shù)法確定Mx)的表達(dá)式，再確定Hx).

［解］(1)由題意：當(dāng)0WxW20時，r(x)=60；當(dāng)20W;r<200時，設(shè)r(x)=ax+6,

h=」，

200a+Z?=0,3'

再由已知得仁一_解得〈

20a+b=60,200

［b=~

故函數(shù)Mx)的表達(dá)式為

'60,0<xW20,

P(X)=<1

T(200-%),20WXW200.

o

(2)依題意并由(1)可得

60x,0Wx<20,

F(x)=<1

-X200-%),20WxW200.

當(dāng)0Wx<20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60X20=1200；

當(dāng)20WxW200時，/'(x)=；x(200—x)

12,200-

=—+-^-x=-~(A--200%)

=—；(x—100”10000

o3

所以當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間［20,200］上取得最大值”臀.

綜上，當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間［0,200］上取得最大值”詈和3333,

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時.

|名師提醒A

構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點

建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一區(qū)

間進(jìn)行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式.

［針對訓(xùn)練］

3.某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根

據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提

高1元，租不出去的自行車就增加3輛.旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且

不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入(即

一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費后的所得).

(1)求函數(shù)y=Mx)的解析式.

(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？

［解］(1)當(dāng)后6時，y=50x-115,令50x—115>0,解得x>2.3.

又因為xGN,x23,所以3WxW6,且xGN.

當(dāng)6cxW20,且*GN時，尸［50-3(x-6)］x—115

=-3/+68%-115,

50x-115,3Wx<6,xCN,

綜上可知y=F(x)=

-37+68%-115,6〈xW20,x￡N.

(2)當(dāng)3Wx<6,且x￡N時，因為了=50才一115是增函數(shù),

所以當(dāng)x=6時，加=185元.

當(dāng)6cxW20,且x《N時，y=-3/+68x-115

811

=—3x--

所以當(dāng)x=11時，％ax=270元.

綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元.

課堂歸納小結(jié)

解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，這是解應(yīng)

用問題的難點所在：

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化

為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

?隨堂鞏固驗收

1.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為：電動自行車0.3元/

輛，普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與

x的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=0.2x(0WxW4000)

B.y=0.5x(0^2-^4000)

C.y=-0.lx+1200(0W/W4000)

D.y=0.lx+12004000)

［解析］由題意得y=0.3(4000-x)+0.2x=-0.lx+1200.(0WxW4000)

［答案］C

2.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，

由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是()

A.310元B.300元

C.390元D.280元

［解析］由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800),(2,1300),可求得解析式y(tǒng)=500x+

300(x20),當(dāng)x=0時，y=300.

［答案］B

①這幾年生活水平逐年得到提高；

②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；

③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；

④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較

大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

［解析］由題意知，“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故

①正確；“生活費收入指數(shù)”在2014?2015年最陡；故②正確；“生活價格指數(shù)”在2015?

2016年最平緩，故③不正確；”生活價格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上升

趨勢，故④正確.

［答案］C

4.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，

價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)

行促銷:一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，

李明會得到支付款的80%.

(1)當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x

的最大值為.

［解析］(l)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)—10=130

元.

(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元,當(dāng)X120元時，李明得到的金額為yX80%,

符合要求；當(dāng)y》120元時，有(y—x)X80%>yX70%恒成立，即8(y—x)27y,xW，，

因為所以*的最大值為15.

［答案］⑴130⑵15

5.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中/￡=4米,5=6米.為

了合理利用這塊鋼板，將在五邊形應(yīng)內(nèi)截取一個矩形塊8忱隊使點夕在邊施上.

(1)設(shè),即=*米，RV-y米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域;

(2)求矩形/附/面積的最大值.

［解］⑴如圖所示，延長AP交〃1于點0,

所以尸0=8—y,EQ=x—4.

在△的'中，所以二^=的

?1pQF6以8—y2-

所以尸一gx+10,定義域為［4,8］.

(2)設(shè)矩形夕陽M的面積為S,

則S=xy={10-=-J(X—10)+50.

又xG［4,8］,

所以當(dāng)x=8時，S取最大值48.

課后作業(yè)（二十四）

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1.某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購，也可以自己生產(chǎn).如果外購，每個配件的價格

是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個配件的材料和

勞力需0.60元，則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點（即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算）是（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

［解析］設(shè)生產(chǎn)*件時自產(chǎn)合算，由題意得1.lx2800+0.6x,解得x>1600,故選D.

［答案］D

2.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件

時的生產(chǎn)成本（單位：萬元）為，5）=；/+2.+20.已知1萬件售價是20萬元，為獲取更大

利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為（）

A.36萬件B.22萬件

C.18萬件D.9萬件

［解析］:利潤=20x-C（x）=一;（x-⑻?+142,...當(dāng)%=18時,￡（x）取最大值.

［答案］C

3.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y=

4x,IWXWIO,x《N,

2%+10,10<X100,xdN,其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)

1.5x,100,xGN,

為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40

C.25D.130

［解析］若4x=60,則x=15〉10,不合題意：若2x+10=60,則x=25,滿足題意；

若1.5x=60,則x=40〈100,不合題意.故擬錄用25人.

［答案］C

4.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L=5.06x—0.15/

和乙=2筋其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最

大利潤為（）

A.45.606萬元B.45.6萬元

C.45.56萬元D.45.51萬元

［解析］依題意，可設(shè)甲地銷售X輛，則乙地銷售(15—力輛，故總利潤5=5.06X-

0151+2(15一力=-0154+3.06x+30(0WxW15),.?.對稱軸為直線x=10.2,又xGN*,

.?.當(dāng)x=10時，鼠=45.6.

［答案］B

5.根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為F(x)=

'c

—j=,x<A,

<(4,。為常數(shù)).

C

―，x^A

已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30min,組裝第力件產(chǎn)品用時15min,那么。和力的值

分別是()

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

［解析］由題意知，組裝第4件產(chǎn)品所需時間為喂=15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時間

為.=30,解得c=60.將c=60代入金=15,得4=16.

［答案］D

二、填空題

6.若等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為

［解析］由題意，得2x+y=20,；.y=20-2x.；y>0,.z。-2x>0,.又?.?三角

形兩邊之和大于第三邊，，］=20_2X解得x>5,故所求函數(shù)的解析式為y

=20-2X5<x<10).

［答案］7=20-2A-(5<X10)

7.某種型號的汽車緊急剎車后滑行的距離y(km)與剎車時的速度x(km/h)的關(guān)系可以用

尸af來描述，已知這種型號的汽車在速度為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為6km.

若一輛這種型號的汽車緊急剎車后滑行的距離為36km,則這輛車的行駛速度為

km/h.

［解析］由題意得aX602=6,解得。=缶，所以了=缶*2.因為y=38,所以磊/

360036003600

=36,解得*=-6附(舍去)或x=60^，所以這輛車的行駛速度是km/h.

［答案］6(h/3

8.某商店每月按出廠價每瓶3元購進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為

每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在

每月的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為元/瓶.

［解析］設(shè)銷售價每瓶定為x元，利潤為y元，則尸5—3)。00+號乂40)=80(%

-3)(9—*)=—80(x—6)2+720(x23),所以x=6時，y取得最大值.

［答案］6

三、解答題

9.某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：

t+20,0<t<25,

P='（女）

-t+100,25WfW30.

設(shè)該商品的日銷售量仇件)與時間M天)的函數(shù)關(guān)系為0=4O—t(O<tW3O,tGN"),求

這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？

［解］設(shè)日銷售金額為爪元)，則尸內(nèi)，

f-t2+20r+800,0<t<25,

所以尸2,I1(tGN*)

［t2-1401+4000,25WtW30.

①當(dāng)0CK25且5GM時,y=-(t-10)2+900,

所以當(dāng)￡=10時，y11m=900(元).

②當(dāng)25WCW30且reNW.y=(10)-900,

所以當(dāng)f=25時，加x=1125(元).

結(jié)合①②得Jmax—1125(元).

因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日銷售金額達(dá)到最大.

10.醫(yī)院通過撒某種藥物對病房進(jìn)行消毒.已知開始撒放這種藥物時，濃度激增，中間

有一段時間，藥物的濃度保持在一個理想狀態(tài)，隨后藥物濃度開始下降.若撒放藥物后3

小時內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示，其中x表示時間(單位：小時)，/Xx)表示藥物的濃

度：

—/+4x+40(0<x<l),

/'(*)=<43(l<xW2),

,-3X+48(2<A<3).

(1)撒放藥物多少小時后，藥物的濃度最高？能維持多長時間？

(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時，那么在撒放藥物后，能否達(dá)到消毒要

求？并簡要說明理由.

［解］(1)當(dāng)0<x〈l時，f(x)=-f+4x+40=-(x-2)2+44,，f(x)在(0,1］上是增

函數(shù)，其最大值為/'(1)=43；

f(x)在(2,3］上單調(diào)遞減,故當(dāng)2〈x<3時，

/,(%)<-3X2+48=42.

因此，撒放藥物1小時后，藥物的濃度最高為43,并維持1小時.

(2)當(dāng)OCxWl時，令f(x)=41.75,即一(*一2尸+44=41.75,解得x=3.5(舍去)或.

=0.5；

當(dāng)2<xW3時，令/'(x)=41,75,即一3x+48=41.75,解得產(chǎn)?2.08.

因此藥物濃度在41.75以上的時間為2.08-0.5=1.58小時，

，撒放藥物后，能夠達(dá)到消毒要求.

綜合運用

11.擬定從甲地到乙地通話wmin的電話費/'(〃)=1.06?(0.50［加+1),其中皿>0,［加

是大于或等于卬的最小整數(shù)(如［3］=3,［3.7］=4,［5.2］=6),則從甲地到乙地通話時間為

5.5min的通話費為()

A.3.71B.3.97

C.4.24D.4.77

［解析］5.5min的通話費為f(5.5)=1.為X(0.50X［5.5］+1)=1.06X(0.