《不同增長函數的差異》教學設計、導學案、同步練習

第四章指數函數與對數函數

《4.4.3不同增長函數的差異》教學設計

【教材分析】

本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修1第四章

第4.4.3節(jié)《不同增長函數的差異》是在學習了指數函數、對數函數和幕函數之

后的對函數學習的一次梳理和總結。本節(jié)提出函數增長快慢的問題，通過函數圖

像及三個函數的性質，完成函數增長快慢的認識。既是對三種函數學習的總結，

也為后續(xù)導數的學習做了鋪墊。培養(yǎng)和發(fā)展學生數學直觀、數學抽象、邏輯推理

和數學建模的核心素養(yǎng)。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

1.了解指數函數、對數函數、基函數（一a.數學抽象：函數增長快慢的認識；

次函數）的增長差異.b.邏輯推理：由特殊到一般的推理；

2、經過探究對函數的圖像觀察，理解C.數學運算：運用指數和對數運算分析問

對數增長、直線上升、指數爆炸。培養(yǎng)題；

學生觀察問題、分析問題和歸納問題的d.直觀想象：指數、對數函數的圖像；

思維能力以及數學交流能力；e.數學建模：運用函數增長差異解決實際

3、在認識函數增長差異的過程中，使問題；

學生學會認識事物的特殊性與一般性

之間的關系，培養(yǎng)數學應用的意識，探

索數學。

【教學重難點】

教學重點：函數增長快慢比較的常用方法;

教學難點：了解影響函數增長快慢的因素;

【教學過程】

教學過程設計意圖

（一）、溫故知新溫故知

三種函數模型的性質新，通過對上

y=節(jié)指數、對數

y=H(a>l)y=x(/7>0)

log^(a>l)和幕函數問題

在(0，的回顧，提出

+0°)新的問題，提

增函數增函數增函數

上的增出研究函數增

減性長差異的問題

圖象的隨X增大逐漸隨X增大逐及研究方法。

變化趨近似與y軸；漸近似與X隨〃值而不同培養(yǎng)和發(fā)展邏

勢平行軸工平行輯推理和數學

①y=H(a>l)：隨著x的增大，y增長速度越來抽象的核心素

增長速越快，會遠遠大于y=x"(〃>0)的增長速度，y=養(yǎng)。

度log?x(a>l)的增長速度越來越慢

②存在一個荀，當x>xo時，有a”〉x">logax

(-)問題探究

我們看到，一次函數與指數函數的增長方式存在很大差

異.事實上，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規(guī)

律的反映.因此，如果把握了不同函數增長方式的差異，那么

就可以根據現實問題的增長情況，選擇合適的函數模型刻畫其

變化規(guī)律.下面就來研究一次函數、指數函數和對數函數增長

方式的差異.

提出問題

雖然它們都是增函數，但增長方式存在很大差異，這種差

異正是不同類型現實問題具有不同增長規(guī)律的反映.

我們仍然采用由特殊到一般，由具體到抽象的研究方法.

下面就來研究一次函數/<(x)=M6,30,指數函數

g(x)=a'(a>l),對數函數在定義域內增長方式的差異.

問題探究

以函數尸2*與尸2x為例研究指數函數、一次函數增長方式

的差異.

分析：(1)在區(qū)間(-8,0)上，指數函數產2'值恒大于0,-

次函數尸2x值恒小于0,所以我們重點研究在區(qū)間(0,+8)上它

們的增長差異.

(2)借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如

下：

X產2'y=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

?????????

(3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：

結論1：函數產2'與尸2x有兩個交點(1,2)和(2,4)

結論2：在區(qū)間(0,1)上，函數尸2'的圖象位于產2x之上

結論3：在區(qū)間(1,2)上，函數尸2'的圖象位于尸2x之下

結論4：在區(qū)間⑵3)上，函數產2'的圖象位于產2x之上

綜上：雖然函數尸2'與產2x都是增函數，但是它們的增長

速度不同，函數產2x的增長速度不變，但是產2”的增長速度改

變，先慢后快.

通過畫出

特殊的指數函

數和嘉函數的

圖形，觀察歸

納出兩類函數

請大家想象一下，取更大的X值，在更大的范圍內兩個函增長的差異和

數圖象的關系？特點，發(fā)展學

生邏輯推理，

數學抽象、數

思考：隨著自變量取值越來越大，函數尸2'的圖象幾乎與X學運算等核心

軸垂直，函數值快速增長，函數產2x的增長速度保持不變，和素養(yǎng)；

尸2*的增長相比幾乎微不足道.

歸納總結

總結一：函數尸2x與產2*在［0,+8)上增長快慢的不同如

下：

雖然函數尸2刀與尸2'在［0,+8)上都是單調遞增，但它們

的增長速度不同.

隨著x的增大，尸2*的增長速度越來越快，會超過并遠遠大

于尸2x的增長速度.通過對對

盡管在x的一定范圍內，2'<2x,但由于產才的增長最終會數函數的圖像

快于尸2x的增長，因止匕總會存在一個吊，當x>芯時，恒有2〉2工與塞函數圖像

總結二：一般地指數函數產a*(a>l)與一次函數尸kx(k>0的觀察分析歸

的增長都與上述類似.納總結出兩類

即使A值遠遠大于a值，指數函數尸a*(a>l)雖然有一段區(qū)函增長性的差

間會小于尸Ax(A>0),但總會存在一個x0,當x>為時，尸a'(a>l)異和特點，發(fā)

的增長速度會大大超過產4x(冷0)的增長速度.展學生數學運

算、邏輯推理

跟蹤訓練的核心素養(yǎng)；

1.四個變量”，乃，%,必隨變量x變化的數據如表:

X151015202530

226101226401626901

37761.053.361.07X

%2321024

8X106X107109

732102030405060

4.325.325.90

必26.3226.6446.907

227

關于x呈指數函數變化的變量是.

答案:y2

[以爆炸式增長的變量呈指數函數變化.從表格中可以看

通過畫出

出，四個變量y”y2,y”力均是從2開始變化，且都是越來越

特殊的指數函

大，但是增長速度不同，其中變量yz的增長速度最快，畫出它

數和鼎函數的

們的圖象(圖略),可知變量yz關x呈指數型函數變化.故填y2.]

圖形，觀察歸

分析：(1)在區(qū)間(-8,0)上，對數函數y=lgx沒意義，一

納出兩類函數

次函數值恒小于0,

增長的差異和

所以研究在區(qū)間(0,+8)上它們的增長差異.

特點，發(fā)展學

(2)借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如

生邏輯推理，

下:

數學抽象、數

XJ=lgx

學運算等核心

0不存在0素養(yǎng)；

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

?????????

1

以函數尸Igx與"6X為例研究對數函數、一次函數增長方

式的差異.

(3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：

總結一：雖然函數尸Igx與尸白”在(0,+8)上都是單調遞

增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+8)上增長速度不

變，片Igx在(0,+8)上的增長速度在變化.

隨著X的增大*的圖象離X軸越來越遠，而函數尸Igx的

圖象越來越平緩，就像與X軸平行一樣

三、當堂達標通過練習

1.下列函數中隨X的增大而增大且速度最快的是()鞏固本節(jié)所學

xx

A.y=eB.y=lnAC.y=xY).y=e~知識，鞏固對

【答案】A[結合指數函數，對數函數及一次函數的圖象函數增長差異

變化趨勢可知A正確.]性的認識，增

2.能使不等式1。82矛〈*<2”一定成立的工的取值區(qū)間是強學生的直觀

()想象、數學抽

A.(0,+8)B.(2,+8)象、數學運算、

C.(一8,2)D.(4,+8)邏輯推理的核

【答案】D[當x>4時，logB<2，，故選D.]心素養(yǎng)。

3.某工廠8年來某種產品總產量C與時間乂年)的函數關

系如圖所示.

of-

以下四種說法：

①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的

速度越來越慢；③第三年后這種產品停止生產；④第三年后產

量保持不變.

其中說法正確的序號是_______.

【答案】②④[結合圖象可知②④正確，故填②④.]

4.某人投資X元，獲利y元，有以下三種方案.甲：y=

0.2x,乙:y=log2jr+100,丙：y=l.005',則投資500元，1000

元，1500元時，應分別選擇_______方案.

【答案】乙、甲、丙[將投資數分別代入甲、乙、丙的函

數關系式中比較y值的大小即可求出.]

四、小結學生根據

1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數課堂學習，自

f{x)-kx^-b,k>0,指數函數g(x)=a*(a>l)，對數函數主總結知識要

產log“在定義域上的不同增長方式.點，及運用的

思想方法。注

2.根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和基函數時，

意總結自己在

通常是觀察函數圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象

學習中的易錯

最“陡”的函數是指數函數；圖象趨于平緩的函數是對數函數.

五、作業(yè)/盧、、、，?

1.課時練2.預習下節(jié)課內容

《4.4.3不同增長函數的差異》導學案

【學習目標】

1.了解指數函數、對數函數、線性函數（一次函數）的增長差異.

2.理解對數增長、直線上升、指數爆炸。

【重點難點】

重點：函數增長快慢比較的常用方法；

難點：了解影響函數增長快慢的因素；

【知識梳理】

三種函數模型的性質

y=a\a>l)y=log^(a>l)y=爐(心0)

在（0,+oo）

增函數增函數增函數

上的增減性

圖象的變化隨X增大逐漸近似與隨X增大逐漸近似

隨n值而不同

趨勢V軸----平行與X—軸平行

①y=優(yōu)5>1）：隨著x的增大，y增長速度包&來越快,會遠遠大

增長速度于y=L（〃>。）的增長速度，y=logd（。>1）的1曾長速度越來越慢

②存在一個X0,當x>xo時,有0rx---”>lo

增函數;增函數;增函數;y軸;龍軸;越來越快;越來越慢;">H>log?x

【學習過程】

【課堂小結】

我們看到，一次函數與指數函數的增長方式存在很大差異.事實上，這種差

異正是不同類型現實問題具有不同增長規(guī)律的反映.因此，如果把握了不同函數

增長方式的差異，那么就可以根據現實問題的增長情況，選擇合適的函數模型刻

畫其變化規(guī)律.下面就來研究一次函數、指數函數和對數函數增長方式的差異.

提出問題

雖然它們都是增函數，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類

型現實問題具有不同增長規(guī)律的反映.

我們仍然采用由特殊到一般，由具體到抽象的研究方法.

X

下面就來研究一次函數_/U)=Ax+A,A>0，指數函數g(x)=a3>1)，對數函

數在定義域內增長方式的差異.

問題探究

以函數產2、與產2x為例研究指數函數、一次函數增長方式的差異.

X

分析：(1)在區(qū)間(-8,0)上，指數函數產2值恒大于0,一次函數y=2x值恒

小于0,所以我們重點研究在區(qū)間(0,+8)上它們的增長差異.

(2)借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如下：

X廣2"y=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

?????????

(3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：

結論1：函數y=2*與y=2x有兩個交點(1,2)和(2,4)

結論2：在區(qū)間(0,1)上，函數y=2的圖象位于y=2x之上

結論3：在區(qū)間(1,2)上，函數y=2的圖象位于y=2x之下

結論4：在區(qū)間(2,3)上，函數y=2的圖象位于y=2x之上

X

綜上：雖然函數產2與產2x都是增函數，但是它們的增長速度不同，函數

y=2x的增長速度不變，但是y=2’的增長速度改變，先慢后快.

請大家想象一下，取更大的X值，在更大的范圍內兩個函數圖象的關系？

思考：隨著自變量取值越來越大，函數尸2”的圖象幾乎與x軸垂直，函數

值快速增長，函數y=2x的增長速度保持不變，和y=2”的增長相比幾乎微不足道.

歸納總結

總結一：函數y=2x與y=2在［0,+8)上增長快慢的不同如下:

X

雖然函數y=2x與產2在［0,+◎上都是單調遞增，但它們的增長速度不同.

X

隨著x的增大，y=2的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增

長速度.

XX

盡管在x的一定范圍內，2<2x,但由于y=2的增長最終會快于y=2x的增

長，因此，總會存在一個x,當時，恒有2>2上

00

x

總結二：一般地指數函數y=a(。>1)與一次函數產Ax(A>0)的增長都與上述類

似.

即使上值遠遠大于Q值，指數函數y=a(4>1)雖然有一段區(qū)間會小于產Ax(A>0),

但總會存在一個當x>xfl時，y=a(a>l)的增長速度會大大超過y=Ax(A>0)的

增長速度.

跟蹤訓練

1.四個變量yi，竺，券，出隨變量無變化的數據如表:

X151015202530

V226101226401626901

），22321024377681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

*24.3225.3225.9076.3226.6446.907

關于x呈指數函數變化的變量是.

答案：y2

［以爆炸式增長的變量呈指數函數變化.從表格中可以看出，四個變量yi,

y2,y3,y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量

y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關于x呈指數型函數變

化.故填y2.］

分析：(1)在區(qū)間(-8,0)上，對數函數y=lgx沒意義，一次函數值恒小于0,

所以研究在區(qū)間(0,+8)上它們的增長差異

⑵借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如下:

X產Igx

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

?????????

以函數y=lgx與、，一1*為例研究對數函數、一次函數增長方式的差異.

V-X

1()

(3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：

總結一：雖然函數y=lgx與尸白*在(0,+8)上都是單調遞增，但它們的增長

速度存在明顯差異.在(0,+8)上增長速度不變，y=lgx在(0,+8)上的增長速度在變

1

化y=-x

心10

隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠，而函數y=lgx的圖象越來越

平緩，就像與x軸平行一樣.

例如：lgl0=l,lgl00=2,lgl000=3,Igl0000=4；

—X10=1,—X1OO=1O,—X1000=100,—X10000=1000,

10101010

這表明，當x>10,即y>l,月gx比k而“相比增長得就很慢了.

思考：將y=lgx放大1000倍，將函數y=10001gx與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先

想象一下，仍然有.

總結二：一般地，雖然對數函數與一次函數產履優(yōu)>0)在(0,上都是單調遞

增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數廣匕優(yōu)>0)保持固定的增長速

度，而對數函數J=bg〃x(a>l)的增長速度越來越慢.不論a值比比值大多少，

在一定范圍內，可能會大于匕，但由于的增長會慢于Ax的增長，因此

總存在一個二當go時，恒有.

跟蹤訓練

1.函數人x)=lgx,g(x)=o.3x—l的圖象如圖所示.

(1)試根據函數的增長差異指出曲線G,C2分別對應的函數；

⑵比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對兀r),g(x)的

大小進行比較).

［解］(1)。1對應的函數為8。)=0.3%—1,C2對應的函數為穴幻=愴工

⑵當尤<X1時，g(x)次X);當尤1a<X2時，7(x)>g(x)；

當X>X2時，g(X)次X)；當X=X1或X=X2時，./U)=g(X).

【達標檢測】

1.下列函數中隨X的增大而增大且速度最快的是()

A.y=e'B.y=lnxc.y=^D.y=e

【答案】A［結合指數函數，對數函數及一次函數的圖象變化趨勢可知A正

2.能使不等式10g2X<f<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()

A.(0,+oo)B.(2,+oo)C.(-00,2)D.(4,+oo)

【答案】D［當x>4時，logMVc2。',故選D.］

3.某工廠8年來某種產品總產量C與時間/(年)的函數關系如圖所示.

8t（年）

以下四種說法：

①前三年產量增長的速度越來越快；②前三年產量增長的速度越來越慢；③

第三年后這種產品停止生產；④第三年后產量保持不變.

其中說法正確的序號是.

【答案】②④［結合圖象可知②④正確，故填②④.］

4.某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案.甲：y=0.2x,乙：y=logu

+100,丙：y=1.005*則投資500元，1000元，1500元時，應分別選擇

方案.

【答案】乙、甲、丙［將投資數分別代入甲、乙、丙的函數關系式中比較y

值的大小即可求出.］

【課堂小結】

1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數/m)=h+4無>0,指數

函數g(x)=j(a>D，對數函數y=log“x(a>l)在定義域上的不同增長方式.

2.根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和基函數時，通常是觀察函數

圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數是指數函數；圖象趨

于平緩的函數是對數函數.

《4.4.3不同函數增長的差異》同步練習一

基礎鞏固

1.如果某工廠12月份的產量是1月份產量的7倍,那么該工廠這一年中的月平均

增長率是（）

*B.VC.與TD.^-1

2.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經

過y年，則函數y=f（x）的圖象大致是（）

3.現有一組實驗數據如下:

t1.993.004.005.106.12

V1.54.047.51218.01

現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規(guī)律，其中最接近的一個

是（）

A.V=log2tB.V=logit

2

C.V山D.V=2t-2

2

4.在固定電壓差（電壓為常數）的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強

度I（單位:安）與電線半徑r（單位:毫米）的三次方成正比.若已知電流通過半徑

為4毫米的電線時，電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流

強度為（）

A.60安B.240安C.75安D.135安

5.若a>l,n>0,則當x足夠大時,a",x",logax的大小關系是.

6.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次（由1個分裂成2個），這種細菌由

1個分裂成4096個需經過小時.

7.畫出函數f(x)=A&與函數g(x)=；x2-2的圖象,并比較兩者在［0,+8)上的大小

4

關系.

8.某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每支0.5元,該店推出兩種

優(yōu)惠辦法：

(1)買一本軟皮本贈送一支鉛筆；

(2)按總價的92%付款.

現要買軟皮本4本,鉛筆若干支(不少于4支)，若購買x支鉛筆，付款為y元,試分

別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數關系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合

算？

能力提升

9.若x￡(0,1),則下列結論正確的是()

11

A.2x>xz>lgxB.2x>lgx>x2

ii

C.xz>2x>lgxD.1gX>X2>2X

10.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質的剩留量y與凈化

時間t(單位:月)的近似函數關系:y=a'(t20,a>0,且aW1).有以下敘述：

①第4個月時,剩留量會低于也②每月減少的有害物質量都相等;③若剩留量為

所經過的時間分別是t?tt則t1+tkt3.

2482,3,

其中所有正確的敘述是.

1L每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式、各種規(guī)模

的義務植樹活動.某市現有樹木面積10萬平方米,計劃今后5年內擴大樹木面積,

有兩種方案如下：

方案一:每年植樹1萬平方米；

方案二:每年樹木面積比上年增加9%.

你覺得哪個方案較好?

素養(yǎng)達成

12.畫出函數f(x)=正與函數g(x)=7X2~2的圖象，并比較兩者在［0,+8)上的大

4

小關系.

4.4.3不同函數增長的差異答案解析

基礎鞏固

1.如果某工廠12月份的產量是1月份產量的7倍，那么該工廠這一年中的月平均

增長率是()

A.—B.—C.XV7-1D.'W-l

1112

【答案】D

【解析】設月平均增長率為x,l月份的產量為a,則有a(l+x)"=7a,則l+x=】V7,

故x=1V7-l.

2.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經

過y年,則函數y=f(x)的圖象大致是()

【答案】D

【解析】設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)1即

y=logi.i<MX(x^l),所以y=f(x)的圖象大致為D中圖象.

3.現有一組實驗數據如下：

t1.993.004.005.106.12

V1.54.047.51218.01

現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規(guī)律，其中最接近的一個

是()

A.V=log2tB.V=logitC.V=^D.V=2t-2

22

【答案】c

【解析】當t=4時,選項A中的V=log24=2,

選項B中的V=logi4=-2,

2

選項C中的v=?=7.5,

選項D中的V=2X4-2=6,故選C.

4.在固定電壓差(電壓為常數)的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強

度1(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑

為4毫米的電線時，電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流

強度為()

A.60安B.240安C.75安D.135安

【答案】D

【解析】設比例系數為k,則電流強度I=kr\由已知可得當r=4時，1=320,故有

320=4%,解得k=—=5,所以1=5?,則當r=3時，I=5X3，=135(安).

64

5.若a>l,n>0,則當x足夠大時,as,x",log?x的大小關系是.

【答案】log?x<xn<ax

【解析】由三種函數的增長特點可知，當x足夠大時，總有l(wèi)ogax<x"<a.

6.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂1次(由1個分裂成2個)，這種細菌由

1個分裂成4096個需經過小時.

【答案】3

【解析】設1個細菌分裂x次后有y個細菌，則y=2s.

令2=4096=212,則x=12,即需分裂12次，需12X15=180(分鐘)，即3小時.

7.畫出函數f(x)=Vji與函數g(x)=-X2-2的圖象，并比較兩者在［0,+8)上的大小

4

關系.

【答案】函數f(x)與g(函的圖象如右.根據圖象可得:當0Wx<4時,f(x)>g(x);

當x=4時,f(x)=g(x);當x>4時,f(x)<g(x).

【解析】

函數f(x)與g(x)的圖象如右.根據圖象可得：當0Wx<4[/?即驍-2

時,f(x)>g(x);

當x=4時,f(x)=g(x);當x>4時,f(x)<g(x).op/4*

8.某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每支0.5元,該店推出兩種

優(yōu)惠辦法：

(1)買一本軟皮本贈送一支鉛筆；

(2)按總價的92%付款.

現要買軟皮本4本,鉛筆若干支(不少于4支)，若購買x支鉛筆,付款為y元,試分

別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數關系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合

算？

【答案】見解析

【解析】由優(yōu)惠辦法⑴得到y與x的函數關系式為y=2X4+0.5(x-4)=0.5x+6(x

“且xdN).

由優(yōu)惠辦法(2)得到y與x的函數關系式為y=(0.5x+2X4)X92%=0.46x+7.36(x

24,且x￡N).

令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且當4Wx<34時，0.5x+6<0.46x+7.36,當x>34

時,0.5x+6>0.46x+7.36.即當購買鉛筆少于34支(不少于4支)時,用優(yōu)惠辦法(1)

合算；當購買鉛筆多于34支時,用優(yōu)惠辦法(2)合算；當購買鉛筆34支時,兩種優(yōu)

惠辦法支付的總錢數是相同的，即一樣合算.

能力提升

9.若xC(0,1),則下列結論正確的是()

11

A.2x>X2>lgxB.2x>lgx>X2

C.xz>2x>lgxD.1gx>xz>2x

【答案】A

i

【解析】在同一平面直角坐標系中分別作出函數y=2x,y=x5,y=lgx的圖象,

1

如圖所示.由圖可知，當XG(O,1)時,2'〉x5>lgx.

10.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質的剩留量y與凈化

時間t（單位:月）的近似函數關系:y=al（t20,a>0,且a#1）.有以下敘述:

①第4個月時，剩留量會低于巳;②每月減少的有害物質量都相等;③若剩留量為

=所經過的時間分別是tbt2,t3,則t1+t2=t3.

248

其中所有正確的敘述是.

【答案】①③

【解析】由圖象可得,當t=2時,y5即a胃

解得a=|.故y=（§.

所以當t=4時,有害物質的剩余量為y=（|）4=^<1，所以①正確；

第一個月的減少量為1-g）1=|；

第二個月的減少量為|-停）=9,顯然兩者不同，所以②錯誤；

3\3/9

③由已知（I）：1,$=%（產”斤以（|廣+卜=（|廣x（ir

即（|廣+t2=（|廣，所以ti+t2=t；j）故③正確.

11.每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式、各種規(guī)模

的義務植樹活動.某市現有樹木面積10萬平方米,計劃今后5年內擴大樹木面積,

有兩種方案如下：

方案一:每年植樹1萬平方米；

方案二:每年樹木面積比上年增加9%.

你覺得哪個方案較好？

【答案】見解析

【解析】（方案一）5年后樹木面積是10+1X5=15（萬平方米）.

（方案二）5年后樹木面積是10（1+9%）5-15.386（萬平方米后5.386〉15,.,.方案

二較好.

素養(yǎng)達成

12.畫出函數f(x)=點與函數g(x)=￥-2的圖象，并比較兩者在［0,+8)上的大

小關系.

【答案】見解析

【解析】函數f(x)與g(x)的圖象如下.

根據圖象易得：當0Wx<4時,f(x)>g(x);

當x=4時,f(x)=g(x);當x>4時,f(x)<g(x).

《4.4.3不同增長函數的差異》同步練習二

一、選擇題

1.有一組實驗數據如下表所示：

X12345

y1.55.913.424.137

下列所給函數模型較適合的是()

A.y=logajr(a>l)B.y=ax+b{a>\}

C.y=a/+Z>(a>0)D.y=logax+Z?(a>l)

2.若xe((),l),則下列結論正確的是()

A?2X>>\gxB.2X>\gx>

I1

C?>2r>1gxD.\gx>>2X

3.三個變量弘，％，為隨著變量x的變化情況如表：

X1357911

必5135625171536356655

必529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

則與“呈對數型函數、指數型函數、幕函數型函數變化的變量依次是()

A.%，%,必B.%wy3

C.%，％”D.%，“，y2

4.下面對函數f(x)=log]x,g(x)=—與力(x)=芯二在區(qū)間(0,十8)上的

衰減情況說法正確的是()

A.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，/?(x)衰減速度越來越慢

B.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，力(x)衰減速度越來越快

C.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，力(x)衰減速度越來越慢

D.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，力(x)衰減速度越來越快

5.四人賽跑,假設他們跑過的路程￡5)(其中/G{1,2,3,4})和時間x(x>l)的

函數關系分別是￡(x)=系，￡(x)=4x,E(x)=log2X,￡(x)=2",如果他們一直

跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關系是()

A.fx(yr)=/B.f2{x}=4AC.4(A)=log2AD.￡(x)=2"

6.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的y倍，

需經過x年，則函數>=/(力的圖象大致為

二、填空題

7.函數y=*與函數y=xlnx在區(qū)間(0,+8)上增長較快的一個是

8.在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯

示的圖象如圖所示.現給出下列說法:

小七)

f(min)

①前5min溫度增加的速度越來越快;②前5min溫度增加的速度越來越慢;③5min

以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變.

其中正確的說法是.（填序號）

9.據報道，青海湖水在最近50年內減少了10隊如果按此規(guī)律，設2013年的

湖水量為例從2013年起，過x年后湖水量y與x的函數關系是.

10.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的剩留量y與凈

化時間寅月）的近似函數關系：y=a,（t》0,a>0且aWl）的圖象.有以下敘述:

①第4個月時，剩留量就會低于，

②每月減少的有害物質量都相等；

③若剩留量為;，卜加，所經過的時間分別是。，…,則…氣

其中所有正確敘述的序號是.

三、解答題

11.函數/■（x）=L-，g（x）=lnx+l,力（x）=g的圖象如圖所示，試分別指出

各曲線對應的函數，并比較三個函數的增長差異（以1,a,b,c,d,e為分界點）.

12.每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式的植樹活

動，某市現有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內擴大樹木面積，現有兩種

方案如下：

方案一：每年植樹1萬平方米；

方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.

哪個方案較好？

4.4.3不同增長函數的差異答案解析

一、選擇題

1.有一組實驗數據如下表所示:

X12345

y1.55.913.424.137

下列所給函數模型較適合的是（）

A.y=loga%（a>l）B.y=ax+b（a>l）

C.y=+b{a>（S）D.log“x+8（a〉l）

【答案】C

【解析】通過所給數據可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而4〃中的函

數增長速度越來越慢，而8中的函數增長速度保持不變，故選C

2.若x€（0』），則下列結論正確的是（）

A-2、>R>lgxB-2'>lgx>/

II

C-->2*>lgxD-lgx>%2>2'

【答案】A

【解析】如圖所示，結合y=2，，y=）及y=lgx的圖象易知，當xe（O,l）時,

2，〉）>lgx，本題選擇A選項?

3.三個變量必，y2,乃隨著變量x的變化情況如表:

X1357911

%5135625171536356655

%529245218919685177149

%56.106.616.957.207.40

則與x呈對數型函數、指數型函數、基函數型函數變化的變量依次是()

A.%，%,%B.y2,%，先

C.必，如弘D.%，“，必

【答案】C

【解析】由指數函數、對數函數、基函數的增長速率比較，指數函數增長最快,

對數函數增長最慢，由題中表格可知，X是基函數，乂是指數函數，為是對數

函數，故選C。

4.下面對函數f(x)=log%,g(x)=[與力(x)=%程在區(qū)間(0,+8)上的

￡L,

衰減情況說法正確的是(

A.f(x)衰減速度越來越慢,g(x)衰減速度越來越快,h(公衰減速度越來越慢

B.f(x)衰減速度越來越快,g(x)衰減速度越來越慢,力(x)衰減速度越來越快

C.f(x)衰減速度越來越慢,g(x)衰減速度越來越慢,力(x)衰減速度越來越慢

D.f(x)衰減速度越來越快,g(x)衰減速度越來越快,力(x)衰減速度越來越快

【答案】c

【解析】畫出三個函數的圖像如下圖，由圖像可知選C.因為三個函數都是下凸

函數。選C.

【點睛】當圖像是一條直線的減函數時，是勻減速函數。當圖像為上凸的增函數

時減小速度是越來越快的。當圖像為下凸的減函數時(如本題)減小速度是越來

越慢的。

5.四人賽跑，假設他們跑過的路程￡(x)(其中fe{l,2,3,4})和時間x(x>l)的

函數關系分別是￡(*)=/,△(x)=4x,￡(x)=log2X,工(數=2",如果他們一直

跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關系是()

A.￡(x)=*B.￡(x)=4xC.(%)=log2^D.￡(x)=2*

【答案】D

【解析】由函數的增長趨勢可知，指數函數增長最快，所以最終最前面的具