重難點(diǎn)06 二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（解析版）

重難點(diǎn)06二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)是中考三大函數(shù)中內(nèi)容最多，考察難度最大的一個(gè)函數(shù)。而二次函數(shù)的圖象更是其龐大內(nèi)容的核心，初中數(shù)學(xué)中需要我們詳細(xì)的掌握拋物線的畫法、特征、性質(zhì)、與系數(shù)的關(guān)系、幾何變換等幾個(gè)方面的知識，進(jìn)而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。題型01二次函數(shù)圖象與性質(zhì)易錯(cuò)點(diǎn)01：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)：；其中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與一元二次方程解法中的公式法的表達(dá)式比較相似，需要重點(diǎn)加以區(qū)分；易錯(cuò)點(diǎn)02：拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時(shí)確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ?，必須在確定a的正負(fù)后，附加一定的自變量x取值范圍；解題大招：對于上的各個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，哪個(gè)點(diǎn)離對稱軸越近，哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)越??；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，圖象有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，哪個(gè)點(diǎn)離對稱軸越近，哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大；【中考真題練】1．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當(dāng)a＞0，k＜0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)a＜0，k＞0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．2．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點(diǎn)（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∴①正確；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則點(diǎn)（0，3）在拋物線上，∴②正確；當(dāng)a＞0時(shí)，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當(dāng)a＜0時(shí)，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯(cuò)誤；當(dāng)y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯(cuò)誤；故正確的有2個(gè)，故選：B．3．（2023?揚(yáng)州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．② D．③④【分析】由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵a＞0時(shí)，拋物線開口向上，∴對稱軸為直線x＝＝＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而增大，∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限．故選：B．4．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【分析】根據(jù)各函數(shù)解析式可得y隨x的增大而減小時(shí)x的取值范圍．【解答】解：選項(xiàng)A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。还蔄不符合題意；選項(xiàng)B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。还蔅不符合題意；選項(xiàng)C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項(xiàng)D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；故選：D．5．（2023?棗莊）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對于任意實(shí)數(shù)m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①根據(jù)函數(shù)圖象分別判斷a、b、c的正負(fù)，求出abc的正負(fù)；②將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，利用已知交點(diǎn)和對稱軸找出另一交點(diǎn)的范圍；③根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)圖象開口向上，離對稱軸越近的點(diǎn)y值越?。虎苡胊來表示改變函數(shù)解析式，根據(jù)圖象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因?yàn)閍＞0，所以得出11a+2c＞0；⑤化簡不等式，用a表示b，根據(jù)a＞0及不等式的性質(zhì)得到只含有m的不等式，解不等式即可．【解答】解：①根據(jù)圖象可知：a＞0，c＜0，∵對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a．∴b＜0，∴abc＞0．故①錯(cuò)誤．②方程ax2+bx+c＝0，即為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)圖象已知一個(gè)交點(diǎn)﹣1＜x1＜0，關(guān)于x＝1對稱，∴另一個(gè)交點(diǎn)2＜x2＜3．故②正確．③∵對稱軸是直線x＝1，∴點(diǎn)（，y2）離對稱軸更近，∴y1＞y2，故③錯(cuò)誤．④∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，根據(jù)圖象，令x＝﹣1，y＝a+2a+c＝3a+c＞0，∴6a+2c＞0，∵a＞0，∴11a+2c＞0，故④正確．⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，am2﹣2am≥﹣a，即證：m2﹣2m+1≥0，m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴m為任意實(shí)數(shù)，m2﹣2m+1≥0恒成立．故⑤正確．綜上②④⑤正確，故選：C．6．（2023?呼和浩特）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結(jié)論：①對于任意實(shí)數(shù)a，都有x1＝3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），點(diǎn)C（2，﹣13），則當(dāng)x1＞x2＞時(shí)，＜0．③若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時(shí)，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為x＝﹣，可得x＝3，再由＝3即可判斷結(jié)論①；②將點(diǎn)C（2，﹣13）代入拋物線解析式可求得m＝1，即y＝x2﹣6x﹣5，當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大．即可判斷結(jié)論②；③當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣5﹣9m，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝﹣5，根據(jù)若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，分兩種情況：若m＞0，則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，若m＜0，則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，解不等式即可判斷結(jié)論③；④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而減小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5﹣9m＝﹣14或n2﹣6n﹣5＝n2+1，解方程即可判斷結(jié)論④．【解答】解：①二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5的對稱軸為x＝﹣＝3，∵x1＝3+a和x2＝3﹣a關(guān)于直線x＝3對稱，∴對于任意實(shí)數(shù)a，都有x1＝3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對應(yīng)的函數(shù)值相等，∴①符合題意；②將點(diǎn)C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．∴函數(shù)的解析式為y＝x2﹣6x﹣5，當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大．∴當(dāng)x1＞x2＞時(shí)，y1＞y2，∴＞0．∴②不符合題意；③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣5﹣9m，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝﹣5，∵若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，∴若m＞0，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y隨著x的增大而增大，則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，∴≤m＜；若m＜0，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y隨著x的增大而減小，則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，∴﹣＜m≤﹣；∴﹣＜m≤﹣或≤m＜．∴③符合題意；④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而減小，∵﹣14≤y≤n2+1，∴﹣5﹣9m＝﹣14，解得：m＝1，∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，解得：n＝﹣1，∴④不符合題意；綜上所述，正確結(jié)論有①③，共2個(gè)．故選：B．7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點(diǎn)，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是﹣1＜n＜0．【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點(diǎn)A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點(diǎn)B在對稱軸x＝1的右側(cè)和點(diǎn)B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點(diǎn)A在對稱軸x＝1的右側(cè)兩種情況求解即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y1＜y2，∴若點(diǎn)A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點(diǎn)B在對稱軸x＝1的右側(cè)，由題意可得：，不等式組無解；若點(diǎn)B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點(diǎn)A在對稱軸x＝1的右側(cè)，由題意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．故答案為：﹣1＜n＜0．8．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點(diǎn)，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答．【解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，如果a＞0，則（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，∴＞t，即t≤．【中考模擬練】1．（2024?虹口區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，如果函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4【分析】依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，再結(jié)合a＝﹣1＜0，從而當(dāng)x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x≥4時(shí)，y隨x的增大而減小，再由函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，進(jìn)而可以判斷得解．【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，又a＝﹣1＜0，∴當(dāng)x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x≥4時(shí)，y隨x的增大而減?。珊瘮?shù)值y隨自變量x的增大而減小，∴x≥4．故選：A．2．（2024?鄭州模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過哪幾個(gè)象限．【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象，可知：a＜0，b＞0，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．3．（2024?霍邱縣模擬）函數(shù)y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數(shù)，且k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】由k＞0和k＜0時(shí)兩種情況下兩個(gè)函數(shù)在同一平面坐標(biāo)系中的圖象，進(jìn)行綜合判斷即可．【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項(xiàng)A不符合；當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選項(xiàng)B，D不符合，選項(xiàng)C中，由一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象，得k＜0，此時(shí)二次函數(shù)y＝kx2﹣4x+3的圖象應(yīng)開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＜0，所以應(yīng)該位于y軸左側(cè)．故選：C．4．（2024?余姚市一模）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點(diǎn)A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點(diǎn)．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2【分析】首先確定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵k＞0，∴正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過一、三象限，∵點(diǎn)A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點(diǎn)，且x1＜0＜x2＜x3，∴A在第三象限，C在第一象限，由二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）可知拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴B在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故選：D．5．（2024?武威二模）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①若x＞2時(shí)，則y隨x的增大而減小；②若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；④若圖象上兩點(diǎn)，對一切正數(shù)n．總有y1＞y2，則．A．①② B．①③ C．①④ D．③④【分析】依據(jù)題意，由題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），∴當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2．又∵當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＜0，開口向下．∴當(dāng)x＞2＞x2時(shí)，y隨x的增大而減小，故①正確；又∵對稱軸為直線x＝﹣＝，1＜m＜2，∴0＜＜．若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，2021離對稱軸近些，又拋物線開口向下，則y1＜y2，故③正確；若圖象上兩點(diǎn)（，y1），（+n，y2）對一切正數(shù)n，總有y1＞y2，1＜m＜2，又該函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤．解得1＜m≤，故④錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＜0．若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am．∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②錯(cuò)誤；∴①③正確；②④錯(cuò)誤，故選：B．6．（2024?福田區(qū)模擬）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2﹣4|＝m（m為實(shí)數(shù)），若該方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是4．【分析】利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題即可解決問題．【解答】解：令x＝0得，y＝4，所以函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）．方程|x2﹣4|＝m的實(shí)數(shù)根可以看成函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因?yàn)樵摲匠糖∮?個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m有3個(gè)不同的交點(diǎn)．如圖所示，當(dāng)m＝4時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以m的值為4．故答案為：4．7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2上一點(diǎn)，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點(diǎn)，且位于點(diǎn)G右側(cè)．（1）此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個(gè)交點(diǎn)，則的x1取值范圍是﹣5≤x1＜﹣2．【分析】（1）利用對稱軸公式即可求解；（2）畫出函數(shù)y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）的圖象，由圖象知當(dāng)﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時(shí)，線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)﹣5≤x1＜﹣2時(shí)，求得9＜GH≤21，則GH＞MN，此時(shí)線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個(gè)交點(diǎn)．【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2，∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，故答案為：x＝﹣2．（2）如圖，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2+4x+2＝7，即M（1，7），∵對稱軸為直線x＝﹣2，∴M（1，7）關(guān)于直線x＝﹣2的對稱點(diǎn)為N（﹣5，7），∴MN＝1﹣（﹣5）＝6，由圖象知當(dāng)﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時(shí)，線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)﹣5≤x1＜﹣2時(shí)，GH＝﹣3x1+1﹣x1＝﹣4x1+1，∴9＜GH≤21，∴GH＞MN，此時(shí)線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，x1的取值范圍是﹣5≤x1＜﹣2，故答案為：﹣5≤x1＜﹣2．8．（2024?碑林區(qū)校級一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）C為該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；把x＝0代入拋物線的解析式，求出y＝3，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)M在x軸下方時(shí)，當(dāng)M在x軸上方時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【解答】解：（1）∵，∴A（1，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．（2）存在，理由如下：由題意四邊形ACMD是正方形，則△ACD是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等婹直角三角形．設(shè)，①當(dāng)M在x軸下方時(shí)，如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，此時(shí)△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE，∴，∴（舍去），，此時(shí)．②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，同理可得：CF＝AF，∴，∴，（舍去），∴此時(shí)．綜上所述，存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ACMD是正方形，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．題型02二次函數(shù)與幾何變換 易錯(cuò)點(diǎn)：拋物線平移步驟：①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，②根據(jù)“左加右減（x），上加下減（整體）”來轉(zhuǎn)化平移所得函數(shù)解析式；解題大招：的軸對稱變換規(guī)律【中考真題練】1．（2023?無錫）將二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）【分析】由y＝2（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)是（1，2），即可得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1+2，2）即（3，2）．【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)是（1，2），得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1+2，2）即（3，2），故選：B．2．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．3．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度 B．向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度 C．向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度 D．向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度【分析】先確定兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），拋物線y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），而點(diǎn)（1，5）向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位可得到（﹣1，2），所以拋物線y＝（x﹣1）2+5向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位得到拋物線y＝x2+2x+3．故選：D．4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個(gè)單位長度，再向右平移2或4個(gè)單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．【分析】先求出拋物線y＝（x+3）2向下平移1個(gè)單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，設(shè)拋物線向右平移h個(gè)單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，代入拋物線的解析式求出h的值即可．【解答】解：拋物線y＝（x+3）2向下平移1個(gè)單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，設(shè)拋物線向右平移h個(gè)單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，∴（3﹣h）2﹣1＝0，解得h＝2或4．故答案為：2或4．5．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AB上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C不與點(diǎn)B重合．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【分析】（1）根據(jù)題意，分別將x＝0，y＝0代入直線即可求得；（2）設(shè)，得到拋物線的頂點(diǎn)式為，將B（0，6）代入可求得，進(jìn)而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據(jù)題意，設(shè)P（p，0），，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到拋物線N解析式為：，將B（0，6）代入可得，即可得到答案．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）設(shè)，設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線M經(jīng)過點(diǎn)B，∴將B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，將代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如圖：∵CD∥x軸，點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)P（p，0），，∵點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，將B（0，6）代入可得：，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．【中考模擬練】1．（2024?津市市一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣6的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，所得圖象的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5【分析】根據(jù)平移原則：上→加，下→減，左→加，右→減寫出解析式．【解答】解：根據(jù)題意可得解析式為：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．故選：C．2．（2024?秦都區(qū)一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝l軸對稱，兩拋物線的頂點(diǎn)相距5，則m的值為（）A． B． C．或 D．或【分析】根據(jù)拋物線可以求得拋物線C1的頂點(diǎn)（，﹣+m），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到拋物線C2的頂點(diǎn)為（，﹣m+2）．由題意知|﹣m+2+﹣m|＝5，解方程即可求得．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣3x+m＝（x﹣）2﹣+m，∴拋物線C1的頂點(diǎn)（，﹣+m），∵拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝1軸對稱，∴拋物線C2的頂點(diǎn)為（，﹣m+2）．∵兩拋物線的頂點(diǎn)相距5，∴|﹣m+2+﹣m|＝5，解得m＝或，故選：D．3．（2024?濟(jì)南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．＜m＜7 B．＜m＜5 C．＜m＜9 D．＜m＜7【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：①直線經(jīng)過對折點(diǎn)A（即右邊的對折點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；②若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式Δ＝0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．【解答】解：令y＝9，則9＝（x+1）2，解得x＝﹣4或2，∴A（2，9），平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．①當(dāng)直線位于l1時(shí)，此時(shí)l1過點(diǎn)A（2，9），如圖，∴9＝2+m，即m＝7．②當(dāng)直線位于l2時(shí)，如圖，此時(shí)l2與函數(shù)y＝（x+1）2的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程x+m＝x2+2x+1，即x2+x+1﹣m＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，即．由①②知若直線y＝x+m與新圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，m的取值范圍為；故選：D．4．（2024?松江區(qū)二模）平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）.（只需寫出一個(gè)符合條件的表達(dá)式）【分析】由平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，設(shè)平移后拋物線為y＝（x﹣1）2+k，由平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合頂點(diǎn)在第四象限，故所求為y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，設(shè)平移后拋物線為y＝（x﹣1）2+k，由平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合頂點(diǎn)在第四象限，故所求為y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．故答案為：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．5．（2024?新北區(qū)校級模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．【分析】直線y＝x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到x＝0，求得拋物線與y軸的交點(diǎn)M′，M′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到M，由OM＝OM′，即可求解．【解答】解：直線y＝x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到x＝0，設(shè)拋物線y＝2（x+1）2+1與y軸的交點(diǎn)為M′，∵拋物線y＝2（x+1）2+1，∴x＝0時(shí)，y＝3，∴M′（0，3），設(shè)點(diǎn)M（m，m），由題意得：OM＝OM′＝3，∴m2+m2＝32，∴m＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．故答案為：（，）．6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．（1）寫出拋物線C1的對稱軸：x＝﹣1．（2）將拋物線C1平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到拋物線C2，且拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，﹣2）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），若△ABO的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點(diǎn)M，N，分別過點(diǎn)M，N的兩條直線l2，l3交于點(diǎn)P，且l2，l3與y軸不平行，當(dāng)直線l2，l3與拋物線C2均只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請說明點(diǎn)P在一條定直線上．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式直接可得出答案．（2）根據(jù)拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)在原點(diǎn)上可設(shè)其解析式為y＝ax2，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得C2的解析式，于是可設(shè)B的坐標(biāo)為且（t＜﹣2），過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，利用S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM＝4可求得t的值，于是可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立拋物線與直線l1的方程可得出x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．再利用直線l2、直線l3分別與拋物線相切可求得直線l2、直線l3的解析式，再聯(lián)立組成方程組可求得交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一定值，于是可說明點(diǎn)P在一條定直線上．【解答】解：（1）拋物線C1的對稱軸為：．故答案為：x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．（2）∵拋物線C1平移到頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到拋物線C2，∴可設(shè)拋物線C2的解析式為：y＝ax2∵點(diǎn)A（﹣2，﹣2）有拋物線C2上，∴﹣2＝a?（﹣2）2，解得：．∴拋物線C2的解析式為：．∵點(diǎn)B在拋物線C2上，且在點(diǎn)A的左側(cè)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為且（t＜﹣2），如圖，過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M、N．∵S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM＝＝＝，又S△ABO＝4，∴，解得：t+1＝±3，∴t＝﹣4（t＝2不合題意，舍去），則，∴B（﹣4，﹣8）．（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組：，整理得：x2+2kx﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4．設(shè)過點(diǎn)M的直線解析式為y＝mx+n，聯(lián)立得方程組，整理得x2+2mx+2n＝0．①∵過點(diǎn)M的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ＝4m2﹣8n＝0，∴．∴由①式可得：，解得：m＝﹣x1．∴．∴過M點(diǎn)的直線l2的解析式為．用以上同樣的方法可以求得：過N點(diǎn)的直線l3的解析式為，聯(lián)立上兩式可得方程組，解得，∵x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．∴∴點(diǎn)P在定直線y＝2上．（如圖）題型03二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題大招01：二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用解題大招02：二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個(gè)字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點(diǎn)判斷;②含有a、b兩個(gè)字母時(shí)，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個(gè)字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c，當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個(gè)字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個(gè)字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷。【中考真題練】1．（2023?營口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求得對稱軸，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸，與y軸的交點(diǎn)即可判斷出①；根據(jù)圖象即可判斷③④；根據(jù)函數(shù)的最值即可判斷出⑤．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），∴對稱軸為直線x＝＝﹣1，故②正確；∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，∴c＞0，∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y＞0，∴當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0，故③正確；由圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值a﹣b+c，∴當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，am2+bm+c≤a﹣b+c，∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正確；綜上所述，結(jié)論正確的是②③⑤共3個(gè)．故選：C．2．（2023?河北）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，則這兩個(gè)函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為（）A．2 B．m2 C．4 D．2m2【分析】求出三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，再構(gòu)建方程求解．【解答】解：令y＝0，則﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，若m＞0，則m2＝2m，∴m＝2，若m＜0時(shí)，則m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵拋物線y＝x2﹣m2的對稱軸為直線x＝0，拋物線y＝﹣x2+m2x的對稱軸為直線x＝，∴這兩個(gè)函數(shù)圖象對稱軸之間的距離＝＝2．故選：A．3．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點(diǎn)（﹣2，0）在函數(shù)圖象上【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而得出abc的正負(fù)；利用對稱軸為直線x＝1，可得出2a+b與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，可得出b2與4ac的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），再結(jié)合對稱軸為直線x＝1，可得出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：A：由二次函數(shù)的圖形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A錯(cuò)誤．B：因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸是直線x＝1，則＝1，即2a+b＝0．故B正確．C：因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C錯(cuò)誤．D：因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），且對稱軸為直線x＝1，所以它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故D錯(cuò)誤．故選：B．4．（2023?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝﹣1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），則下列結(jié)論正確的是（）A．2a+b＝0 B．4a﹣2b+c＞0 C．x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)根 D．點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當(dāng)x1＞x2＞﹣1時(shí)，y1＜y2＜0【分析】根據(jù)對稱軸判斷①，根據(jù)圖象特征判斷②，根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸的交點(diǎn)判斷③，根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷④．【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故①錯(cuò)誤，∵對稱軸為直線x＝﹣1，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故②錯(cuò)誤，∵拋物線與x軸交于（﹣4，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），∴x＝2是關(guān)于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)根，故③正確，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x1＞x2＞﹣1時(shí)，y1＞y2，故④錯(cuò)誤，故選：C．5．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于（2，0），（3，0）兩點(diǎn)之間．下列結(jié)論：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，則﹣3＜x1?x2＜0；其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判斷①錯(cuò)誤；由圖象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判斷②錯(cuò)誤；而x＝3時(shí)y＜0，知x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜﹣c，判斷③正確；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1?x2＜0，判斷④正確．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故②錯(cuò)誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，x＝3時(shí)y＜0，∴x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，∴a＜﹣c，故③正確；若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，由函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴﹣3＜x1?x2＜0，故④正確，∴正確的有：③④，共2個(gè)，故選：B．6．（2023?菏澤）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點(diǎn)”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5【分析】由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為y＝3x，根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，求Δ≥0，再根據(jù)x＝﹣3和x＝1時(shí)兩個(gè)函數(shù)值大小即可求出．【解答】解：由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為y＝3x，在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，即在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．故選：D．7．（2023?廣安）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．有下列結(jié)論：①abc＞0；②若點(diǎn)（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)函數(shù)圖象開口向下可知a＜0，根據(jù)左同右異可知b＜0，再根據(jù)圖象與y軸交于正半軸可知c＞0，然后即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），可以得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷②；根據(jù)對稱軸可以得到a和b的關(guān)系，再根據(jù)x＝1時(shí)，y＝0，可以得到a+b+c＝0，進(jìn)行變形即可判斷③；根據(jù)x＝1時(shí)，y＝0和a、b的關(guān)系，可以判斷④．【解答】解：由圖象可得，a＜0，b＜0，c＞0，則abc＞0，故①正確，符合題意；∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝﹣1，∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5對應(yīng)的函數(shù)值相等，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴若點(diǎn)（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2，故②正確，符合題意；∵對稱軸是直線x＝＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵點(diǎn)（1，0）在該函數(shù)圖象上，∴a+b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正確，符合題意；∵a+b+c＝0，a＜0，∴2a+b+c＜0，∴2a+2a+c＜0，即4a+c＜0，故④錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．8．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥【分析】由拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點(diǎn)，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分兩種情況：①當(dāng)k≤﹣5時(shí)，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，②當(dāng)k≥1時(shí)，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，分別解不等式可得答案．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點(diǎn)，∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，∴k2+4k﹣5≥0，解得：k≤﹣5或k≥1；拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣對稱軸為直線x＝，①當(dāng)k≤﹣5時(shí)，拋物線對稱軸在直線x＝﹣2左側(cè)，此時(shí)拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，解得：k≤﹣，∴k≤﹣；②當(dāng)k≥1時(shí)，拋物線對稱軸在直線x＝右側(cè)，此時(shí)拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，解得：k≥﹣，∴k≥1；綜上所述，k≤﹣或k≥1；故選：B．9．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由對稱軸為直線x＝﹣1可得b＝2a，再將x＝1代入可判斷①，找出（﹣4，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點(diǎn)，找出交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，可判斷④．【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1．∴b＝2a，∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故①錯(cuò)誤，∵拋物線開口向下，∴在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，∵（﹣4，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點(diǎn)為（2，y1），又∵2＜3，∴y1＞y2，故②正確，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點(diǎn)，由圖象可知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，∵（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點(diǎn)為（﹣2，2），∴x的取值范圍為﹣2＜x＜0，故④正確．故選：B．10．（2023?日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足，已知點(diǎn)（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（）A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t【分析】根據(jù)已知可得a＞0，所以拋物線開口向上，再根據(jù)﹣3a＜b＜﹣a，得＜﹣＜，再由點(diǎn)（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，即可得m，n，t的大小關(guān)系．【解答】解：∵3a+b＞0，∴2a+a+b＞0，∵a+b＜0，∴2a＞0，∴a＞0，∴拋物線開口向上，∵﹣3a＜b＜﹣a，∴＜﹣＜，∵點(diǎn)（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，∴m，n，t的大小關(guān)系為：n＜t＜m．故選：C．11．（2023?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實(shí)數(shù)）；④若圖象上存在點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時(shí)，滿足y1＝y(tǒng)2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①分別判斷a、b、c的符號，再判斷abc的符號；②由對稱軸為直線x＝﹣2，可知a與b的數(shù)量關(guān)系，消去b可得僅含a、c的解析式，找特定點(diǎn)可判斷c﹣3a的符號．③用a與b的數(shù)量關(guān)系，可將原式化簡得到關(guān)于t的不等式，再用函數(shù)的性質(zhì)（t為全體實(shí)數(shù)）判斷．④利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系即可判斷．【解答】解：①因圖象開口向下，可知：a＜0；又∵對稱軸為直線x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同號．由圖象可知，當(dāng)x＝4時(shí)，y＜0，又∵對稱軸為直線x＝﹣2，可知：當(dāng)x＝0時(shí)，y＜0；即c＜0；∴abc＜0，故①正確．②由①得：b＝4a．代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0．即：a?（﹣1）2+4a?（﹣1）+c＞0，整理得：c﹣3a＞0，故②正確．③設(shè)4a2﹣2ab≥at（at+b）則4a﹣2b≤at?t﹣bt，兩邊+c得到4a﹣2b+c≤at?t﹣bt+c，左側(cè)為x＝﹣2時(shí)的函數(shù)值，右側(cè)為x＝t時(shí)的函數(shù)值，顯然不成立，故③錯(cuò)誤．④由題意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的兩個(gè)根，從圖象上看，因二次函數(shù)有對稱性，x1、x2關(guān)于x＝﹣2對稱，∴當(dāng)且僅當(dāng)m＜﹣2＜m+3時(shí)，存在點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時(shí)，滿足y1＝y(tǒng)2，即當(dāng)﹣5＜m＜﹣2時(shí)，滿足題設(shè)，故④正確．故本題選：C．12．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是①③.（只填寫序號）【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給圖象可以得出a＞0，c＜0，再結(jié)合對稱軸x＝﹣1，同時(shí)令ax2+bx+c＝kx，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，逐個(gè)判斷可以得解．【解答】解：由圖象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正確．由題意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的兩根之和為﹣3+2＝﹣1，兩根之積為﹣3×2＝﹣6．∴﹣＝﹣1，＝﹣6．∴6a+c＝0．又b＝2a，∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c＜0．∴②錯(cuò)誤，③正確．∵﹣＝﹣1，b＝2a，∴k＝a．∴④錯(cuò)誤．故答案為：①③．13．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若a＝﹣1，求證：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，y＞0．（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是a＞3或a＜﹣1．【分析】（1）證明b2﹣4ac＞0即可解決問題．（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可．（3）對a＞0和a＜0進(jìn)行分類討論即可．【解答】證明：（1）因?yàn)椋ī?a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，又因?yàn)閍＜0，所以4a＜0，a﹣3＜0，所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，所以該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向下．則當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，又因?yàn)楫?dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，所以y＞0．（3）因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線x＝，且過定點(diǎn)（0，3），又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，所以當(dāng)a＞0時(shí)，a﹣2a+3＜0，解得a＞3，故a＞3．當(dāng)a＜0時(shí)，a+2a+3＜0，解得a＜﹣1，故a＜﹣1．綜上所述，a＞3或a＜﹣1．故答案為：a＞3或a＜﹣1．14．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．（2）若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．【解答】解：（1）①由題意得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小；（2）∵x＝0和x＝2時(shí)的函數(shù)值都是1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴（1，n）是頂點(diǎn)，（﹣1，m）和（3，p）關(guān)于對稱軸對稱，若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【中考模擬練】1．（2024?杭州一模）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（t，n），則必過點(diǎn)（t+4，n） B．若點(diǎn)和（4，y2）都在拋物線上，則y1＞y2 C．a(chǎn)﹣b+c＞0 D．b+c＝m【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點(diǎn)判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點(diǎn)（5，0）可判斷②，由拋物線對稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷③，點(diǎn)C對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為4﹣t可判斷④．【解答】解：A．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（t，n），∴點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱點(diǎn)（4﹣t，n）在拋物線上，∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個(gè)根，A錯(cuò)誤．B．∵2﹣（﹣）＝，4﹣2＝2，∴，∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵y1＜y2，∴B錯(cuò)誤；∵拋物線頂點(diǎn)為A（2，m），∴拋物線對稱軸為直線x＝2，∵拋物線過點(diǎn)（5，0），∴由對稱性可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，C錯(cuò)誤，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∵（2，m）為拋物線頂點(diǎn)，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，m＝﹣9a∴b+c＝﹣9a＝m，D正確，故答案為：D．2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）若拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤2【分析】由y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，m﹣2），根據(jù)題意得到，然后求出不等式組的解集即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，m﹣2），∵拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過第一、二、四象限，∴，解得1≤m＜2，故選：C．3．（2024?嶗山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＞0；②若點(diǎn)（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm+c≤﹣9a．正確結(jié)論的序號為（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【分析】依據(jù)題意，由拋物線經(jīng)過（﹣2，0），再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，由各點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷③，由x＝1時(shí)y取最大值可判斷④．【解答】解：由題意，∵對稱軸是直線x＝1，a＜0，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．∵﹣2＜﹣1，拋物線過點(diǎn)（﹣2，0），∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)y＝a﹣b+c＞0，故①正確．∵a＜0，∴拋物線開口向下．又點(diǎn)（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，且點(diǎn)（6，y3）到對稱軸的距離最大，點(diǎn)（2，y2）到對稱軸的距離最小，∴y3＜y1＜y2，②錯(cuò)誤．∵方程ax2+bx+c+1＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴拋物線與直線y＝﹣1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2．由拋物線對稱性可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），（4，0），∵拋物線開口向下，x1＜x2，∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正確．∵﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵4a﹣2b+c＝0，∴c＝2b﹣4a＝﹣8a，∵拋物線的最大值為a+b+c，∴若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm+c?a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，∴am2+bm+c?﹣9a，故④正確．故選：B．4．（2024?霍邱縣一模）已知拋物線y＝mx2+nx﹣m，其中m為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），則n＝5；（2）該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣m），已知點(diǎn)B（1，﹣m），C（2，2），若拋物線與線段BC有交點(diǎn)，則m的取值范圍為﹣2≤m＜0．【分析】（1）將（1，5）代入解析式求解．（2）分類討論m＞0，m＜0兩種情況，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，討論點(diǎn)B與頂點(diǎn)位置，點(diǎn)C與拋物線的位置關(guān)系，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）將（1，5）代入y＝mx2+nx﹣m得，5＝m+n﹣m，解得n＝5，故答案為：5．（2）將點(diǎn)A（2，﹣m），代入y＝mx2+nx﹣m得，﹣m＝4m+2n﹣m，解得n＝﹣2m，∴y＝mx2﹣2mx﹣m＝m（x﹣1）2﹣2m，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2m），當(dāng)m＞0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)在點(diǎn)B下方，∵拋物線經(jīng)過（2，﹣m），∴點(diǎn)C在拋物線上方，∴拋物線與線段BC無交點(diǎn)，當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線開口向下，∵﹣2m＞﹣m，∴拋物線頂點(diǎn)在點(diǎn)B上方，當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上或拋物線上方時(shí)滿足題意，即2≥﹣m，解得m≥﹣2，故答案為：﹣2≤m＜0．5．（2024?青島一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（3，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④拋物線上有兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中正確的是①③④.（只填寫序號）【分析】依據(jù)題意，拋物線開口向下，從而a＜0，又對稱軸是直線x＝1，故﹣＝1，則b＝﹣2a＞0，再結(jié)合拋物線交y軸正半軸，故可判斷①；由對稱軸是直線x＝1，則當(dāng)x＝﹣2時(shí)的函數(shù)值與x＝4時(shí)函數(shù)值相等，又由圖象可得，當(dāng)x＝4時(shí)，y＜0，故當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4a﹣2b+c＜0，故可以判斷②；由對稱性當(dāng)x＝﹣1時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)x＝3的函數(shù)值相等，所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，再結(jié)合b＝﹣2a，則可判斷③正；由x1+x2＞2，故＞1，進(jìn)而可得M，N的中間位置在對稱軸的右側(cè)，M離對稱軸近，N離對稱軸遠(yuǎn)，又拋物線開口向下，進(jìn)而可以判斷④．【解答】解：由題意，拋物線開口向下，∴a＜0．又對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1．∴b＝﹣2a＞0．又拋物線交y軸正半軸，∴c＞0．∴abc＜0，故①正確．由對稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)的函數(shù)值與x＝4時(shí)函數(shù)值相等．又由圖象可得，當(dāng)x＝4時(shí)，y＜0．∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4a﹣2b+c＜0，故②錯(cuò)誤．由對稱性當(dāng)x＝﹣1時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)x＝3的函數(shù)值相等，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0．又b＝﹣2a，∴3a+c＝0，故③正確．由題意，∵x1+x2＞2，∴＞1．∴M，N的中間位置在對稱軸的右側(cè)．∴M離對稱軸近，N離對稱軸遠(yuǎn)．又拋物線開口向下，∴y1＞y2，故④正確．故答案為：①③④．6．（2024?余姚市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2，求當(dāng)x1，x2為何值時(shí)，m＝8a；（3）若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)（1，2），當(dāng)a＜b時(shí)求3a+b的取值范圍．【分析】（1）依據(jù)題意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，進(jìn)而結(jié)合a≠0可以判斷Δ＞0，即可求解；（2）依據(jù)題意，也有對稱軸為直線x＝2，可得b＝﹣4a，從而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時(shí)，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后計(jì)算即可求解；（3）依據(jù)題意，由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2且圖象的頂點(diǎn)在第二象限，則拋物線開口向下，即a＜0，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由題意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，又a≠0，∴a2＞0．∴16a2＞0．又對于任意的b都有b2≥0，∴Δ＝b2+16a2＞0．∴函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．（2）∵x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a．∴拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時(shí)，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，解得x＝6或﹣2，則x1＝﹣2，x2＝6．（3）將（1，2）代入拋物線表達(dá)式得：2＝a+b﹣4a，則b＝3a+2，∵a＜b，故a＜3a+2，∴解得a＞﹣1．∴拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2且圖象的頂點(diǎn)在第二象限，∴拋物線開口向下，即a＜0．∴函數(shù)的對稱軸x＝﹣＝﹣﹣＜0，解得a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣．∴﹣3＜3a＜﹣2．故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．∴﹣4＜3a+b＜﹣2．∴3a+b的取值范圍：﹣4＜3a+b＜﹣2．題型04二次函數(shù)解析式的求法【中考真題練】1．（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解（答案不唯一）．【解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1，故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．3．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）先把解析式進(jìn)行配方，再求頂點(diǎn)；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時(shí)，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點(diǎn)（2，7），∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最小值為：﹣2，∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時(shí)，y的最大值為2；x＞0時(shí)，y的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2．【中考模擬練】1．（2023?思明區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)是（1，3），當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+3【分析】根據(jù)題意可知拋物線開口向上，又知頂點(diǎn)為（1，3），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式求解．【解答】解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)是（1，3），開口向上，故選：D．2．（2023?海淀區(qū)校級一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為y＝（x﹣4）2﹣17．【分析】利用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式即可得解．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣1＝x2﹣8x+16﹣16﹣1＝（x﹣4）2﹣17，故答案為：y＝（x﹣4）2﹣17．3．（2024?梅縣區(qū)一模）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），則這條拋物線的解析式為y＝﹣2（x+1）2+6．【分析】先設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+1）2+6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定a的值即可．【解答】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a（x+1）2+6，∵拋物線y＝a（x+1）2+6的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，∴a＝﹣2，∴所求拋物線的解析式為y＝﹣2（x+1）2+6．故答案為：y＝﹣2（x+1）2+6．4．（2024?霍邱縣模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（4，3），則拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；（2）在（1）的條件下，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（m，k），（n，k），當(dāng)1≤n﹣m＜8時(shí)，k的取值范圍為﹣≤k＜15．【分析】（1）由拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（4，3），可得，解出b，c的值可得拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；（2）根據(jù)拋物線y＝x2﹣4x+3經(jīng)過點(diǎn)（m，k），（n，k），知m，n是關(guān)于x2﹣4x+3﹣k＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故m+n＝4，mn＝3﹣k，即可得n﹣m＝，從而，解得：﹣≤k＜15．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（4，3），∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；（2）∵拋物線y＝x2﹣4x+3經(jīng)過點(diǎn)（m，k），（n，k），∴當(dāng)y＝k時(shí)，m，n是關(guān)于x2﹣4x+3﹣k＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴m+n＝4，mn＝3﹣k，∴，∵1≤n﹣m＜8，∴．∴1≤4+4k＜64，解得：﹣≤k＜15．考點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求最值、利用點(diǎn)與二次函數(shù)圖象的關(guān)系解決與其他幾何圖形的結(jié)合問題、以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系等。題型01二次函數(shù)的最值解題大招：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)?！局锌颊骖}練】1．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a【分析】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出二次函數(shù)的對稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后代入k的值進(jìn)行判斷即可．【解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），（m+k，0），∴二次函數(shù)的對稱軸是：直線，∵a＞0，∴y有最小值，當(dāng)時(shí)，y最小，即，當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為；當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為，故選：A．2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣3【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），x＝2時(shí)，y有最大值為y＝﹣3，故選：C．3．（2023?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，6），其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值【分析】將（0，6）代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出m的值，再利用對稱軸在y軸左側(cè)，得出m＝3，再利用公式法求出二次函數(shù)最值．【解答】解：由題意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m，對稱軸在y軸左側(cè)，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函數(shù)有最小值為：＝＝．故選：D．4．（2023?泰安）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．【分析】將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．∵a＝﹣1＜0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，y取得最大值，最大值＝．故答案為：．5．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形