高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊(cè) 樣本相關(guān)系數(shù)

樣本相關(guān)系數(shù)同步練習(xí)

一、單選題

1.對(duì)兩個(gè)變量X、y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)4=0.7859,對(duì)兩

個(gè)變量〃、v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)弓=-09568,則下列判斷

正確的是（）

A.變量％與>正相關(guān)，變量“與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量％與y負(fù)相關(guān)，變量“與v正相關(guān)，變量*與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

c.變量x與y正相關(guān)，變量”與v負(fù)相關(guān)，變量〃與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量X與y負(fù)相關(guān)，變量”與V正相關(guān)，變量〃與V的線性相關(guān)性較強(qiáng)

2.兩個(gè)變量X與y的回歸模型中，分別選擇了四個(gè)不同的模型來(lái)擬合>與X之

間的關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)，?如下，其中擬合效果最好的模型是（）

模型1234

r0.980.800.500.25

A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4

3.下面的散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)「一定不符合的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

4.下列說(shuō)法中正確的是（）

2

A.若一組數(shù)據(jù)1,a,3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是§

B.線性回歸直線不一定過(guò)樣本中心點(diǎn)丘J）

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)廠的值越接近于1

D.先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000,再?gòu)木幪?hào)為1到50的50

名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為加，然后抽取編號(hào)為加+50,加+100,

〃?+150,……的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣

5.在一組樣本數(shù)據(jù)（不另）,（9,必）產(chǎn),，（當(dāng)，”）（心2,玉,馬，…，毛不全相等）

的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（4丫）（，=1,2,…,〃）都在直線y=?+l上，則這

組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.—1B.1C.—D.—

55

6.兩個(gè)變量y與X的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指

數(shù)H如下，其中擬合效果最好的模型是（）

A.模型1的相關(guān)指數(shù)R=0.15B.模型2的相關(guān)指數(shù)R=0.85

C.模型3的相關(guān)指數(shù)R=0.25D.模型4的相關(guān)指數(shù)R=0.95

7.在一組樣本數(shù)據(jù)（X],y）,（w,%），…，（七，V"）（〃-2,西,々X”不全相等）

的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（4》）?=1，2,-、〃）都在直線丁=0.以+1上，則這組

樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-1B.0.4C.0.5D.1

8.在線性回歸模型中，分別選擇了甲，乙，丙，丁四個(gè)不同的模型，它們

的相關(guān)指數(shù)R2分別為046,0.85,0.72,0.93,其中回歸效果最好的模型

是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.紅鈴蟲(chóng)是棉花的主要害蟲(chóng)之一，一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集

了7組觀側(cè)數(shù)據(jù).用4種模型分別進(jìn)行擬合.由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行

殘差分析，進(jìn)一步得到如圖4幅殘差圖，根據(jù)殘差圖，擬合效果最好的模型

是（）

3156

TTT'…工……；一一…上……￡…一一號(hào)-50"?；

-100-----------

模型-的殘?chǎng)娔Ｐ投臍埐顖D

殘差殘差

模型三的殘差圖模型四的殘差圖

A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四

10.已知變量X、y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10,1.5）,（11,3.2）,（11,8.3）,

（12.5,14）,（13,5）,變量V、相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10,5）,（11.3,

試卷第2頁(yè)，總10頁(yè)

4）,（11.8,3）,（12.5,2）,（13,1）,用片表示變量x與y之間的線性相關(guān)

系數(shù)，用弓表示變量V之間的線性相關(guān)系數(shù)，則有（）

A.弓<(<0B.0<4<彳C.與<0<(D./〈弓<0

11.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出無(wú)（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（單位：萬(wàn)元）之

間的關(guān)系如表：

X24568

y3040605070

若已知丁與x的線性回歸方程為9=6.5X+17.5,那么當(dāng)廣告費(fèi)支出為6萬(wàn)元

時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（）萬(wàn)元，（殘差=1真實(shí)值-預(yù)測(cè)值I）

A.17.5B.6.5C.24.5D.56.5

12.在兩個(gè)變量y與3的回歸模型中,選擇了4個(gè)不同模型相關(guān)指數(shù)如下，

其中擬合效果最好的模型是（）

A.R2=0.32B.R2=0.81C.R2=0.50D.收=0.95

二、填空題

13.如圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線，若去

掉一個(gè)點(diǎn)使得余下的5個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大，則應(yīng)當(dāng)去掉的點(diǎn)

是.

14.在兩個(gè)變量＞與8的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的R2

如下，①模型一的R2為0.98,②模型二的R2為0.80,③模型三的R2為0.50,

④模型四的R2為0.25,其中擬合效果最好的模型是.

15.x與y的數(shù)據(jù)關(guān)系為下表:

X24568

y3040605070

為了對(duì)x,丁兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)根據(jù)兩種線性模型：甲：

y=6.5x+17.5，乙：9=7x+17，分別計(jì)算出甲模型的相關(guān)指數(shù)為吊=8845,

乙模型的相關(guān)指數(shù)為后=0.82,則(填“甲”或“乙”)模型擬合

的效果更好.

16.下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法中錯(cuò)誤的序號(hào)為

(1)殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度

越高.

(2)回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)

(3)兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.

(4)甲、乙兩個(gè)模型的心分別約為0.88和0.80,則模型乙的擬合效果更

好.

參考答案：

1、【答案】C

【分析】

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的符號(hào)決定兩個(gè)變量的正相關(guān)、負(fù)相關(guān)，以及相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值

越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

由線性相關(guān)系數(shù)彳=0.7859>0知x與>正相關(guān)，

由線性相關(guān)系數(shù)弓=-0.9568<0知〃與v負(fù)相關(guān)，

又用<同，所以，變量“與v的線性相關(guān)性比%與丁的線性相關(guān)

性強(qiáng)，

故選：C.

2、【答案】A

【分析】

試卷第4頁(yè)，總10頁(yè)

根據(jù)相關(guān)系數(shù)I川越接近于1,模型的擬合效果越好，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，即

可求解.

【詳解】

兩個(gè)變量X與y的回歸模型中，它們的相關(guān)系數(shù)1，1越接近于1,這個(gè)模型的

擬合效果越好，在所給的四個(gè)相關(guān)系數(shù)中0.98的絕對(duì)值最接近1,所以擬合

效果最好的模型是模型1.

故選：A.

3、【答案】C

【分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)直接的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

①中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈負(fù)相關(guān)，故①錯(cuò)；

②中，由散點(diǎn)圖可得，兩相關(guān)變量呈正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)可能是r=0.75：

③中，若相關(guān)系數(shù)廠=-1,則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線上，散點(diǎn)圖顯然

不符合，故③錯(cuò)；

④中，若相關(guān)系數(shù)r=1,則所有的點(diǎn)應(yīng)該分布在一條直線上，散點(diǎn)圖顯然不

符合，故④錯(cuò)；

故選：C.

4、【答案】A

【分析】

A.利用平均數(shù)和方差公式判斷；B.根據(jù)線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)

丘,亍）判斷；C.根據(jù)相關(guān)系數(shù)「的絕對(duì)值與相關(guān)程度的關(guān)系判斷；D.由系統(tǒng)抽

樣的特點(diǎn)判斷.

【詳解】

A.若一組數(shù)據(jù)1,a,3的平均數(shù)是2,則a=2,該組數(shù)據(jù)的方差是

s=如-+（2-2）2+（3-2）2]=],故正確；

B.線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)丘三）,故錯(cuò)誤；

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值越接近于1,故

錯(cuò)誤；

D.先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000,再?gòu)木幪?hào)為1到50的50

名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為加，然后抽取編號(hào)為"2+50,加+100,

m+150,……的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣，故錯(cuò)誤；

故選:A

5、【答案】B

【分析】

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)都在--條直線上，得出這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，

再根據(jù)直線的斜率得出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)即可.

【詳解】

解：???這組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)a，y)(i=l,2,…川都在直線y=?+l上,

,這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，

即說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的樣本完全正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查變量的正負(fù)相減，一般在散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)都在一條斜率為正的直

線，則這兩個(gè)變量正相關(guān)，如果所有點(diǎn)在一條斜率為負(fù)的直線附近，則這兩

個(gè)變量呈負(fù)相關(guān).

6、【答案】D

【分析】

根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好即可判斷.

【詳解】

兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，

相關(guān)指數(shù)R越大，擬合效果越好，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了相關(guān)指數(shù)的意義，考查了基本知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.

7、【答案】D

【分析】

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所有點(diǎn)都在一條直線上，得出這組數(shù)據(jù)完全相關(guān)，再根據(jù)直線

的斜率得出正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)即可.

【詳解】

因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)(匕,y)(i=1,2,…,〃)都在直線y=0.4x+1上，

所以這組數(shù)據(jù)完全相關(guān)，

試卷第6頁(yè)，總10頁(yè)

即說(shuō)明這組數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為1.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相關(guān)系數(shù)以及正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

8、【答案】D

【分析】

根據(jù)兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)越接近于1,這個(gè)模型

的擬合效果越好判斷.

【詳解】

因?yàn)閮蓚€(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)越接近于1,這個(gè)模型

的擬合效果越好，

而丁的相關(guān)指數(shù)0.93最大，

所以回歸效果最好的模型是丁，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查回歸分析中相關(guān)系數(shù)的含義，屬于基礎(chǔ)題.

9、【答案】D

【分析】

利用殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合精度越好，擬合效果越好即可選出答

案.

【詳解】

當(dāng)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，

這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明擬合精度越好，擬合效果越好，

對(duì)比4個(gè)殘差圖，可知模型四的圖對(duì)應(yīng)的帶狀區(qū)域的寬度最窄.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了回歸分析中的誤差分析，要注意殘差圖的含義，屬于基礎(chǔ)題.

10、【答案】C

【分析】

在回歸線性方程應(yīng)用中易知回歸系數(shù)廠=從節(jié)（力為回歸方程的斜率，s：、

分別為變量X、y的方差），從二組數(shù)據(jù)中看出數(shù)4>0,3<0,故4〉0,

1<。最終得到答案.

【詳解】

..?從第一組數(shù)據(jù)中看出數(shù)6>0,故6>0；

從第二組數(shù)據(jù)中看出數(shù)A<0,故4<0;

于是有4<°<4，

.,.弓<0<4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

命題人通過(guò)給出的兩組數(shù)據(jù)為依托，考查考生對(duì)數(shù)據(jù)的觀察和分析能力，然

而作出變量相關(guān)關(guān)系判斷，這體現(xiàn)了考生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)推理的核心素

養(yǎng)，難度中等.

11、【答案】B

【分析】

將x=6代入回歸直線方程求出估計(jì)值，然后將真實(shí)值與估計(jì)值作差即可求

解.

【詳解】

取x=6,得9=6.5x6+17.5=56.5,

...當(dāng)廣告費(fèi)支出為6萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)(殘差)為|5()-56.5|=6.5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了回歸直線方程、殘差，屬于基礎(chǔ)題.

12、【答案】D

【分析】

相關(guān)指數(shù)后越大，擬合效果越好.

【詳解】

相關(guān)指數(shù)配越大，擬合效果越好，

店=0.95在四個(gè)選項(xiàng)中最大,

,其擬合效果越好.

故選：D

試卷第8頁(yè)，總10頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)相關(guān)指數(shù)的理解，需熟記相關(guān)指數(shù)收越大，擬合效果越好，屬

于基礎(chǔ)題.

13、【答案】E.

【解析】

分析：由于點(diǎn)越靠近回歸直線，則相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越大，又由于點(diǎn)E

到回歸直線的距離最大，所以要去掉點(diǎn)E.

詳解：由于點(diǎn)E到回歸直線的距離最大，所以去掉點(diǎn)E后，剩下的5

個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)會(huì)最大.

點(diǎn)睛：（1）本題主要考查回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基

礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.（2）兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱用相關(guān)系數(shù)「來(lái)

工（七-砧丫-y）

衡量.相關(guān)系數(shù)，=I,產(chǎn)_,_r>0,表示兩個(gè)變量正相關(guān)；

\f（%T）2f（/一》

Vz=l/=1

r<0,表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；廠的絕對(duì)值越接近1,表明兩個(gè)變量的線性相

關(guān)性越強(qiáng).廠的絕對(duì)值越接近0,表明兩個(gè)變量之間幾