高中數(shù)學指數(shù)型復合函數(shù)的性質及其應用含答案

高中數(shù)學指數(shù)型復合函數(shù)的性質及其應用專題含答案

學校：班級:姓名：考號:

1.若函數(shù)y=(2a-l尸在R上為單調減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是()

A.a>1B.-<a<1C,a<1D.a>-

22

2.函數(shù)f。)=(J"+弓尸-1,xG[0,+8)的值域為()

A.(-;,1]1]C.(-l,1]D.[-l,1]

3.函數(shù)〃X)=a>3+i(a>o,且ar1)的圖象恒過定點P,則定點P的坐標為()

A.(3,3)B.(3,2)C.(3,6)D.(3,7)

4.函數(shù)/(乃=2-以+11的單調遞增區(qū)間為()

A.(—8,-1)B.(—8,0)C.(0,+8)0.(—1,4-oo)

5.函數(shù)f(%)=(a2-4a4-4)產是指數(shù)函數(shù),則a等于()

A.a>0,且aH1B.l或3C.3D.l

6.

設a6R,函數(shù)/(x)=-a的圖象一定經過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.函數(shù)y=a3x~2(a>0,aM1)的圖象過定點()

A.(0,|)B.(0,1)C.(|,1)D.(l,0)

8.已知函數(shù)則函數(shù)在(0,+8)上()

A.單調遞減且無最小值B.單調遞減且有最小值

C.單調遞增且無最大值D.單調遞增且有最大值

9.設函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x>。時，/(x)=3x-2,則不等式

f(2-x)>1的解集為()

A.{x|x<1或x>3}B.{x|l<x<3}C.{x|l<x<2}D.{%|0<x<2}

10.函數(shù)y=2上的值域為()

A.(l,2]B.(0,2]C.(-oo,2]D.[l,2]

11.函數(shù)/'(x)=?)/+〃在區(qū)間a2]上是單調減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(

A.a￡—4B.a4一2C.u之一2D.a>—4

12.關于x的方程/+(a+4)?3,+4=0有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,+8)B.(—8,—8]

C.(—8,—8]U[0,D.以上都不對

13.已知函數(shù)、=戶+匕((1>l,b>0)的圖象經過點P(l,3),則去+盛的最小值為

14.函數(shù)f(x)=ax-3+3(a>0,且a*1)的圖象恒過定點，則定點P的坐標是

15.函數(shù)y=G)XJ3N+2的單調遞增區(qū)間為

16.函數(shù)y=(削2-劉一7n的圖象與％軸有交點，則m的取值范圍為.

17.函數(shù)y=2XT在。4)上的值域為.

18.函數(shù)y=32-3/的單調遞減區(qū)間是.

19.已知函數(shù)/(%)=a*+b(a>0且,a*1)的定義域和值域都是[一1,0],則a-

b=.

20.若方程4、+(ni-3)?2%+巾=0有兩個不相同的實根，則m的取值范圍是

試卷第2頁，總19頁

21.已知函數(shù)y=(；)x-(|)x+1的定義域為［—3,2］,則該函數(shù)的值域為.

22.函數(shù)y=1+2"+4"Q在xG(-co,1］上y>0恒成立，則a的取值范圍是.

23.方程4、-3?2X+1+8=0的解集為.

24.函數(shù)y=G)xJ2x+2的值域為.

25.已知關于x的方程9，一(4+砌-3*+4=0有兩個實數(shù)解%,x,則空立的最小值

2xlx2

是.

26.求函數(shù)y=2X+2—3-4X,xe［—1,0］的值域.

27.已知函數(shù)

(1)判斷函數(shù)的奇偶性;

(2)求該函數(shù)的值域;

(3)證明.殷轆是虛上的增函數(shù).

28.已知函數(shù)y=4X-2X+1+2,［-1,2］.

(1)設t=2x,求t的取值范圍；

(2)求函數(shù)的最值，并求出取得最值時對應的尤的值.

29.設函數(shù)/(乃=2⑦一】〃在全體實數(shù)范圍內為減函數(shù)，求n的取值范圍.

30.若函數(shù)y=a2x+2ax,(a>0且aH1)在區(qū)間［一1,1］上的最大值為35,求a的值.

31.已知函數(shù)/(%)=/+b(a>0,a=1)的圖象過點(0,-2),(2,0).

(1)求a與6的值；

(2)當*G［-2,2］時，求f(x)的值域.

32.已知：函數(shù)g(x)=a/-2ax+1+b(a片0,b<1),在區(qū)間［2,3］上有最大值4,最

小值1，設函數(shù)/(%)=華.

(1)求a、b的值及函數(shù)/(工)的解析式；

(2)若不等式/(2*)-k-2x>0在久e［-1,1］時恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

試卷第4頁，總19頁

參考答案與試題解析

高中數(shù)學指數(shù)型復合函數(shù)的性質及其應用專題含答案

一、選擇題（本題共計12小題，每題3分，共計36分）

1.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

指數(shù)函數(shù)'=。工，當0<a<l時為定義域上的減函數(shù)，故依題意只需0<2。一1<1,

即可解得a的范圍

【解答】

函數(shù)y=（2a-1尸在R上為單調減函數(shù)，

0<2a-1<1

解得T<a<1

2.

【答案】

C

【考點】

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

令t=G）x（0<tsi）,則y=d+t一1=?+}2一a由y在（0,1］遞增，計算即可

得到值域.

【解答】

解：令t=（}x（o<twi）,

則y=t2+t-1=（t+1）2-且在（0,1］上單調遞增，

則有一1<yV1,

則值域為（一1,1］.

故選C.

3.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

解析式中的指數(shù)乂-3=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定點的坐標.

【解答】

解：由于指數(shù)函數(shù)y=a/a>0,且a#：1）的圖象恒過定點（0,1）,

故令％—3=0,解得％=3,

當x=3時，f(3)=2,

即無論a為何值時，x=3,y=2都成立，

因此，函數(shù)/(x)=a"+1的圖象恒過定點的(3,2),

故選B.

4.

【答案】

A

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系進行求解即可.

【解答】

解：/(%)=2++1|=(|或+1|,

設t=1%+1|,

則y=(1t,為減函數(shù)，

要求函數(shù)f(x)=2-W+i|的單調遞增區(qū)間，

即求函數(shù)t=|x+l|的單調遞減區(qū)間，

函數(shù)t=區(qū)+1|的單調遞減區(qū)間是(一8,-1),

函數(shù)f(x)=2巾+1|的單調遞增區(qū)間為(―8,-1),

故選：A

5.

【答案】

C

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

Q2、—4八a:+4一=11求解即可.

{a>0且aH1

【解答】

解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得卜2一

[a>0且a71

.(a2—4a+3=0

Ia>0,aH1

解得a=3

故選C

6.

【答案】

B

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的取值范圍即可.

【解答】

解：f(X)=G)%T—Q為減函數(shù)，

試卷第6頁，總19頁

.1,當a=0時，函數(shù)/"(x)〉。，則函數(shù)不經過第四象限，

若a=3,則/(0)=1-1=0,此時函數(shù)不經過第三象限，

若a<3,則/(0)=l-a<0,則函數(shù)不經過第一象限，

故函數(shù)f(x)的圖象一定經過第二象限.

故選B.

7.

【答案】

C

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式和a°=1令3x-2=0,即可函數(shù)圖象過的定點坐標.

【解答】

解：由題意得，函數(shù)y=a3x-2(a>(),。黃1),

令3x-2=。得，x=|,

函數(shù)y=a3z-2(a>0,a41)的圖象過定點是(|,1),

故選：C.

8.

【答案】

A

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系進行判斷即可.

【解答】

解：y=3,+2在(0,+8)是為增函數(shù)，且y>2,

f(x)=六在(0,+8)上為減函數(shù)，則0<y<去

則函數(shù)在(0,+8)上為減函數(shù)，無最大值和無最小值，

故選：A

9.

【答案】

A

【考點】

絕對值不等式

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

奇偶性與單調性的綜合

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：當》20時，/(x)=3X-2,

此時函數(shù)y=f(x)單調遞增.

因為函數(shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

且/⑴=31-2=1,

由f(2-x)>l,得f(|x-2|)>/(1),

所以|x-2|>1,

解得久<1或久>3,

因此，不等式f(2-x)>1的解集為｛x|x<1或x>3］.

故選4

10.

【答案】

A

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由二次函數(shù)的性質可得，X2+1>1,

由指數(shù)函數(shù)的性質可得，2舟6(1,2］.

故選4

11.

【答案】

C

【考點】

二次函數(shù)的性質

二次函數(shù)的圖象

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

先求出二次函數(shù)的對稱軸方程，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質列出不等式求解.

【解答】

解：記u(x)=x2+ax=(x+1)2—

其圖象為拋物線，對稱軸為久=-泉且開口向上，

；函數(shù)/(X)=在區(qū)間［1,2］上是單調減函數(shù)，

函數(shù)u(x)在區(qū)間［1,2］上是單調增函數(shù)，

而“(X)在［-泉+8)上單調遞增，

所以，一￡W1,解得Q3—2.

故選C.

12.

【答案】

試卷第8頁，總19頁

B

【考點】

一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

可分離出a,轉化為函數(shù)/■(久)=苧-4的值域問題，令3》=3利用基本不等式和不

等式的性質求值域即可.

【解答】

解：a=——4,令3*=t(t>0),則——4=-(t+：)-4

因為t+；N4,所以—4<—8

C31*

所以a的范圍為(-8,-8].

故選B.

二、填空題(本題共計13小題，每題3分，共計39分)

13.

【答案】

9

2

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

基本不等式在最值問題中的應用

【解析】

函數(shù)y=a*+b(b>0)的圖象經過點P(l,3),可得3=a+b,a>1,b>0.BP(a-

1)+b=2.再利用"乘1法”與基本不等式的性質即可得出.

【解答】

解：?.?函數(shù)y=ax+b(b>0)的圖象經過點尸(1,3),

3=a+6,a>l,b>0.

(a—1)+b=2.

六+鴻("l+b)*+》

小+2序衣,

當且僅當a—1=2b=g時取等號.

故答案為:|-

14.

【答案】

(3,4)

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質，令指數(shù)塞等于0即可.

【解答】

解：由％-3=0得x=3,此時y=a°+3=l+3=4,

故圖象恒過定點P(3,4),

故答案為：(3,4)

15.

【答案】

3

(-8,-]

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

利用復合函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的單調區(qū)間.

【解答】

解：y=/一3x+2在(-8,|]上是減函數(shù)，

在(|，+8)上是增函數(shù)；

又：y=G)x在R上是減函數(shù)；

故函數(shù)y=G)/-3x+2的單調遞增區(qū)間為(一%|].

故答案為：(-8,|].

16.

【答案】

(0,1]

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

函數(shù)y=(|)|2-x|-巾的圖象與％軸有交點可化為方程(|)12T—巾=o有解，從而可得

m=(聯(lián)2-也從而求函數(shù)的值域即可.

【解答】

解：由題意，.：@|2-幻-6=0有解，

m=(1)|2-x|?

???|2-x|>0,

o<(|)i2-xi<1,

故0<rnW1,

故答案為：(0,1].

17.

【答案】

試卷第10頁，總19頁

1

{y|-<y<8}

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

由題意可得2T<2，T<23,即可求函數(shù)的值域

【解答】

解：,:0<x<4

*'.—1x—1V3

2-1<2Z-1<23BP|<y<8

故答案為：{y《Wy<8}

18.

【答案】

[0,+oo)

【考點】

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

原函數(shù)可看作由y=3，，t=2-3/復合得到，復合函數(shù)單調性判斷規(guī)則，原函數(shù)在

定義域上的單調遞減區(qū)間即為函數(shù)t=2-3M的單調遞減區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)圖象與

性質可求.

【解答】

解：由題意，函數(shù)y=32-3/的是一個復合函數(shù)，定義域為R,

外層函數(shù)是y=3、內層函數(shù)是t=2—3/,

由于外層函數(shù)y=31是增函數(shù)，內層函數(shù)t=%2+2x在(-8,0)上是增函數(shù)，在

(0,+8)上是減函數(shù)，

故復合函數(shù)y=32-3/的單調遞減區(qū)間是：(0,+8).

故答案為：[0,+8).

19.

【答案】

5

2

【考點】

指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

對a進行分類討論，分別題意和指數(shù)函數(shù)的單調性列出方程組，解得答案.

【解答】

解：當a>l時，函數(shù)〃x)=標+匕在定義域上是增函數(shù)，

1+b=0,

所以1

一+b=-1,

解得b=—l,三=0不符合題意舍去；

a

當0<a<1時，函數(shù)/Xx)=產+b在定義域上是減函數(shù),

(1+b=-1

所以1,C

—Fb=0,

a

解得b=-2,a=1,符合題意,

綜上a—b=|.

故答案為：|.

20.

【答案】

(0,1)

【考點】

函數(shù)的零點與方程根的關系

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

由題意可得方程t?+(m-3)t+m=0有兩個不相同的正實數(shù)實根，故有△>(),且兩

根之和3-m>0,兩根之積?n>0,由此求得m的取值范圍.

【解答】

解：令t=23則由題意可得方程/+51-3)1+加=0有兩個不相同的正實數(shù)實根,

故有4=(m—3)2—47n>0,

且兩根之和3-TH>0,兩根之積m>0,

解得0<mV1.

故答案為：(0,1).

21.

【答案】

3

爐7]

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

由于x€[-3,2],可得;4(1尸式8,令1=?尸，有y=t2-t+i=(t—}2+j,再

利用二次函數(shù)的性質求出它的最值.

【解答】

解：由于％6[—3,2],

三今<8.

令￡=?尸,

則有y=t2-t+1=(t-|)2

故當t=泄，y有最小值為京

當t=8時，y有最大值為57.

試卷第12頁，總19頁

故答案為：E，57］.

22.

【答案】

3

(-7>+8)

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

由題設條件可化為a>-等在8,1］上恒成立，求出一箸在xe(—8,1］上

的最大值即可.

【解答】

解：由題意，得1+2*+4%>0在工6(-8,1］上恒成立，

a>一詈在x6(-8,1］上恒成立.

又?.?t=-*=-(滬-5=-*+乎+%

當％6(-8,1］時t的值域為(-8,一習，

即a的取值范圍是(一+8)；

故答案為：(―［1+8).

23.

【答案】

口，2}

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

先將方程轉化為關于度的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通過解

簡單的指數(shù)方程得方程的解集

【解答】

解：4工一3-2>1+8=0

=0)2-6x2,+8=0

o(2丫-2)(2,-4)=0

o2》=2或2*=4

即x=1或x=2

故答案為{1,2}

24.

【答案】

1

(0，引

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

先利用配方法求出指數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求出值域即可.

【解答】

解：x2-2x+2=(x-I)2+1>1

函數(shù)y=G)*J2X+2的值域為(0,1]

故答案為：(0,

25.

【答案】

2

【考點】

基本不等式在最值問題中的應用

根與系數(shù)的關系

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

由題設可先將3、看作一個整體，將方程整理為一元二次方程，由根與系數(shù)的關系得到

?3初=4,即可得到與4-x2=2log32,進而再得到與％24(logs?)?.代入即可求得

受磅的最小值

X1X2

【解答】

解：原方程可化為(3%)2-(4+。)?3、+4=0,

.??3與-3&=4,

?'?%i+x2=2log32,

2

又(%1+X2)N4%1%2，

2

xrx2<(log32).

好+遙_01+0)2-2-制_4(喝2y_2>2

-Xi.X2XtX2XiX2-"

故答案為2

三、解答題(本題共計7小題，每題10分，共計70分)

26.

【答案】

解：函數(shù)y=2>2-3?4N

=22-2x-3?(2x)2

,444

=-3[(2^)2---2*+-]+-

3VS

=-3(2-)+1

當0]時，2、€質1],

當2"=|,即x=log?!=1-臉3時，函數(shù)y取得最大值/

當度=1,即x=0時，函數(shù)y取得最小值1；

函數(shù)y的值域是[1、].

【考點】

試卷第14頁，總19頁

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

根據(jù)函數(shù)y的解析式與自變量的取值范圍，求出函數(shù)y的最大、最小值即可.

【解答】

解：函數(shù)y=2*+2-3-4%

=22-2X-3?(2Z)2

444

=-3[(2")2---2-+-]+-

=-3(2一|)2+￡

當工€[-1,0]時，2XG[1,1],

當2%=|,即％=log?1=1—log??時，函數(shù)y取得最大值￡

當2%=1,即％=0時，函數(shù)y取得最小值1；

函數(shù)y的值域是[1,芻.

27.

【答案】

解：；/(%)定義域為，關于原點對稱。

且是奇函數(shù)；

解：

即的值域為；

證明：設，且，

(???分母大于零，且)

是上的增函數(shù).

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

(1)判斷函數(shù)奇偶性，先求定義域，關于原點對稱再求/(-君=-〃>),為奇函數(shù);

(2)求/(x)值域，先將“X)化簡，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域確定/(x)取值范圍.

(3)判斷函數(shù)單調性，取值，作差，變形，定號.

【解答】

此題暫無解答

28.

【答案】

解：(1)y=4》-2X+1+2=(2*)2-2-2X+2=(2X-1)2+1,

設t=2X,

?-TK2,拉2”4,Bpi<t<4.

(2)函數(shù)等價為y=，(t)=(t—1)2+1,

當t=4時，函數(shù)取得最大值/'(4)=3?+1=9+1=10,

當t=l時，函數(shù)取得最小值f(l)=1.

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

(1)利用換元法，結合指數(shù)函數(shù)的性質即可求出t的范圍.

(2)結合一元二次函數(shù)的性質進行求解.

【解答】

解：(1)y=4》-2Z+1+2=(2、)2一2?2丫+2=(2,一I/+1,

設1=2%

-1<x<2,1<2X<4,Bp1<t<4.

(2)函數(shù)等價為y=/(t)=(t-1>+1,

當t=4時，函數(shù)取得最大值,(4)=32+1=9+1=10,

當t=1時，函數(shù)取得最小值/(I)=1.

29.

【答案】

71<1.

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

結合指數(shù)函數(shù)的單調性解答即可.

【解答】

解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)/。)=M，當a>l時，函數(shù)是增函數(shù)；0<a<l時，函數(shù)是減函

數(shù)；

故n-1<0,

n<1,

30.

【答案】

解：由題意得，y=a2*+2亦=(a*+I/-1,

①若a>1時，由x6[-1,1]得:<a*<a,則當x=1,即a*=a時，函數(shù)取到最大

值，

(a+I)2—1=35,解得a-5或a——7(舍去)，

②若0<a<l時，由xe[—1,1]得a<a，<，則當x=-1,即a，=即寸，函數(shù)取到

最大值，

弓+1)2-1=35,解得a=巳或a=-之(舍去)，

綜上可知，a的值為5或也

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

【解析】

將a，看成一個整體，對解析式進平方后，化為關于謨的二次函數(shù)，再對a分類討論，

由指數(shù)函數(shù)的性質分別求出標的范圍，再由二次函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最大值，由

條件列出方程求解.

【解答】

解：由題意得，y=a2x+2ax=(ax4-1)2-1,

試卷第16頁，總19頁

①若a>1時，由xe[-1,1]得:<a*<a,則當x=l,即ax=a時，函數(shù)取到最大

值，

(a+-1=35,解得a=5或a=-7(舍去)，

②若0<a<l時，由x6[—1,1]得a<a*<，，則當x=—1,即時，函數(shù)取到

最大值，

6+1)2—1=35,解得a=：或。=—；(舍去)，

綜上可知，a的值為5或

【答案】

解：(1)因為函數(shù)圖象過點(0,-2),(2,0),

a0+b=—2解得憶嚼(舍去。=一仲，

所以

a2+b=0/

故a—V3,b——3.

(2)因為/"(￡)=(8)、一3,指數(shù)函數(shù)的底料>1

所以，該函數(shù)在定義域內單調遞增，

即當％6[-2,2]時，/Q)單調遞增，

所以/'(x)min=/(-2)=[-3=-半

/COmax=f⑵=3-3=0,

即/(x)的值域為卜*o].

【考點】

指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質

函數(shù)單調性的性質

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

(1)直接將圖象所過的點代入解析式，得出卜:+?=二，解出值=V3.

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)=(V3)X-3單調遞增求其最值.

【解答】

解:(1)因為函數(shù)圖象過點(0,-2),(2,0),

所以+°=一2,解得收=V3,(舍去。=一百),

(a2+b=0,(b=-3,

故a=V3fb=-3.

(2)因為/(%)=(y司”一3,指數(shù)函數(shù)的底次>1

所以，該函數(shù)在定義域內單調遞增，

即當％6[—2,2]時,/(x)單調遞增，

所以/'(X)min=/(-2)=|-3=~|,

f(X)max=f⑵=3-3=0,

即f(X)的值域為卜|,0].

32.

【答案】

由于二次函數(shù)g(x)=a%2-