備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)沖刺專項訓(xùn)練（全國）專題14 幾何綜合六種模型（原卷版）

專題14幾何綜合六種模型通用的解題思路：題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型平面內(nèi)有兩點A，B，再找一點C，使得ABC為直角三角形分類討論:若∠A=90°,則點C在過點A且垂直于AB的直線上(除點A外);若∠B=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上(除點B外);若∠C=90°,則點C在以AB為直徑的圓上(除點A,B外).以上簡稱“兩垂一圓”.“兩垂一圓”上的點能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點.題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型分類討論:若AB=AC,則點C在以點A為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若BA=BC,則點C在以點B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”“兩圓一中垂”上的點能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點MN以及線段AB中點E(共除去5個點)需要注意細(xì)節(jié)題型三：胡不歸模型【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。題型四：阿氏圓模型【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運動軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段?！咀钪翟怼縿狱c軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。3）確定動點軌跡的方法（重點）=1\*GB3①當(dāng)某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）【模型解讀】模型1、運動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿狱c的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型1．（2023?安溪縣二模）如圖，是半圓的直徑，，與半圓相切于點，連接并延長，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若的半徑為5，，求的長．2．（2023?平房區(qū)二模）如圖1，內(nèi)接于中，為直徑，點在弧上，連接，．（1）求證：；（2）如圖2，連接交于點，若，求證：；（3）在（2）的條件下，如圖3，點在線段上，連接，交于點，若，，，求線段的長．3．（2022?蔡甸區(qū)校級模擬）如圖，點是正方形邊上一點（點不與、重合），連接交對角線于點，的外接圓交邊于點，連接、．（1）求的度數(shù)；（2）若，求．4．（2023?懷化）如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．（1）求證：為的切線；（2）延長與的延長線交于點，求證：；（3）若，，求陰影部分的面積．5．（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，頂點為的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，點在該圖象上，交其對稱軸于點，點、關(guān)于點對稱，連接，．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點的坐標(biāo)是，求的面積；（3）當(dāng)點在對稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題：①求證：；②若為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．6．（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片．濱城學(xué)校九年級（3）班的項目式學(xué)習(xí)團隊計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度．【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上．?dāng)M測算的寫字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖．【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團隊分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當(dāng)1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀觀測寫字樓最高處點，觀測數(shù)據(jù)如表（觀測誤差忽略不計）．1號轎廂測量情況4號轎廂測量情況10號轎廂測量情況【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（1）如圖3，請連接、，則；（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置點的高度．（結(jié)果保留根號）【任務(wù)二】推理分析，估算實際高度（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算寫字樓的實際高度．（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，7．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對角線、相交于點，在上取一點，使得，過點作交于點、．（1）證明：．（2）如圖2，若，且恰好經(jīng)過圓心，求的值．（3）若，，設(shè)的長為．①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長．②如圖4，恰好經(jīng)過圓心，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型1．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰中，，是的中點，為邊上任意一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，點恰好是的中點，連接，求證：；（3）如圖3，若，連接，當(dāng)取得最小值時．請直接寫出的值．2．（2023春?璧山區(qū)校級期中）如圖，直線經(jīng)過點和兩點，將沿直線對折使點和點重合，直線與軸交于點與交于點，點的縱坐標(biāo)為2，連接．（1）求直線的解析式；（2）若點在軸的負(fù)半軸上，且的面積為10，求的周長；（3）已知軸上有一點，若以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．

題型三：胡不歸模型1．（2023?湘潭縣校級三模）如圖，拋物線與軸相交于點，，與軸交于點，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）若點為軸上一個動點，連接，求的最小值；（3）連接，在軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023?徐州二模）拋物線與直線相交于、兩點，與軸相交于點，點在軸的負(fù)半軸上．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點的坐標(biāo)；（2）如圖1，直線上方的拋物線上有一動點，過點作于點，求垂線段的最大值；（3）如圖2，當(dāng)點運動到拋物線對稱軸右側(cè)時，連接，交拋物線的對稱軸于點，當(dāng)最小時，直接寫出此時的長度．3．（2023?丘北縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段上方拋物線上一動點，點是軸上的動點，連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的最小值．4．（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），交軸于點，點為拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．（1）連接，點是線段上一動點（點不與端點，重合），過點作，交拋物線于點（點在對稱軸的右側(cè)），過點作軸，垂足為，交于點，點是線段上一動點，當(dāng)取得最大值時，求的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)取得最大值，取得最小值時，把點向上平移個單位得到點，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023?江城區(qū)三模）如圖，拋物線交軸于，兩點（點在點左側(cè)），交軸于點，直線經(jīng)過點、，點是線段上的一動點（不與點，重合）．（1）求，兩點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求的最小值及此時點的坐標(biāo)；（3）連接，當(dāng)與相似時，求出點的坐標(biāo)．6．（2024?宿遷模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），交軸于點，點的坐標(biāo)為，點為拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．（1）填空：，點的坐標(biāo)是；（2）連接，點是線段上一動點（點不與端點，重合），過點作，交拋物線于點（點在對稱軸的右側(cè)），過點作軸，垂足為，交于點，點是線段上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時，求的最小值；（3）在（2）中，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時，取得最小值時，如圖2，把點向下平移個單位得到點，連接，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（2023?南山區(qū)三模）如圖，在中，，，經(jīng)過點，且圓的直徑在線段上．（1）試說明是的切線；（2）若中邊上的高為，試用含的代數(shù)式表示的直徑；（3）設(shè)點是線段上任意一點（不含端點），連接，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，求的直徑的長．題型四：阿氏圓模型1．（2024?長沙模擬）閱讀材料，回答下列小題．閱讀材料調(diào)和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學(xué)家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關(guān)系的點列：調(diào)和點列．我們定義：若一直線上依次存在四點，，，，滿足，則稱，，，為調(diào)和點列．從直線外一點引射線，，，，則稱，，，為調(diào)和線束．（1）如圖1，過圓外一點作圓的切線，，并引圓的割線，設(shè)與交于點．①求證：，，，是調(diào)和點列．②求證：．閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對于平面上的兩定點，和平面上一動點，若到和的距離之比為定值，則點的軌跡是一個圓，我們稱該圓是點關(guān)于的“阿氏圓”．（2）根據(jù)閱讀材料1，2，回答①②小題．（本題圖未給出）①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置．②若點關(guān)于的“阿氏圓”交于，，求證：，，，為調(diào)和點列．（3）如圖2，是平行四邊形，是三角形的重心，點，在直線上，滿足與垂直，與垂直．求證：平分．2．（2024?萊蕪區(qū)校級模擬）在中，，．若點為上一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，點為的中點，連接交于點．若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，若，為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)得△，連接、，當(dāng)最小時，求．3．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形中，，過點作交過點的直線于點，，直線交于．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，過點作交于點，交的延長線于，取線段的中點，連接，求證：．（3）在（2）的條件下，過點作交于點，若點是線段上任一點，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為△，當(dāng)取得最小時，直接寫出的值．4．（2022?從化區(qū)一模）已知，是的直徑，，．（1）求弦的長；（2）若點是下方上的動點（不與點，重合），以為邊，作正方形，如圖1所示，若是的中點，是的中點，求證：線段的長為定值；（3）如圖2，點是動點，且，連接，，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段勻速運動到點，再以每秒1個單位的速度沿線段勻速運動到點，到達(dá)點后停止運動，求點的運動時間的最小值．5．（2022?市中區(qū)校級模擬）如圖，在與中，，，，點在上．（1）如圖1，若點在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點與點重合，且，，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接，點為的中點，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；（3）如圖3，若點為的中點，連接、交于點，交于點，且，請直接寫出的值．

題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）1．（2022?沈陽）【特例感知】（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點在上，點在的延長線上，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．【方法運用】（3）如圖3，若，點是線段外一動點，，連接．①若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值是；②若以為斜邊作，，三點按順時針排列），，連接，當(dāng)時，直接寫出的值．2．（2021?武進區(qū)模擬）如圖①，二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，連接，點是拋物線上一動點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)點不與點、重合時，作直線，交直線于點，若的面積是面積的4倍，求點的橫坐標(biāo)．（3）如圖②，當(dāng)點在第一象限時，連接，交線段于點，以為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，的面積是否變化？如果不變，請求出的面積；如果變化