高中數(shù)學(xué)1新教學(xué)案221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

選修2—12.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)案）

（第2課時(shí)）

，學(xué)海導(dǎo)航）

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；2.求與橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

【學(xué)習(xí)要求】

1.牢固掌握橢圓的有關(guān)概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；

2.會(huì)求與橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

學(xué)習(xí)探究

【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第34頁(yè)?第36頁(yè)）

1.求曲線軌跡的一般步驟：,

2.復(fù)習(xí)課本38?41并完成下面表格

￡+看=1（〃小0）

標(biāo)準(zhǔn)方程￡-+21=1（a>b>0）

b2a~

圖

不

同形

點(diǎn)

焦點(diǎn)坐標(biāo)

定義

相

同

a、b、c的關(guān)系

點(diǎn)

焦點(diǎn)位置的判斷

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.若方程ax2表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，則（）.

（A）a〉b>0（8）a>0,b>0（C）b>a>0（D）->-

cc

22

2.”>2”是“方程工+工=1表示的曲線是橢圓”的（）.

k-25-k

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（。）既不充分也不必要條件

3.己知B、C是兩個(gè)定點(diǎn),BC=6,且4ABC的周長(zhǎng)等于16,則頂點(diǎn)A的軌跡為.

4.（2008浙江）已知耳、乃為橢圓上+方~=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線交橢圓于A、

B兩點(diǎn)若怩刈+怩.=12,則|蝴=.

【典型例題】

例1如圖，在圓f+y2=4上任取一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PP,P'為垂

足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PP'的中點(diǎn)”的軌跡

是什么？為什么?

變式練習(xí)：設(shè)定點(diǎn)A（6,2）,P是橢圓￡+5=1上動(dòng)點(diǎn)，求線段AP中點(diǎn)M的軌跡

方程.

例2如圖，設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為（—5,0）,（5,0）.直線AM,相交于點(diǎn)M,

4

且它們的斜率之積為-一，求點(diǎn)朋的軌跡方程.

9

變式練習(xí)：如圖，設(shè)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（—a,0）,3（a,0）,頂點(diǎn)C在移動(dòng)，且

^ACX^BCk,且％<0,試求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.

」自我目評(píng)

34

I.以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)P(-,一4)和Q(一彳，3),則此橢圓的方程

5

是().

2一

廠-2

(A)--------rX-1(B)---1-y=1

2525

22

y21Tx21

(C)——+x=1或一+V=I(D)以上都不對(duì)

2525

2.已知橢圓的方程是烏+匯=1(。＞5),它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為H、F2,且|FF2l=8,

a25

弦AB過(guò)Fi，則aABF2的周長(zhǎng)為().

(A)10(B)20(C)2741(D)4741

22---------------------

3.若橢圓二+3=1過(guò)點(diǎn)(-2,V3),則其焦距為().

16b?---------

(A)(2^](B)(C)(D)

4.如果橢圓林+W=1上一點(diǎn)M到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)Ft的距離為2,N是MF；的中點(diǎn),

O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON的長(zhǎng)為().

(A)2(B)4(C)8(D)-

2

5.如果=2表示焦點(diǎn)在)，軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是().

(A)(0,+8)(B)(0,2)(C)(l,+oo)(D)(0,1)

22

6.點(diǎn)P是橢圓￡+y=1上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)R、艮為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

7.若橢圓方程為上一+二一=1,則Ze

9-kk—l

8.一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(1,0),且與定圓(x+l)2=16相切，則動(dòng)圓圓心軌跡方程

是.

2

9.長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為孑,

求點(diǎn)M的軌跡方程

10.已知》軸上的一定點(diǎn)A(1,0),Q為橢圓上-+>2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方

I拓展提商:

1.(08年浙江卷)已知耳、尸2為橢圓寶+言=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線交橢圓于

A、B兩點(diǎn)若|5+區(qū)目=12,則|蝴=.

x2y2

2.如圖，把橢圓一+上-=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，

2516

過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作無(wú)軸的垂線交橢圓的上半部分于

6,名，呂，與，侶，侶，8七個(gè)點(diǎn)，廠是橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn),則|片戶|+區(qū)戶|+舊戶|+出戶|+區(qū)戶|+出戶|+|與戶|=

選修2—12.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教案）

（第2課時(shí)）

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生牢固掌握橢圓的有關(guān)概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;

2.會(huì)求與橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

【重點(diǎn)】

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；坐標(biāo)法的基本思想.

【難點(diǎn)】

求與橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程以及坐標(biāo)法的應(yīng)用.

⑥菊......

,［學(xué)習(xí)探究

【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第34頁(yè)?第36頁(yè)）

1.求曲線軌跡的一般步驟：建系、寫(xiě)點(diǎn)，找關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何相等關(guān)系，將上述相

等關(guān)系坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)，檢驗(yàn).

2.復(fù)習(xí)課本38?41并完成下面表格

22

標(biāo)準(zhǔn)方程'+±1(”>b>0)

a2b2V)

圖y

不

同形

點(diǎn)1-5-

焦點(diǎn)坐標(biāo)(-c,0)和(c,0)(0,-。)和(0,t?)

定義\PF\+\PF|=〃(2a>W居1)

相l(xiāng)2

同

a>b、c的關(guān)系a2^b2+c2

點(diǎn)

焦點(diǎn)位置的判斷根據(jù)分母的大小

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.若方程ax?+〃/=以4仍。0,（;>0）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（C）.

ah

(A)a>b>0(B)a>0,b>0(C)b>a>0(D)->-

cc

22

2>2”是“方程二^+工=1表示的曲線是橢圓”的(B).

k-25-k

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(。)既不充分也不必要條件

3.已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn),BC=6,且AABC的周長(zhǎng)等于16,則頂點(diǎn)A的軌跡為以BC為

焦點(diǎn)的橢圓(去掉與直線BC的兩個(gè)交點(diǎn)).

22

4.(2008浙江)已知《、心為橢圓彳+'-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)大的直線交橢圓于A、

B兩點(diǎn)若因目+|瑪目=12,則|例=8.

【典型例題】

例1如圖，在圓V+y2=4上任取一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作X軸的垂線段PP',P，為垂

足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡是

什么？為什么？

【審題要津】點(diǎn)尸在圓爐+9=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的

運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).我們可以由M為線段的中點(diǎn)得

到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足

圓的方程得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程，即為點(diǎn)M的軌

跡方程.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(須),%),則x=Xo，y=費(fèi),

二%=x，M)=2y.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓/+/=4上，

2222

所以有x0+y0=4,即x+4y=4

2

即—+y2=1

4

所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.

【方法總結(jié)】若點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)M的

坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)存在一定的關(guān)系，我們就把點(diǎn)P與點(diǎn)M稱為相關(guān)點(diǎn).根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)

與點(diǎn)P的坐標(biāo)間的關(guān)系，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo),將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入已知曲線方程,

就可以得到點(diǎn)M的軌跡方程.我們稱這種求點(diǎn)的軌跡方程的方法為相關(guān)點(diǎn)法.

變式練習(xí)：設(shè)定點(diǎn)A（6,2）,P是橢圓|^+三=1上動(dòng)點(diǎn)，求線段AP中點(diǎn)”的軌跡

方程.

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為乂,為）

.二點(diǎn)M是線段AP中點(diǎn)，空“三,

x0=2x-6,y0=2y-2.

又點(diǎn)P在橢圓上，

所以，（2--6）--+二2）二=1即為點(diǎn)加的軌跡方程.

259

例2如圖，設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為（—5,0）,（5,0）.直線AM,相交于點(diǎn)M,

4

且它們的斜率之積為-一，求點(diǎn)朋的軌跡方程.

9

【審題要津】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,那么直線

AM,6例的斜率就可以用含的式子表示.由于直線

4

AM,BM的斜率之積是--,因此可以建立x,y之間的關(guān)

系式，得出點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5,0）,所以，直線4W的斜率

V

=----（%*-5）；

x+5

同理，直線的斜率

"三V（E）；

由已知有

4

上X上=-§（%工±5），

x+5x-5

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為

22

全+占萬(wàn)2±5）.

9

【方法總結(jié)】此類(lèi)題目有兩大關(guān)鍵，一是找出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何相等關(guān)系，二是將幾何相

等關(guān)系坐標(biāo)化.

變式練習(xí)：如圖，設(shè)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（—a,0）,3（a,0）,頂點(diǎn)C在移動(dòng)，且

kACxkBC=k,且太＜(),試求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),所以，直線AC的斜率

y

k二（%W—。）；

x+a

同理，直線5c的斜率

y

kBC=（冗。Q）；

x-a

由己知有

———x———=k（xw±a）,

x+ax-a

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)。的軌跡方程為

22

j)—?工±。).

a2-kcr

自莪測(cè)評(píng)

34

1.以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)P(y,—4)和Q(一彳，3),則此橢圓的方程

是(A).

22

(A)-^―+x2=1(B)—+y2=1

2525

22

(C)---Fx"=1或---1-_y~-1(D)以上都不對(duì)

2525-

2.已知橢圓的方程是二+?2=1(。＞5),它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為B、F?,且|FF2l=8,

a25

弦AB過(guò)F|,則AABF2的周長(zhǎng)為(D).

(A)10(B)20(C)2A/41(D)4741

22______________

3.若橢圓弓+a=1過(guò)點(diǎn)(―2,6),則其焦距為(C).

16b“---------

(A)國(guó)(B)函(C)逋(D)透

4.如果橢圓加+=1上一點(diǎn)M到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)大的距離為2,N是次的中點(diǎn),

O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON的長(zhǎng)為(C).

、3

(A)2(B)4(C)8(zD)-

2

5.如果12+Q；2=2表示焦點(diǎn)在)，軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)％的取值范圍是(D).

(A)(0,+8)(B)(0,2)(C)(l,+oo)(D)(0,1)

22

6.點(diǎn)P是橢圓點(diǎn)+:=1上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)B、Fz為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±巫,1),(土姮,一1)

22

7.若橢圓方程為二一+二一=1,則ke(1,5)U(5,9).

9-kk-1-------

8.一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(1,0),且與定圓(x+l)2+;/=16相切，則動(dòng)圓圓心軌跡方程

是=1.

43

2

9.長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為w，

求點(diǎn)M的軌跡方程

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)用的坐標(biāo)為(九,y),則A的坐標(biāo)為(|x,0)8的坐標(biāo)為(0,|y)

y

因?yàn)閨A6|=2,B

552525/L

所以有中)2+(力)2=4,即高/+?y2=40、、

所以點(diǎn)M