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2022年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(初級中學(xué))真題及答案1.【單項(xiàng)選擇題】極限的值是()。A.0B.1C.2D.∞正確答案:A參考解析:2.【單項(xiàng)選擇題】已知向量a和b,|a|=3,|b|=2,a⊥b,則(a+2b)(a-b)的值是()。A.-7B.-1C.1D.7正確答案:C參考解析:因?yàn)閍,b垂直,所以ab=0,(a+2b)(a-b)=a2-ab+2ab-2b2=9-0+0-2×4=1。故本題選C。3.【單項(xiàng)選擇題】行列式表示一元三次方程中,一次的系數(shù)是()。A.-3B.-2C.2D.3正確答案:A參考解析:,一次項(xiàng)系數(shù)為-3。4.【單項(xiàng)選擇題】同時(shí)投擲一枚硬幣和骰子,硬幣正面朝上且骰子點(diǎn)數(shù)大于4的概率是()。A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3正確答案:A參考解析:正面朝上的概率1/2,骰子點(diǎn)數(shù)大于4點(diǎn)為5和6點(diǎn),出現(xiàn)的概率1/3,同時(shí)滿足兩種情況時(shí),由分布乘法原理1/2?1/3=1/6。故本題選A。5.【單項(xiàng)選擇題】對于定義在R上的函數(shù),下列結(jié)論一定正確的是()。A.奇函數(shù)與偶函數(shù)的和為偶函數(shù)B.奇函數(shù)與偶函數(shù)的和為奇函數(shù)C.奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為偶函數(shù)D.奇函數(shù)與偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)正確答案:D參考解析:設(shè)復(fù)合函數(shù)為F(g(x)),根據(jù)復(fù)合函數(shù)奇偶性“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”可得:當(dāng)g(x)為奇函數(shù)且F(x)為偶函數(shù)時(shí),F(xiàn)(g(x))的奇偶性與F(x)一致,則F(g(x))為偶函數(shù);當(dāng)g(x)為偶函數(shù)且F(x)為奇函數(shù)時(shí),F(xiàn)g(x)的奇偶性與g(x)一致,則Fg(x)為偶函數(shù)。故本題選D.6.【單項(xiàng)選擇題】已知矩陣,則求得PQ是()。A.B.C.D.正確答案:B參考解析:矩陣相乘,P的第一行乘以Q的第一列,2×1+1×(-1)+(-1)×0=1,P的第一行乘以Q的第二列,2×0+1×1+(-1)×1=0,P的第二行乘以Q的第一列,1×1+0×(-1)+1×0=1,P的第二行乘以Q的第二列,1×0+0×1+1×1=17.【單項(xiàng)選擇題】下列數(shù)學(xué)概念中,用“屬概念加和差”方式定義的是()。A.正方形B.平行四邊形C.有理數(shù)D.集合正確答案:B參考解析:平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形,這種定義方式屬于屬加種差的定義方式。故本題選B8.【單項(xiàng)選擇題】下列數(shù)學(xué)成就是中國著名數(shù)學(xué)成就的是()。①勾股定理②對數(shù)③割圓術(shù)④更相減提術(shù)A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④正確答案:C參考解析:①、③、④都屬于中國古代的數(shù)學(xué)成就,而②中提到的對數(shù)是英國科學(xué)家約翰納皮爾發(fā)明的。故本題選C。9.【簡答題】某支舞蹈隊(duì)有4男6女,從中選3人參加比賽,如選到1名男,2名女的概率?請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:1/2【解析】滿足條件從10個(gè)人選3人,男生從4人中選1人,女生從6人中選取3人??傻?0.【簡答題】已知函數(shù),求f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:-7【解析】11.【簡答題】已知,設(shè)A為n階矩陣,E為n階單位矩陣若A可逆,試用A表示;若A不可逆,說明理由。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:12.【簡答題】簡述研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)單調(diào)性的兩種方法。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:法一:圖形法。根據(jù)函數(shù)的開口方向,以及對稱軸的位置確定所在區(qū)間上二次函數(shù)的單調(diào)性。法二:導(dǎo)數(shù)法??梢韵葘Χ魏瘮?shù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)數(shù)在所求區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)值,如果f'(x)>0則f(x)單調(diào)遞增;如果f(0)<0,則(x)單調(diào)遞減。13.【簡答題】畫出數(shù)軸并指出解釋|x+1|+|x+2|=1有無窮多個(gè)。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:根據(jù)絕對值的幾何意義知,|x+1|+|x+2|=1表示數(shù)軸上的點(diǎn)x與-1、-2在數(shù)軸上所對應(yīng)點(diǎn)的距離和等于1,所以點(diǎn)x可以在數(shù)軸上表示為[-2,-1]內(nèi)的任意一-點(diǎn)、如下圖所示:所以該方程的解有無窮多個(gè)。14.【解答題】對于平面上的任意的三點(diǎn)給出如下定義:(1)若A(-1,0),B(1,0),C(0,1),求M(A,B,C)與M(A,C,B)的值(4分)(2)判斷M(A,C,B)與三角形ABC的面積S的關(guān)系,只寫出來結(jié)果(3分)(3)在(1)的條件下,若點(diǎn)P(x,y)是以(1,2)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn),求M(A,B.P)的最大值。(3分)。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:(1)1,-1;(2)相等;(3)315.【論述題】論述數(shù)學(xué)史在教育教學(xué)各階段(導(dǎo)入、探索、應(yīng)用)的作用。請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:導(dǎo)入階段:畢達(dá)哥拉斯的故事可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,認(rèn)識(shí)到偉大的發(fā)現(xiàn)都是來源于生活的。只要善于觀察,勇于提問每一個(gè)人都有可能成為數(shù)學(xué)家。同時(shí),在導(dǎo)入環(huán)節(jié)從等腰直角三角形入手開始研究初步地滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。探索階段:學(xué)生從等腰三角形到一般的直角三角形的探索過程中都發(fā)現(xiàn)了兩條直角邊與斜邊的關(guān)系,此時(shí)學(xué)生可以理解數(shù)學(xué)史導(dǎo)入中所遺留的困惑,同時(shí)也會(huì)深入體會(huì)畢達(dá)哥拉斯所用到的數(shù)形結(jié)合的研究方法。另外以斜邊為邊長的正方形的面積的求解方法-補(bǔ)全與分割,這也是古代數(shù)學(xué)家常用的轉(zhuǎn)化的方法。這樣的話,數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容密切聯(lián)系,為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)服務(wù)。應(yīng)用階段:學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的神奇與偉大,感受古人的聰明才智,同時(shí)也對從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合的思想有更深入的認(rèn)識(shí)。16.【案例分析題】在一元二次方程概念教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)中,甲乙兩位教師設(shè)計(jì)了如下問題:(甲)問題1:同學(xué)們知道哪些方程(組)?問題2:你能類比一元一次方程的定義給出一元二次方程的定義嗎?問題3:請每位同學(xué)各自寫出兩個(gè)一元二次方程,若用一個(gè)式子表示所有一元二次方程,你會(huì)用什么來表示呢?(乙)問題1:根據(jù)下列問題思考①圓的面積為16,求其半徑r②要組織一場籃球賽,參賽任意兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場,賽程計(jì)劃7天,每天4場,總共要邀請x個(gè)隊(duì)參加,求x;③用一條長40cm的繩子圍成一個(gè)面積為75平方厘米的矩形,求矩形的長x。問題2:觀察列出的3個(gè)方程,它們有什么共同特征?(1)寫出教師乙提出問題中的三個(gè)方程;(6分)(2)分別指出各自的優(yōu)點(diǎn),并談?wù)剢栴}情境在教學(xué)中的作用。(14分)請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:(2)甲:通過舊知類比遷移新知。乙:與生活實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合。作用:問題是數(shù)學(xué)的心臟,給學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有探究力度、可望可及的問題情境,能吸引學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)達(dá)到更好的效果。17.【教學(xué)設(shè)計(jì)題】平行線的判定根據(jù)平行線的定義,如果平面內(nèi)的兩條直線不相交,就可以判斷這兩條直線平行.但是,由于直線無限延伸,檢驗(yàn)它們是否相交有困難,所以難以直接根據(jù)定義來判斷兩條直線是否平行,那么,有沒有其他判定方法呢?思考:我們以前已學(xué)過用直尺和三角尺畫平行線(圖5.2-5),在這一過程中,三角尺起著什么樣的作用?簡化圖5.2-5得到圖5.2-6.可以看出,畫直線AB的平行線CD,實(shí)際上就是過點(diǎn)P畫與∠2相等的∠1,而∠2和∠1正是直線AB,CD被直線EF截得的同位角.這說明,如果同位角相等,那么AB//CD.一般地,有如下利用同位角判定兩條直線平行的方法:判定方法1兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.簡單說成:同位角相等,兩直線平行,(1)說出其它判定方法,并使用判定方法1證明;(8分)(2)寫教學(xué)設(shè)計(jì),包含教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)、教學(xué)過程。(指導(dǎo)教學(xué)的活動(dòng)及設(shè)計(jì)意圖)(22分)請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷:答對了答錯(cuò)了參考解析:(1)兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ)),那么兩直線平行。證明略。(2)評分標(biāo)準(zhǔn):(一)25-301.切合主題,符合學(xué)情⒉.教學(xué)方法明確3.三維目標(biāo)表述具體正確4.重難點(diǎn)適宜且突出5.教學(xué)過程:教學(xué)方法與內(nèi)容及目標(biāo)匹配,教學(xué)環(huán)節(jié)詳細(xì)完整(一般包括導(dǎo)入、新授、鞏固、小結(jié)、作業(yè)等環(huán)節(jié)))邏輯性好且能支持重點(diǎn)目標(biāo)的達(dá)成6.教學(xué)內(nèi)容充實(shí)、教學(xué)形式多樣、有趣7.教學(xué)過程符合數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)思路,創(chuàng)新點(diǎn)或者亮點(diǎn)至少1處以上8.字體工整,表述清楚,書面表達(dá)合理,符合題目要求(二)20-251.切合主題,符合學(xué)情2.教學(xué)方法明確3.三維目標(biāo)表述具體正確4.重難點(diǎn)適宜且突出5.教學(xué)過程:教學(xué)方法與內(nèi)容及目標(biāo)匹配,教
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