專題8.2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征（七個重難點(diǎn)突破）（原卷版）

專題8.2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征知識點(diǎn)1隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母，…表示．離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個值()的概率，則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱為X的分布列.X……P……有時也用等式表示X的分布列．②離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）(i＝1，2，…，n)；（2）．知識點(diǎn)2兩點(diǎn)分布的分布列若隨機(jī)變量的分布列為兩點(diǎn)分布列,就稱服從兩點(diǎn)分布或分布,并稱為成功概率.知識點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的均值與方差①離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X……P……（1）稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）稱為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．方差的變形：②均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，則重難點(diǎn)1隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的辨析【例1】下面給出四個隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報警次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張．他決定隨機(jī)抽出兩張用來買晚餐，用表示這兩張金額之和，則的可能取值為．【變式11】下列變量中哪些是隨機(jī)變量？如果是隨機(jī)變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號為1，2，3，3，4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號為X；(2)明天的降雨量L（單位：mm）；(3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X．【變式12】連續(xù)不斷地射擊某一目標(biāo)，首先擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)是一個隨機(jī)變量，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是．【變式13】某公司的員工是按照下述方式獲取稅前的月工資：底薪1000元，設(shè)工作1h再獲得40元，從該公司員工中任意抽取一名用Y表示所獲月工資（單位：元）.（X為工作小時數(shù)）(1)當(dāng)時，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關(guān)系式．判斷一個隨機(jī)變量判斷一個隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的具體方法:（1）明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（2）將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；（3）確定試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.重難點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．【例4】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的分布列.【變式21】擲兩顆骰子，用X表示兩點(diǎn)數(shù)差的絕對值.求X的分布.【變式22】同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．(1)同學(xué)甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為，求的分布列．【變式23】中國的CT機(jī)打破了歐美30年的技術(shù)壟斷，實(shí)現(xiàn)了從無到有的突破，中國的CT機(jī)不僅在技術(shù)上達(dá)到了國際水平，而且在價格上也更具競爭力.此外，中國的CT機(jī)還具有更好的定制化服務(wù)，能夠更好地滿足不同地區(qū)和不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的需求，明峰醫(yī)療和聯(lián)影醫(yī)療是中國CT機(jī)行業(yè)中的佼佼者.2023年8月某醫(yī)院購進(jìn)甲型CT機(jī)2臺，乙型CT機(jī)1臺，該醫(yī)院決定按照以下方案調(diào)試新機(jī)器：每臺設(shè)備最多進(jìn)行2次調(diào)試，只要調(diào)試成功就投入使用，每次調(diào)試費(fèi)用0元：如果兩次調(diào)試均不成功，則邀請生產(chǎn)商上門調(diào)試，生產(chǎn)商調(diào)試一臺醫(yī)院調(diào)試不成功的CT機(jī)需要額外支付1000元，生產(chǎn)商調(diào)試后直接投入使用；其中醫(yī)院對甲機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，對乙機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，調(diào)試相互獨(dú)立.(1)求醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門調(diào)試的概率；(2)計(jì)算醫(yī)院支付調(diào)試費(fèi)用的分布列.求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：（1）理解的意義,寫出可能取的全部值；（2）求取每個值的概率；（3）寫出的分布列.重難點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例5】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pp則p為（

）．A． B． C． D．【例6】若離散型隨機(jī)變量X的分布列為，則的值為（

）.A． B． C． D．【變式31】隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則可以為（

）A． B． C． D．【變式32】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【變式33】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則常數(shù).分布分布列性質(zhì)的兩個作用：（1）利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性；（2）隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率.重難點(diǎn)4兩點(diǎn)分布【例7】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【例8】袋內(nèi)有10個紅球，5個白球，從中摸出2個球，記求的分布列．【變式41】已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【變式42】已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則．【變式43】已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的概率分布．兩步法判斷一個分布是否為兩點(diǎn)分布兩步法判斷一個分布是否為兩點(diǎn)分布：（1）看取值:隨機(jī)變量只取兩個值和；（2）驗(yàn)概率:檢驗(yàn)是否成立；如果一個分布滿足以上兩點(diǎn),則該分布是兩點(diǎn)分布,否則不是兩點(diǎn)分布.重難點(diǎn)5求離散型隨機(jī)變量的均值、方差【例9】已知隨機(jī)變量的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A． B．C． D．【例10】已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【變式51】某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會.一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨(dú)立，則小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為；他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【變式52】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為其中．則下列說法正確的是（

）012A． B．C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值【變式53】設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下圖所示，則下列說法正確的有（

）X012PA．恒為1 B．隨增大而增大C．恒為 D．最小值為0求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟：（1）理解的實(shí)際意義,并寫出的全部取值；（2）求出取每個值的概率；（3）寫出的分布列(有時也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式計(jì)算即可重難點(diǎn)6均值及方差性質(zhì)【例11】已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101P設(shè)Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【例12】已知離散型隨機(jī)變量的分布列為若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．0 C． D．【變式61】已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【變式62】若隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）01A． B．2 C． D．【變式63】設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B．C． D．對于對于型的隨機(jī)變量,則有，重難點(diǎn)7均值與方差在決策中的應(yīng)用【例13】某市甲?乙兩個企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場份額，推向國內(nèi)外，創(chuàng)造更高的收益，準(zhǔn)備從甲?乙兩個企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會.現(xiàn)從甲?乙兩個企業(yè)中各隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：甲9089938791乙9189908892規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為“優(yōu)質(zhì)品”，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體，頻率作為概率，求解以下問題：（1）若從甲?乙兩個企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出2件去參加2021年的廣交會，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機(jī)取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；（3）若兩個企業(yè)中只能選一個企業(yè)參加這次廣交會，如果你是該市貿(mào)易部門的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性方面考慮，你會選擇哪個企業(yè)？【例14】甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個方案，方案一：執(zhí)行投資計(jì)劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢，聘請費(fèi)用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，則執(zhí)行投資計(jì)劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測不一定正確，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟(jì)形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好的概率是，經(jīng)濟(jì)形勢不好的概率是.(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟(jì)形勢好的概率；(2)根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個方案？說明理由.【變式71】學(xué)校進(jìn)行足球?qū)ｍ?xiàng)測試考核，考核分“定位球傳準(zhǔn)”和“20米運(yùn)球繞桿射門”兩個項(xiàng)目.規(guī)定：“定位球傳準(zhǔn)”考核合格得4分，否則得0分；“20米運(yùn)球繞桿射門”考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將某班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，一組先進(jìn)行“20米運(yùn)球繞桿射門”考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無需進(jìn)行下一個項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個項(xiàng)目進(jìn)行考核，無論第二個項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明“定位球傳準(zhǔn)”考核合格的概率為0.8，“20米運(yùn)球繞桿射門”考核合格的概率為0.7，且每個項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無關(guān).(1)若小明先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，記為小明結(jié)束考核后的累計(jì)得分，求的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個項(xiàng)目的考核？并說明理由.【變式72】某超市計(jì)劃按天從廠家訂購酸奶，每瓶進(jìn)價為4元，零售價為6元，若進(jìn)貨不足，則該超市以每瓶5元的價格進(jìn)行補(bǔ)貨，若銷售有余，則廠家以3元回購，為此該超市收集并整理了30天這種酸奶的銷售記錄，得到了如下數(shù)據(jù)：銷售瓶數(shù)2030405060頻數(shù)361263以頻率代替概率，記為這家超市每天銷售該酸奶的瓶數(shù)，表示超市每天購進(jìn)該酸奶的瓶數(shù).(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以銷售該酸奶所得的利潤的期望為決策依據(jù)，在和之中選一個，應(yīng)選用哪個？【變式73】現(xiàn)有人要通過化驗(yàn)來確定是否患有某種疾病，化驗(yàn)結(jié)果陽性視為患有該疾?。?yàn)方案：先將這人化驗(yàn)樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽性，則還要對每個人再做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．已知這人未患該疾病的概率均為，是否患有該疾病相互獨(dú)立．(1)按照方案化驗(yàn)，求這人的總化驗(yàn)次數(shù)的分布列；(2)化驗(yàn)方案：先將這人隨機(jī)分成兩組，每組人，將每組的人的樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽性，則還需要對這人再各做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．若每種方案每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，且，問方案和中哪個化驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望更?。侩S機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個數(shù)為，則的分布列為（

）A．X12PB．X01PC．

X012PD．

X012P2．下列問題中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量B．某選手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量C．從裝有5個紅球、3個白球的袋中取1個球，令隨機(jī)變量D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量3．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．某高二學(xué)生在參加物理、歷史反向?qū)W考中，成績是否取得等級相互獨(dú)立，記為“該學(xué)生取得等級的學(xué)考科目數(shù)”，其分布列如下表所示，則的最大值是（

）A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc若成等差數(shù)列，則公差d可以是（

）A． B．0 C． D．16．，隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（

）X012PA．的