《高等數(shù)學(xué)》第9章無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課件

第9章無(wú)窮級(jí)數(shù)9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其性質(zhì)1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義10.1設(shè)給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列u1,u2,…，un，…，則稱為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).其中第n項(xiàng)un稱為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng).該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和,并稱數(shù)列{sn}為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例如都是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)．等差數(shù)列的各項(xiàng)之和稱為算術(shù)級(jí)數(shù)．等比數(shù)列各項(xiàng)的和稱為等比級(jí)數(shù)，也稱為幾何級(jí)數(shù)．級(jí)數(shù)稱為p－級(jí)數(shù)，當(dāng)p＝1時(shí)，稱為調(diào)和級(jí)數(shù)．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)從以上實(shí)例可以看出：級(jí)數(shù)的和不一定存在，即使其和存在也不可能逐項(xiàng)相加得到．定義9-2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}有極限s，即

則稱級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和，并寫成

如果數(shù)列{sn}沒有極限，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

顯然，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和sn是級(jí)數(shù)的和s的近似值，它們之間的差值rn=s-sn=un+1+un+2+…叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)．用近似值sn代替和s所產(chǎn)生的誤差是這個(gè)余項(xiàng)的絕對(duì)值，即誤差是｜rn｜．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例1判別級(jí)數(shù)的收斂性．解因?yàn)樗赃@級(jí)數(shù)收斂，它的和為1．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例2證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的．證明級(jí)數(shù)的部分和為因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

由級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及級(jí)數(shù)的和的定義可知，級(jí)數(shù)的收斂問題，實(shí)際上就是其部分和數(shù)列的收斂問題，因此應(yīng)用數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)，很容易推出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的下列性質(zhì)：性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)收斂于和s，則級(jí)數(shù)（k為常數(shù)）也收斂，且其和為ks．性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)，分別收斂于和s，σ，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為s+σ．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性．性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)注意一個(gè)級(jí)數(shù)添加括號(hào)后收斂，原級(jí)數(shù)不一定收斂．例如，級(jí)數(shù)（1-1）+（1-1）+…收斂于零，但去括號(hào)后所得級(jí)數(shù)1-1+1-1+…是發(fā)散的．事實(shí)上，上式確定的級(jí)數(shù)的部分和滿足s2n=0，s2n+1=1．因而不存在．如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散．事實(shí)上，倘若原級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)性質(zhì)4知道，加括號(hào)后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂，這是矛盾的．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)如果級(jí)數(shù)收斂，則證明設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn，且sn→(n→∞)，則性質(zhì)5告訴我們，當(dāng)考察一個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)考察當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)un是否趨于零，如果un不趨于零，那么立即可以斷言這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的．但要注意，un→0(n→∞)的級(jí)數(shù)不一定收斂，即級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零，并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性

級(jí)數(shù)(un≥0,n=1,2,3，…)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較簡(jiǎn)單而且重要，在研究其他類型的級(jí)數(shù)時(shí)，常常要用到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)結(jié)果．對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于un≥0，因而sn+1=sn+un+1≥sn，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}必為單調(diào)遞增數(shù)列．若部分和數(shù)列{sn}有界，則由單調(diào)有界原理知數(shù)列{sn}必存在極限．反之，若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于s，即，則數(shù)列{sn}必有界．由此得到下面的定理．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{sn}有界．證明略．根據(jù)定理9.1，可得關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)基本的收斂法．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理9-2(比較判別法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un≤vn，(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；(2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散．證明略．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

由于級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)k，或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，都不影響級(jí)數(shù)的收斂性，因此可得如下推論．推論設(shè)

和

都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)n≥N時(shí)有un≤kvn(k＞0)，如果

收斂，則

也收斂；如果

發(fā)散，則

也發(fā)散．例6

證明級(jí)數(shù)

是收斂的．證明因?yàn)?/p>

，而級(jí)數(shù)

是收斂的，故所給級(jí)數(shù)也是收斂的．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.3(比較判別法的極限形式)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散．證明略．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.4(達(dá)朗貝爾比值判別法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且，則(1)當(dāng)ρ＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)ρ＞1（或）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)ρ=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散．證明略．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.5(柯西根值收斂法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且，則(1)當(dāng)ρ＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)ρ＞1(或)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)ρ=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散．證明略．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例12判別級(jí)數(shù)的收斂性．解因?yàn)橛筛凳諗糠ㄖ諗浚?-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.3交錯(cuò)級(jí)數(shù)其斂散性定義10.3如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)是正、負(fù)交錯(cuò)的，即形如u1-u2+u3-u4+…，或-u1+u2-u3+u4+….其中un＞0（n=1,2,3,…），則稱之為交錯(cuò)級(jí)數(shù)．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.6(萊布尼茨定理)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（un＞0,n=1,2,3,…）滿足條件：(1)un≥un+1(n=1，2，3，…)；(2)．則此級(jí)數(shù)收斂，且其和s≤u1．用它的部分和sn作為級(jí)數(shù)和s的近似值，誤差｜sn-s｜≤un+1．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例13

判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性．解

由于對(duì)n=1，2，…均成立，且．故收斂．級(jí)數(shù)的和s＜1．如果取前n項(xiàng)的和

作為s的近似值，則誤差｜rn｜≤．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.4絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)un(n=1，2，3，…)為任意實(shí)數(shù)，則級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)．為了判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，通常先考察其各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義10.4

如果級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂．例如級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，而級(jí)數(shù)是條件收斂的．級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與級(jí)數(shù)收斂有以下重要關(guān)系．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理10.7

如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂．證明略．注意上述定理的逆定理不成立．即不能由級(jí)數(shù)收斂得出級(jí)數(shù)收斂．9-1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例14判別級(jí)數(shù)的收斂性．解因

收斂，而收斂，故收斂．由定理10.7知收斂．9-2冪級(jí)數(shù)9-2.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義10.5如果級(jí)數(shù)

u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…（10.1）的各項(xiàng)都是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，則稱級(jí)數(shù)(10.1)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)．un(x)稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)．例如1+x+x2+…+xn-1+…，

等都是（-∞，+∞）上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)．當(dāng)x在區(qū)間I中取某個(gè)確定值x0時(shí)，級(jí)數(shù)(10.1)就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

u1(x0)+u2(x0)+…+un(x0)+….(9-2)9-2冪級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)(9-2)收斂，則稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(10.1)的收斂點(diǎn)；如果級(jí)數(shù)(9-2)發(fā)散，則稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(10.1)的發(fā)散點(diǎn)．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(10.1)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域．對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因而有一個(gè)確定的和s．這樣，在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x)，通常稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并寫成s(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…，(10.3)9-2冪級(jí)數(shù)把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(10.1)的前n項(xiàng)部分和記為sn(x)，則在收斂域上有.(10.4)我們?nèi)苑Q

rn(x)=s(x)-sn(x)(10.5)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)(當(dāng)然只有x在收斂域上rn(x)才有意義)，在收斂域上有．9-2冪級(jí)數(shù)9-2.2冪級(jí)數(shù)的概念定義10.6

形如(10.6)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為x-x0的冪級(jí)數(shù)，其中a0,a1,…，an，…稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)．當(dāng)x0=0時(shí)，(10.6)式變?yōu)?10.7)稱為x的冪級(jí)數(shù)．如果作變換y=x-x0，則級(jí)數(shù)(10.6)就變?yōu)榧?jí)數(shù)(10.7)．因此，下面主要討論形如(10.7)的冪級(jí)數(shù)．9-2冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)給定的冪級(jí)數(shù)，我們要討論x取何值時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，取何值時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散？這就是冪級(jí)數(shù)的收斂性問題．由于級(jí)數(shù)(10.7)的各項(xiàng)可能符號(hào)不同，將級(jí)數(shù)(10.7)的各項(xiàng)取絕對(duì)值，得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)當(dāng)n充分大時(shí)，an≠0令(10.8)則．9-2冪級(jí)數(shù)

由比值判別法可知：若

＜1，即∣x∣＜R，則級(jí)數(shù)(10.7)絕對(duì)收斂；若

＞1，即∣x∣＞R，則級(jí)數(shù)(10.7)中當(dāng)n充分大時(shí)有∣un+1∣＞∣un∣，由此可知

≠0，故級(jí)數(shù)(10.7)發(fā)散．這個(gè)結(jié)論表明，只要0＜R＜+∞，就會(huì)有一個(gè)對(duì)稱開區(qū)間（-R，R），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在這個(gè)區(qū)間外冪級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．稱為冪級(jí)數(shù)(10.7)的收斂半徑．區(qū)間(－R，R)稱為該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間．冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂．我們把收斂區(qū)間的端點(diǎn)x=±R代入冪級(jí)數(shù)中，判別所得到的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性后，就可以得到冪級(jí)數(shù)的收斂域．特別，當(dāng)時(shí)R=+∞，級(jí)數(shù)(10.7)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)R=0，冪級(jí)數(shù)(10.7)僅在處收斂．9-2冪級(jí)數(shù)9-2.3冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)有兩冪級(jí)數(shù)

和函數(shù)分別為s1(x),s2(x)，收斂半徑分別為R1,R2，記R=min{R1,R2}，則在（-R,R）內(nèi)有如下運(yùn)算法則：9-2冪級(jí)數(shù)1.加法運(yùn)算

也就是說(shuō)，兩收斂的冪級(jí)數(shù)在公共的收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求和(或差)，其和函數(shù)為原兩冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)之和(或差)．9-2冪級(jí)數(shù)2.乘法運(yùn)算也就是說(shuō)，在區(qū)間（-R，R）內(nèi)，兩收斂的冪級(jí)數(shù)的乘積也是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，其中xn個(gè)的系數(shù)由n+1個(gè)形如aibj(i+j=n)的項(xiàng)之和構(gòu)成．設(shè)，收斂半徑為R，則在(-R,R)內(nèi)有如下運(yùn)算法則：9-2冪級(jí)數(shù)3.微分運(yùn)算這就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，求導(dǎo)后所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，其和函數(shù)為原級(jí)數(shù)的和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．9-2冪級(jí)數(shù)4.積分運(yùn)算這就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，積分后所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，其和函數(shù)為原級(jí)數(shù)的和函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的積分．9-2冪級(jí)數(shù)9-2.4函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1．泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)定理10.8（泰勒中值定理）設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，且x0∈(a,b)，則（10.9）其中證明略．9-2冪級(jí)數(shù)以上公式（10.9）稱為函數(shù)f(x)的泰勒公式．Rn(x)叫做泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)．在泰勒公式中，當(dāng)x0=0時(shí)，令ξ=θx(0＜θ＜1)，我們就得到麥克勞林公式（10.10）其中9-2冪級(jí)數(shù)定義10.7如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則形如（10.11）的冪級(jí)數(shù)，稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的泰勒級(jí)數(shù)．當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)的特殊形式(10.12)稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)．9-2冪級(jí)數(shù)定理10.9設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于f(x)的充要條件是f(x)的泰勒公式的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n→∞時(shí)趨于零，即證明略．9-2冪級(jí)數(shù)如果f(x)在x=x0處的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x),則f(x)在x=x0處可展開成泰勒級(jí)數(shù),即稱其為f(x)在x=x0處的泰勒展開式，也稱為f(x)關(guān)于x-x0的冪級(jí)數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，有稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林展開式.如果函數(shù)能展開成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)一定就是函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)，即函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的．9-2冪級(jí)數(shù)2．函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)下面結(jié)合例子研究如何將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)．(1)直接展開法.直接展開法是指先利用麥克勞林公式來(lái)討論是否有，若，再利用求出冪級(jí)數(shù)系數(shù)的方法．9-2