高中數(shù)學(xué)-點、直線、平面之間的位置關(guān)系-測試練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)-點、直線、平面之間的位置關(guān)系測試練習(xí)題

1.如果4點在直線a上，而直線a在平面a內(nèi)，點B在a內(nèi)，可以表示為（）

A./lua,Qua,BeaB.4ea,aua,Bea

C.Aca,a6a,BuaD.AEa,aGa,BEa

2.已知直線/，平面Q,直線mu平面例給出下列命題：

①a〃/?=>Z1m；

（2）a_L￡=l//m；

（3）Z//m=>a1/?

④11m=>a//p.

其中正確命題的序號是（）

A.①③B.②③④C.②④D.①②③

3.垂直于同一平面的兩條直線（）

A.平行B.垂直C.相交D屏面

4.若點4在直線b上，b在平面￡內(nèi)，則4b,￡之間的關(guān)系可以記作（）

A.4ebepB.Aubu夕C.AWbu/?D.AubW°

5.若點E,F,G,"分別是空間四邊形4BCD的邊AB,BC,CD,。4的中點.則空間

四邊形的四條邊與兩條對角線中與平面EFGH平行的條數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

6.如圖，平面al平面/?,Aea,B€0,與兩平面a、口所成的角分別為押哈過4、

B分別作兩平面交線的垂線，垂足為4、B',

A.2:1B.3:lC.3:2

7.下列四個命題中，假命題是（）

A.若平面內(nèi)有兩條相交直線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則兩個平面平行

B.平行于同一平面的兩個平面平行

C.如果平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面平行，則兩個平面平行

D.如果平面內(nèi)任意一條直線都與平面平行，則兩個平面平行

8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形力BCD為矩形，E,F分別為P4PC的

中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線4F異面；③直線,醒$$平面PBC；④

平面舞窗11平面PA，

其中正確的結(jié)論個數(shù)為11

A.4個B.3個C.2個D.1個

9.己知三棱柱ABC-481C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為￡底面是邊長為6的正三角

形.若P為底面三角形的中心，則P4與平面ZBC所成角的大小為（）

A57T

A—B

12-7《D.=

10.在正方體ABCD-A'B'C'。'中，過對角線B。，的一個平面交AA于點E,交CC'于點

F.則下列結(jié)論正確的是（）

①四邊形BFC'E一定是平行四邊形

②四邊形BFD'E有可能是正方形

③四邊形BFC'E在底面4BCC的投影一定是正方形

④四邊形BFD'E有可能垂于于平面BB'D.

A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④

11.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角.

12.直線與平面平行的判定定理,平面與平面垂直的判定定理.

13.如果將兩條異面直線稱作一對，那么在四面體的六條棱中，異面直線有

試卷第2頁，總18頁

對.

14.直線a〃平面a,a內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有

________條.

15.平面a的斜線與a所成的角為30。，那此斜線和a內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角

的最大值為.

16.在正方體ABCD-&8傳1。1中，M為BB］的中點，AC.BD交于點0,則為。與平面

4MC成的角為度.

17.對兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面a,使得.

①aua,bca(2)aca,b//a

③a1a,b1a④aca,b1a

18.在正方體4cl中，E,F分別是線段&Bi，BiQ上的不與端點重合的動點，如果

A1E=B1F,有下列四個結(jié)論:

(f)EF與441所成的角為90°；②)EF//AC；③EF與AC異面；④EF〃面ABCD,其中

一定正確的有.

19.把Rt△4BC沿斜邊上的高CD折起使平面4DC1平面BDC,如圖所示，互相垂直的

平面有對.

20.給出下列四個命題：

①設(shè)a是平面，m、n是兩條直線，如果rnua,n<ta,m,n兩直線無公共點，那么

n//a；

②設(shè)a是一個平面，m、n是兩條直線，如果m〃a,n//a,則?n〃7i；

③若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線平行；

④三條直線交于一點，則它們最多可以確定3個平面.

其中正確的命題是.

21.空間四邊形4BCD中，E、F、G、”分別是48、BC、CD、04上的點，已知EF和

GH交于點P,求證：EF、GH、4C三線共點.

B

D

22.如圖，已知空間四邊形4BCD,及兩條對角線AC、BD,AB=AC=AD=a,

BD=DC=CD=b,ABijfl'BCD,垂足為H,求平面4BD與平面BCD所成角的大

23.如圖，在正方體ABCD-43傳1。1中，E,F分別為BC的中點.

(1)求證：EF〃平面BCGBi；

(2)求直線EF與直線441所成的角.

24.如圖，點4,B,C確定的平面與點Z),E,F確定的平面相交于直線1,且直線AB與

I相交于點G,直線EF與，相交于點H,試作出平面4B0與平面CEF的交

25.如圖三棱柱4BC-4當6中，所有棱長均為2,NCBB1=乙48位=120°,平面

CBBiGJ"平面ABB14,M是中點，N是CBI中點.求證：MN〃平面

試卷第4頁，總18頁

參考答案與試題解析

高中數(shù)學(xué)-點、直線、平面之間的位置關(guān)系測試練習(xí)題

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

1.

【答案】

B

【考點】

平面的概念、畫法及表示

平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】

直接按照平面內(nèi)點、線、面的位置關(guān)系，寫出結(jié)果即可.

【解答】

解：4點在直線a上，而直線a在平面a內(nèi)，點B在a內(nèi)，

表示為：A&a,aua,B&a.

故選B.

2.

【答案】

A

【考點】

直線與平面垂直的性質(zhì)

平面與平面垂直的判定

平面與平面平行的判定

直線與平面平行的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：①中，因為直線/，平面a,a〃。，所以直線11平面/?,又直線mu平面￡,所以11

771；故①正確；

②中，因為直線，_L平面a,a_L0,所以l〃°或Iu°,又直線mu平面￡,所以I與m可

能平行、重合或異面，故②錯：

③因為直線I_L平面a1〃m,所以nt,平面a,又直線mu平面夕，所以a10,故③正

確；

④中，因為直線2_L平面a,/1m,所以機〃。或巾＜2匹又直線mu平面S，所以a與￡

平行或相交，所以④錯；

故選4

3.

【答案】

A

【考點】

直線與平面垂直的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理直接可得答案.

試卷第6頁，總18頁

【解答】

解：根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，

垂直于同一平面的兩條直線平行，

故選4

4.

【答案】

C

【考點】

平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】

點2在直線b上，記作b在平面內(nèi)，記作bu￡.

【解答】

解：1,點4在直線b上，

A&b,

???b在平面￡內(nèi)，

be/?.

A€bu0.

故選C.

5.

【答案】

C

【考點】

直線與平面平行的性質(zhì)

【解析】

利用中位線的性質(zhì)，判斷四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用線面平行的條件進行判

斷即可.

【解答】

解：如圖

因為E,F,G,，分別是四面體力BCD的邊4B,BC,CD,ZM的中點,

所以EH,FG分別是各三角形的中位線，

所以EH//BD,FG//BD,

所以EH//FG.

同理EF//HG,

即四邊形EFGH為平行四邊形.

所以和四邊形EFGH平行的棱有AC和8。.

故選C.

6.

【答案】

A

【考點】

直線與平面所成的角

平面與平面垂直的性質(zhì)

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】

設(shè)4B的長度為a用a表示出的長度，即可得到兩線段的比值.

【解答】

解：連接和4B,設(shè)4B=a,可得4B與平面a所成的角為=9

在Rt△BAB，中有=#a,同理可得48與平面6所成的角為4ABA=g

2o

所以44=^。，因此在RtZkAA夕中48'=J(ya)2-(|a)2=|a,

所以4&4B'=a；|a=2：1,

故選4

7.

【答案】

C

【考點】

平面與平面平行的判定

【解析】

由面面平行判定定理的推論，可判斷A的真假；由平行公理(平行的傳遞性)可以判斷

B的真假；根據(jù)面面平行的判定方法及線面平行幾何特征，可以判斷C的真假；根據(jù)面

面平行的定義及判定定理可得D的真假.

【解答】

解：若平面內(nèi)有兩條相交直線與另一平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，

則該平面內(nèi)有兩條相交直線與另一平面平面，由面面平行的判定定理可得兩個平面平

行，故A為真命題；

由線線平行的傳遞性，類比到面面平行結(jié)合面面平行的幾何特征可得B也為真命題；

如果平面內(nèi)有無數(shù)條相互平行的直線都與平面平行，則兩個平面不一定平行，故C為假

命題；

如果平面內(nèi)任意一條直線都與平面平行，由面面平行的判定定理，可得兩個平面平行,

故。為真命題；

故選C

8.

【答案】

C

【考點】

異面直線的判定

【解析】

把平面展開圖還原回立體圖形，根據(jù)異面直線的概念和線面關(guān)系的判定，依次判斷各

個選項，得到正確結(jié)論的個數(shù).

【解答】

試卷第8頁，總18頁

將平面展開圖還原后可得立體圖形如圖所示：

A-

⑥E.F為P4PD中點尸〃AD,又四邊形力BCD為矩形nAD〃BC

EF//BC=B,C.E.F四點共面

直線BE與CF共面，不是異面直線，即。錯誤

②???Ee平面PADAF=平面PADEf物B6平面P4D

直線BE與直線4尸為異面直線，即?正確

③?；EF//BCBC=^PBCEFz^PBC

.EF〃平面PBC,即③正確

④假設(shè)平面BCE平面R4D,即平面BCEF_L平面PAD

又平面ECEF平面PAD=EF,作PM1EF,垂足為M,可得PM_L平面BCE

但實際無法證得PMJL平面BCE,故假設(shè)不成立，即④錯誤

本題正確選項：C

9.

【答案】

B

【考點】

直線與平面所成的角

平面與平面平行的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

,/AAr，底面為B1C1，

N4P41為P4與平面&B1Q所成角.

平面4BC〃平面48傳1，

為P4與平面ABC所成角.

2

SAAB】j=9x(V3)=

U-表柱ABC-A/G=AA1*Sg[BiCi=等力"1=支

解得=V3.

又P為底面正三角形AiBiG的中心，

2

A1P=^A1D=1.

在RtM&P中，Z.APAX==>/3,

44P4=p

故選B.

10.

【答案】

B

【考點】

平面與平面垂直的判定

平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】

①根據(jù)一個面與兩個平行的面的交線一定平行的性質(zhì)證明出四邊形BFD'E一定是平行

四邊形.

②先看F與C'重合，E與4點重合時不可能是正方形，在看不重合時BF和BE不可能垂

直，進而推斷結(jié)論不正確.

③四邊形BFD'E在底面4BCD的投影是正方體的底面，進而可知，射影一定是正方形.

④找到E,F分別為中點時，利用證明EF_L面BDD'B',進而證明出兩個面垂直.

【解答】

解：

①：四邊形BFD'E與面BCC'B'的交線為BF,與面ADD"'的交線為D'E,且面

BCCB'//面ADD'4的交線為D'E,

BF//D'E,

同理可證明出BE〃D'F,

四邊形BFD'E一定是平行四邊形，

故結(jié)論①正確.

②當F與C'重合，E與4點重合時，BF顯然與EB不相等，不能是正方形，

當這不重合時，BF和BE不可能垂直，

綜合可知，四邊形BFD'E不可能是正方形

結(jié)論②錯誤.

③四邊形BFD'E在底面4BCD的投影是四邊形AB'C'D',

故一定是正方形，③結(jié)論正確.

④當E,F分別是44',CC'的中點時，

EF//AC,ACA.BD,

EF1BD,

BB'l面4BCC,4Cu面ABCD,

BB'1AC,

：.BB'1EF,

-：BB'u面BDD'B',BDa^BDD'B',BDCBB'=B.

：.EF1面BCD?,

???EFu四邊形BFO'E,平面BB'Ou面BDD'B',

面形BFD'E1面BDD'B'.

故結(jié)論④正確.

故選：B.A'

試卷第10頁，總18頁

二、填空題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

11.

【答案】

相等或互補

【考點】

平行公理

【解析】

利用平行公理，可得結(jié)論.

【解答】

解：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.

故答案為：相等或互補.

12.

【答案】

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，一個平面過另一

平面的垂線，則這兩個平面相互垂直

【考點】

直線與平面垂直的判定

直線與平面平行的判定

【解析】

直線與平面平行的判定定理：需要三個條件，面內(nèi)一線，面外一線，線線平行，可得

線面平行；

平面與平面垂直的判定定理：需要兩個條件，線面垂直，線在面內(nèi)，可得面面垂直.

【解答】

解：直線與平面平行的判定定理：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

平面與平面垂直的判定定理：

一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直

故答案為：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；一

個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直

13.

【答案】

3

【考點】

異面直線的判定

【解析】

如圖所示，如果將兩條異面直線稱作一對，那么在四面體的六條棱中，利用異面直線

的定義即可得出.

【解答】

解：如圖所示，如果將兩條異面直線稱作一對，那么在四面體的六條棱中，異面直線

有3對：AB^PC,AC與PB,

BC^PA.

14.

【答案】

1或。

【考點】

直線與平面平行的性質(zhì)

【解析】

此題根據(jù)"過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”很容易判斷

【解答】

解：不論是在平面里，還是在空間中：

過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，

所以這n條直線中，最多只有1條與直線a平行

故答案為：1或0

15.

【答案】

90°

【考點】

異面直線及其所成的角

【解析】

斜線和a內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線，由此能求出此斜線和a內(nèi)所有不過斜足的

直線中所成的角的最大角.

【解答】

解：斜線和a內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線，

???此斜線和a內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角的最大角為90。.

故答案為：90°.

16.

【答案】

90

【考點】

直線與平面所成的角

【解析】

由已知中正方體ABCD-4道傳1。1中，M為BBi的中點，AC、BD交于點。，根據(jù)正方

體的幾何特征可得即為5。與平面4MC成的角，解三角形DiOM,即可得到答

案.

【解答】

解：先設(shè)正方體的棱長為a

所以。。=乎a,

則NDiOM即為4。與平面力MC成的角.

由勾股定理得，

OM=ya,DrM=|a,

試卷第12頁，總18頁

由余弦定理得，coszDiOM="嘿=0

20-0M

所以NDiOM=90"

故答案為:

17.

【答案】

②

【考點】

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

【解析】

本題考查的知識點是空間中直線與平面的位置關(guān)系，及空間中直線與直線之間的位置

關(guān)系，由已知中直線a與b是兩條不相交的空間直，故a、b可能平行或異面.但①中

aua,bua說明a,b共面，③中aJ.a,b1.a,說明a,b平行，這都與a、b可能異

面相沖突，而對于

④aua,bla,說明a,b一定垂直，故④也錯誤，用排除法即可得到答案.

【解答】

解：不相交的直線a、b的位置有兩種：平行或異面.

當a、匕異面時，不存在平面a滿足①、③；

又只有當a1b時④才成立.

故答案為：②

18.

【答案】

①④

【考點】

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

【解析】

作出正方體ABCD-&B1GD1，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合題設(shè)條件，能夠作出正

確判斷.

【解答】

解：如圖所示.由于44i_L平面EFu平面4B1GO1，

則EF14人,即EF與44］所成的角為90。，所以①正確；

當E,F分別不是線段&Ci的中點時，EF與AC異面，所以②不正確；

當E,尸分別是線段BiG的中點時，EF〃&G，又AC〃A&,則EF〃AC,所

以③不正確；

由于平面&B1GD1〃平面ABCD,EFu平面48165，所以EF//平面4BC0,所以

④正確.

故答案為:

19.

【答案】

3

【考點】

平面與平面垂直的判定

【解析】

由CD_L4B可證明平面ADC_L平面4BD,平面4DB1平面BDC,從而可求得互相垂直

的平面有3對.

【解答】

解：；由已知，CDLAB

：.平面ADC1平面4BD,平面ADB_L平面BDC,

由,rADC1平面BDC,

綜上可知，互相垂直的平面有3對.

故答案為：3.

20.

【答案】

③④

【考點】

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】

①②列舉所有可能，即可判斷；③根據(jù)公理4,可得結(jié)論；④三條直線交于一點，

每兩條確定一個平面，它們最多可以確定3個平面.

【解答】

解：①設(shè)a是平面，m、n是兩條直線，如果mua,nCa,n兩直線無公共點，

那么n〃a或n與a相交，故不正確；

②設(shè)a是一一個平面，m、n是兩條直線，如果m〃a,n//a,則m、n平行、相交或異

面，故不正確；

③若兩條直線都與第三條直線平行，根據(jù)公理4,可得這兩條直線平行，故正確；

④三條直線交于一點，每兩條確定一個平面，它們最多可以確定3個平面，故正確.

故答案為：（3）（4）.

三、解答題（本題共計5小題，每題10分，共計50分）

21.

【答案】

證明：因為EF、GH相交于點P,

則點P6EF,且P6GH.

又由題意，EFu面ABC,GH

貝1J點P6面4BC,P€面力DC,又平面力BCn平面

試卷第14頁，總18頁

則點P必在面SBC與面4DC的交線上，即PeAC,

所以EF、GH、4c三線共點.

【考點】

平面的基本性質(zhì)及推論

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】

先根據(jù)EF、GH相交于點P得到點P屬于直線EF,且屬于直線GH,再根據(jù)EF屬于面

ABC,GH屬于面4DC即可得到點P必在面ABC與面4CC的交線上，進而得到結(jié)論.

【解答】

證明：因為EF、GH相交于點P,

則點P6EF,且P€GH.

又由題意，EFu面ABC,GHu面4DC

則點P€面力BC,Pe面4DC,又平面4BCn平面4DC=4C,

則點P必在面ABC與面4DC的交線上，即PeAC,

所以EF、GH、4c三線共點.

22.

【答案】

解：已知空間四邊形4BCD,及兩條對角線4C、BD,AB=AC=AD=a,BD=

DC=CD=b,

所以：取BD的中點E,連接4E和CE

則：AELBD,CE1BD

所以：平面4B0與平面BCO所成角的大小即：AAEC.

所以解得：CEAE=空亙

在AACE中，利用余弦定理：cos^AEC=-2^2^--2b__2a2-3旅

2AE-CEV12a2-3b2-12a2-3b2

平面ABD與平面BCD所成角的大小arccos筆三券.

12az-

【考點】

二面角的平面角及求法

【解析】

首先說明四面體4BC。為正四面體，進一步利用線線的垂直說明二面角的平面角，進一

步利用余弦定理求出結(jié)果.

【解答】

解：已知空間四邊形力BCD,及兩條對角線AC、BD,AB=AC=AD=a,BD=

DC=CD=b,

所以：取B。的中點E,連接ZE和CE

則：AE1BD,CE1BD

所以：平面ABC與平面BCD所成角的大小即：^AEC.

所以解得：CE=^b,AE=3筍

b_川12a2-3b2

在△ACE中，利用余弦定理：COSN/IEC==：用二"V12a2-3d2-12a2-3》2

b\/12a2-3b2

平面與平面所成角的大小

480BCDarccos12a2—3匕2,

23.

【答案】

(1)證明：如圖，連接4C,BQ

E,尸分別是AB1，4c的中點，

EF//CB1,

EFC平面BCG%，CBXu平面BCgBi，

E/7/平面BCQB1.

(2)解：；EF//BXC,AA\"BB\,

：.NBBiC為直線EF與直線44i所成的角,

乙BB1C=45°,

EF與?Mi所成的角為45。.

【考點】

直線與平面平行的判定

異面直線及其所成的角

【解析】

(2)-/EF//BrC,AAi"BB\,

???NBBiC為直線E尸與直線4公所成的角,

乙BB[C=45",

EF與所成的角為45。.

【解答】

(1)證明：如圖，連接4C,Bi。，

E,F分別是AC的中點，

EF//CB1,

EFC平面BCG%CB]u平面BCGBi，

EF〃平面BCGB1.

⑵解：EF“B\C,

NBBiC為直線E尸與直線4公所成的角,

乙BB[C=45",

EF與所成的角為45。.

24.

【答案】

解：如圖，在平面4BC內(nèi)，連接4B,與/相交于點G,

則G€平面DEF；在平面DEF