重難點(diǎn)03 向量的數(shù)量積與應(yīng)用十二大題型-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)【重點(diǎn)·難點(diǎn)】（解析版）

重難點(diǎn)03向量的數(shù)量積與應(yīng)用十二大題型匯總

期末題型解讀

題型6向量數(shù)量積的最值取值范圍問(wèn)題題型12向量與三角函數(shù)結(jié)合問(wèn)題

滿分技巧

技巧一.求投影的兩種方法：

(1)6在a方向上的投影為罔cos或助a,6的夾角)，a在6方向上的投影為|a|cos9.

(2)6在a方向上的投影為丁丁，a在6方向上的投影為市.

同罔

技巧二.求平面向量數(shù)量積的步驟

⑴求a與6的夾角區(qū)先[0,TX];

(2)分別求同和團(tuán)；

⑶求數(shù)量積，即aS=同罔cos8,要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與6之間用實(shí)心圓點(diǎn)”連接，而不能用"x"

連接，也不能省去.

技巧三.求向量的模的常見(jiàn)思路及方法

(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用用=同2,勿忘記開(kāi)方.

(2k7=坪=同2或詞=占,此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.

(3)一些常見(jiàn)的等式,如(a±6)2=a^±2a-b+&,(a+b)?(a-b)=H-勿等.

技巧四.向量夾角為銳角(鈍角)的充要條件

①兩個(gè)向量a,6的夾角為銳角=a?6>0且a,6不共線；

②兩個(gè)向量a,6的夾角為鈍角oa?b<0且a,6不共線.

技巧五.平面向量最值范圍問(wèn)題的常用方法

1、定義法

第1步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；

第2步：運(yùn)用基本不等式求其最值問(wèn)題；

第3步：得出結(jié)論.

2、坐標(biāo)法

第1步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；

第2步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；

第3步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解.

3、基底法

第1步：利用基底轉(zhuǎn)化向量；

第2步：根據(jù)向量運(yùn)算化簡(jiǎn)目標(biāo)；

第3步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；

4、幾何意義法

第1步：結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；

第2步：利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；

第3步：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍.

題型1向量的投影

【例題11(2023秋?北京?高一北京師大附中?？计谀?已知平面向量方，方是非零向量，回=2,方，

(H+20),則向量方在向量切向上的投影為()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】首先通過(guò)條件》，(萬(wàn)+2力求得方?￡7=-2,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式求出|￡?|■□□□□,

進(jìn)而求解詼助向上投影.

【詳解】???平面向量與談非零向量"方|=2,方，(O+2D),

:.□,+2EJ)—口,LJ+2ZZ7-口=|+2。.ZZ7=44-2ZZ7,口=0,則□=—2.

設(shè)方與分角為O,力.五=\h\.\b\-口口口口=一2,典\\b\-□□□□=3=一、，

in

???方在加向上投影為一1

故選：A

【變式1-1](多選)(2023春?四川成都?高一成都實(shí)外校考期末)下列四個(gè)命題為真命題的是()

A.若向量4H滿足號(hào)/方，UIID,則與/方

B.若向量方=(1,-3),方=(2,6),則女方可作為平面向量的一組基底

C.若向量方=(5,0),D=(4,3),則正在方上的投影向量為管,￡)

D.若向量。、Q茜足回=2,同=3,O￡7=3,則=

【答案】BC

【分析】取斤=6,可判斷A選項(xiàng)；利用基底的概念可判斷B選項(xiàng)；利用投影向量的概念可判斷C選項(xiàng)；

利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若方=OHO/O,DUD,則反訴一定共線，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若向量斤=(1,-3),方=(2,6),則1x6力2x(-3),則與聲共線，

所以，n方可作為平面向量的一組基底，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄俊?=(5,0),U=(4,3),

所以，方在日上的投影向量為同cos.R.意=回?器?斤=胃.斤=靠4,3)

=(需)，c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄苛⒎綕M足回=2,同=3,方1=3,

則目+q=](方+可=舊+舊+21?斤=、4+9+2x3=同，D錯(cuò).

故選：BC.

【變式1-2】(2022春?上海浦東新?高一?？计谀?已知向量方=(-2,V3)，方=(1,-V3)，則向量方在朝

向上的數(shù)量投影為.

【答案】*

【分析】利用平面向量的投影的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄糠?(-2,V3),D=(1.-V3),

所以向量那朝向上的數(shù)量投影為瞽=—x(-8)=_?,

回2

故答案為：—|

【變式1-3](2022春?上海浦東新?高一?？计谀?已知0(1,1),0(2,1),￡7(-1,-2),0(3,4),萬(wàn)加向上的

單位向量為辦，則向量oh在缶方向上的投影向量為一.

【答案】警方

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可得解.

【詳解】由已知得濟(jì)=(1,0),力=(4,6),

故萬(wàn)生晶上的投影向量為筆掌方

\DU\2V1313

故答案為：粵方

【變式1-4](2022春?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)?？计谀?已知立方的夾角為與，設(shè)方=言+信，

則市在日上的數(shù)量投影為一.

【答案】|/1.5

【分析】由看，春分別表示在與朝向上的單位向量，結(jié)合已知可得g=V5且與方的夾角為管,進(jìn)而

I。臼6

可求方在直上的數(shù)量投影.

【詳解】由修，昌分別表示在與朝向上的單位向量，且瓦方的夾角為g,

I。I。3

由方=佟+W知：I方I=g且與方的夾角為名,

|D||O|6

所以那底上的數(shù)量投影為值COS今=2

故答案為：I

【變式1-5］（多選）（2023秋?云南?高一云南師大附中校考期末）設(shè)方,送互相垂直的單位向量，用=

￡70+20,W=^+（0-1）0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若點(diǎn)C在線段AB上，則口=2

B.若□□1□口,則￡7=|

C.當(dāng)。=1時(shí)，與方雄線的單位向量是/萬(wàn)+等方

50

D.當(dāng)。=—1時(shí)，入在方萬(wàn)上的投影向量為2萬(wàn)一（萬(wàn)

0D

【答案】ABD

【分析】對(duì)A:根據(jù)向量共線分析運(yùn)算，?對(duì)B:根據(jù)向量垂直運(yùn)算求解，?對(duì)C:根據(jù)單位向量分析運(yùn)算；對(duì)

D:根據(jù)投影向量分析運(yùn)算.

【詳解】由題意可得：n2=~n=i,o-n=o,

對(duì)A:若點(diǎn)C在線段AB上，則|=（1,+~），則用+2方=￡7p+（￡7-1）q=￡70+

口（口一1）0,

可得｛〃（史g=2，解得。=口=2或口=￡7=—1（舍去），故A正確；

對(duì)B:由Z7￡7J.口口，可得歷.（Z7H+2D）?p+（￡7-1）回=CD+（4-O+2）~D-斤+

一2

=3〃-2=0,

解得。=|,故B正確；

對(duì)C:當(dāng)￡7=1時(shí)，則|西=|百+2回=J（方+2功2=J^+4斤?斤+4^=V5,

與方正線的單位向量是±等=±（9方+等巧，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D:當(dāng)￡7=—1時(shí)，可得Q.正=」.（方—2巧=^-2一?方=1,|W|2=J（方—2功2=

后_4萬(wàn)萬(wàn)+右=V5,

則加天上的投影向量為（回cos<nw>）g=同疆易=簫用氣晶=P-

W，故D正確.

□

故選：ABD.

題型2向量的數(shù)量積

【例題2］（2022春?河南濮陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）已知等邊三角形O0O0勺邊長(zhǎng)為1，設(shè)吊=萬(wàn),DD=D,

歷=方，那么斤?斤+斤?萬(wàn)+斤?方=（）

A.3B.-3C.ID.-I

22

【答案】D

【分析】結(jié)合等邊三角形的特點(diǎn)和向量的夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】在等邊三角形口口。中，

.―….,—-—T——T——TO

有口+□+□,□=1x1xCOS1200+1x1xcos120°+1x1xcos120°=--.

故選：D.

【變式2-l］（2022春福建福州?高一校聯(lián)考期末）如圖，在△口口田/口口口=?方方=200.磔

0%一點(diǎn)，且滿足品=口^+；方方（￡7€9，若?！?=3,￡70=4,則晶.配的值為（）.

c

【答案】C

【分析】由p、c、D三點(diǎn)共線及晶=2毛，可求m的值，再用比,乍基底表示吊，進(jìn)而求才?

OZ%]可.

【詳解】?.?濟(jì)=歷(L7eR),用=2用，

即O￡7=I口血口口=IDD+g□口,

OJJ

，....?,3

：，□□=□□□軋口口(口€R),

又C、P、D共線，有0+5=1,即0=(,

松口口=三口口+;口口,而口口=□□+□□,

.?.無(wú)=|(金+運(yùn))+!晶=用+;方萬(wàn)=1濟(jì)-歷

：^D-~aD=(^UD+WD)^DD-DD)=~DD-=魯2-：=算

、42八373343412

故選：c

【變式2-2](2021春浙江?高一期末)已知向量斤，D,滿足回=1,U=(-2,1),且目-回=2,則

0.0=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求出方的模，利用?-回=2即可求出方.方的值.

【詳解】由題意，

同=1,口=(-2])，且Q-q=2,

.-.|q=J（^2）2ZI2=V5,

p-o|=+~D-2D-~D=]同2+回2_2方,方=Jl2+（V5）2-2H-n=2,

解得：萬(wàn)萬(wàn)=1,

故選：C.

【變式2-3]（2021秋?廣西?高一統(tǒng)考期末）如圖，在菱形OOO。中,歷=；方萬(wàn)宓=2UU.

（1）若顯=ann+ODD,求30+2中值；

（2）若=6,乙□□□=60°,求~OD.

【答案】⑴-1

⑵-9

【分析】（1）由題意可知晶方方-1方方，即可求解；

（2）OO=~DD^~DD,從而無(wú)?方方=（晶+~DD）.（；方萬(wàn)—|運(yùn)）即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)樵诹庑慰凇？谥?W=配用=2W.

故歷=歷+歷=；萬(wàn)萬(wàn)-|方方，

故口=一：,口=，所以3。+2。=-1.

（2）顯然濟(jì)=歷+歷，

所以用?用=（W+W）-（5W-1W）

o.21■,21,?

=-：□□一：□□,□□……①，

326

因?yàn)榱庑巍?。?！?且|ZZ7ZZ7|=6fz□□□=60°）

故|方。=6,（萬(wàn)日方可=60°.

所以方方-OO=6x6xcos60°=18.

故①式=-^X62+JX62-^X18=-9.

o2o

故口口,□口=—9.

【變式2-4］（2022春?上海浦東新?高一?？计谀┤鐖D，在△口口田,□□=3,□□=4,乙口=1匚為

邊。二的中點(diǎn)?設(shè)向量歷=D,向量方斤=萬(wàn)，求：

(1)|20+0|；

⑵求品?歷.

【答案】⑴2聞

（2）|

2

【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算出（2萬(wàn)+巧即可.

（2）變形牛?方方=：（方方+W）.（DD-~un）,然后利用數(shù)量級(jí)的運(yùn)算率計(jì)算即可.

【詳解】（1）（2斤+⑦之=4斤2.力+右=36+4x3x4xcos^+16=76,

二|2萬(wàn)+D\=2V19.

（2）OO-=X歷+玩）-（市--~HD）=1（16-9）=^.

題型3向量的夾角與余弦值

【例題3］（2021春河南鄭州?高一統(tǒng)考期末）已知衣，口是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，設(shè)向量萬(wàn)=2萬(wàn)+

瓦，斤=-3瓦+2瓦,則石方的夾角為（）

A二爪B二爪C.〉D.沃

3636

【答案】C

【分析】由已知求出工?友=J,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求出方2,^,萬(wàn)?與勺值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義,即

可得出答案.

【詳解】由已知可得，萬(wàn)?％=|立|?|五|cos60。=1,

所以。=(2ZZZ|+CjQ=A口[+口?+4□],口2=4+1+2=7,

口=(-3a+2/^2)=9+4ZZ^—12EJy-O2=94-4—6=7r

口?□—(2ZVi+口外.(—3口、+2口9-—6口[+口、，口2+2口2=-6+5+2=-],

所以同="，同=V7,

所以,cos但可=褊=行&=一；，

所以，佗可=今

故選：C.

【變式3-1](2021春?陜西漢中?高一?？计谀?已知方，斤為單位向量，且斤?斤=0若方=2D-廝,

且方與方的夾角為6,貝[|cos〃=()

A.JB.4C.(D.\

2333

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求方?百，再求|回,根據(jù)向量夾角公式求cosO.

【詳解】因?yàn)榉?，方為單位向量?/p>

所以同=回=1,

由方=2D-,可得■方?~D=~O-(20-前巧=2D-~D->/5D-~H,

又力?力=0,

2

所以斤?方=2同=2,

回=|2O-VSq=J(2O-V5O)2=方-4V的.斤+5斤.刁,

所以同=14同2+5同2=3,

所以cos。=需=?,

故選：c.

【變式3-2](2020秋?安徽黃山?高一統(tǒng)考期末)某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到

北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為=8km/h，水流的速度的大小為匹卜4km/h，設(shè)后和

口的夾角為0(0°＜。＜180°),北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處時(shí)，cosO=()

A.造B.一咚C.；D.—；

2222

【答案】D

【分析】設(shè)船的實(shí)際速度為方，則方=互+直，由題意可得方_L%,即萬(wàn)?瓦=0,代入計(jì)算即可求

出答案.

【詳解】解：設(shè)船的實(shí)際速度為方，則方=斤+直，

北岸的點(diǎn)。在中正北方向，游船正好到達(dá)a處，則方，玄,

所以方.口=0,

即(4+ZZZj)?口2=|ZZZj|?|LJ21,COS/Z7+=32cos/Z7+16=0,解得cos0=—,

故選：D.

B

Av2

【變式3-3](2021春?安徽宿州?高一?？计谀?已知△口。石個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(3,4),0(0,0),

□【□a.

(1)若方方?歷=0,求c的值；

(2)若。=5,求cos〃0勺值.

【答案】⑴等

磅

【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積公式列出方程，求出C的值；

(2)由平面向量夾角坐標(biāo)公式計(jì)算出答案.

【詳解】(1)(-3,-4),W=(￡7-3,-4),

由方方?方方=0,可得：一3(0-3)+16=0,

所以。=會(huì)

(2)若0=5,則用=(2,-4),

.n__(-3-4)(2,-4)_-6+16_V5

■C0SL7=函.國(guó)=A/9+l6xV4+i6==T

題型4向量的模長(zhǎng)

【例題4](2021春?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市第二十中學(xué)校考期末)平面向量方與方的夾角為g,若方=

(2,0),同=1,則回+2司=()

A.V3B.2vse.4D.12

【答案】B

【分析】確定同=2,計(jì)算?+2回2=萬(wàn)2+4方萬(wàn)+4萬(wàn)2=12,得到答案.

【詳解】O=(2,0),則|胃=2,p+2O|2='O+40-O+W=4+4x2x1xcosg+4=12,

故.+2回=2vs.

故選：B

【變式4-1](2020春?陜西?高一統(tǒng)考期末)已知向量與方的夾角為手，回=魚(yú)，回=1，則|3方-同=

()

A.4B.5C.4V2D.5V2

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得方?方=-1,再根據(jù)|3方-方|=J(3斤-己)2可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)方=|向回cos]=V5x1x(-')=-1,

所以|3萬(wàn)一~n\=J(3萬(wàn)-42=J毋_6萬(wàn)n+~n=W8+6+1=5.

古嫡：B

【變式4-2](2021春?湖南邵陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末強(qiáng)口,□$O,向量方=(￡71)萬(wàn)=(1,0萬(wàn)=(2,-4),

且方1斤，動(dòng)|萬(wàn)，則國(guó)+同=().

A.V5B.2V5C.ViOD.10

【答案】C

【分析】先利用向量垂直求出。，再利用向量平行求出〃，進(jìn)而可得斤+下的坐標(biāo)，則|方+同可求.

【詳解】?,?O1O,0=(271),O=(2,-4)

O-n=2￡7-4=0,

???￡7=2,

v￡71|ZZ7,￡7=(1,￡7),

：?2口=-4,

???□=-2,

.-.0+0=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),

???|Z27+/j|=V9+1=ViO.

故選：C.

【變式4-3](2023秋?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末)已知向量方=(2,0),D=(1,2),且(方-3D)II(20+

困(OeR),則|2萬(wàn)+也為()

A.2V37B.4V37C.2質(zhì)D.4質(zhì)

【答案】A

【分析】首先求出方-3與2D+的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出參數(shù)。的值,

最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)榉?(2,0),D=(1,2),所以方—3方=(-1,-6),

20+仍=2(2,0)+￡7(1,2)=(4+0,20),

又(E-3巧〃(2萬(wàn)+,所以-1x277=-6x(4+。,解得￡7=-6,

所以汨+￡70=(-2,-12),則k方+/=V(-2)2+(-12)2=2V37.

故選：A

【變式4-4](2022春?江蘇無(wú)錫?高一輔仁高中校考期末)已知三角形ABC中，點(diǎn)G、O分別是△□□闔

重心和外心，且方方?00=6,|OO|=2,則邊勺長(zhǎng)為.

【答案】6

22

【分析】由數(shù)整只的定義得出外心會(huì)足醺：歷=,西2=Ino(uo.W=^|W|=

g畝,由中線向量性質(zhì)用=|萬(wàn)方吊+期=家西+用,再由數(shù)量積的運(yùn)算得出

W2+~DD=36,利用品="方斤+配)平方后求得歷?無(wú)=0,即?？诳?然后由直角

三角形性質(zhì)得長(zhǎng).

【詳解】如圖，延長(zhǎng)?？诮?。。于￡7,連接口口，作口□，口不口，則a。分別是￡7。的中點(diǎn)，

W-~an=|W||W|cow乙□□口==inn,

同理方斤?方斤二g|歷|2二^^斤？，

萬(wàn)方?方斤=：(無(wú)+聞)?方斤=?(萬(wàn)萬(wàn)?方方+方方?運(yùn))+nn)=6,

336

2&

=36,

又國(guó)=3,

iI,?I.?[2.....,'，?——'>2.....>2>，—>

即?|□□+ud\=3,|L7￡7+叩=002=□□+uu+2[JU-￡70=36,

所以歷?市=0,即OO1口□，

所以|曰=2|W|=6,

【變式4-5](2021秋新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第二十中學(xué)校考期末)已知畫(huà)=4方|=3,(20-

34.(2萬(wàn)+4=61.求：

⑴國(guó)瓦勺夾角.

(2)|ZZ7+￡7|.

【答案】(瑞

⑵尺

【分析】(1)把(2方-30)?(2萬(wàn)+力=61展開(kāi)，代人已知數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的公式求出夾角的余弦公

式，即可得夾角；

(2)由?+可=J(方+力2,利用向量數(shù)量積計(jì)算.

【詳解】(1)g=4,?=3,(2萬(wàn)一3D)-(2D+H)=61,

4萬(wàn)之_43萬(wàn)-3萬(wàn)=61,即4x42-4x4x3cos(日可-3x32=61,

???cos(ZZZd=一；.

又；叵R的取值范圍為[0,又，???何可埒.

22

(2)7(O+力2=方2+^+2斤.^=4+3+2x4x3x(-i)=13

可得回+回=J(O+U)2=VT3.

題型5參數(shù)取值問(wèn)題

【例題5](2022春?上海浦東新?高一?？计谀?已知平面向量用=(-1,。，歷=(2,1),若小口□口

是直角三角形，則中可能取值是()

A.2B,-2C,5D.-7

【答案】A

【分析】計(jì)算/=(3,1-D),考慮當(dāng)O是直角頂點(diǎn)，。是直角頂點(diǎn)，。是直角頂點(diǎn)三種情況，根據(jù)向量

的數(shù)量積為0得到答案.

【詳解】~nn=(-1,U),~on=(2,1),則舒=~no-~nn=(3,1-o),

當(dāng)季直角頂點(diǎn)時(shí)：~DD-(-1,口?(2,1)=-2+0=0,￡7=2;

當(dāng)。是直角頂點(diǎn)時(shí)：~5O=(-1,口?(3,1-。=-3+￡7—爐=0,無(wú)解；

當(dāng)兵直角頂點(diǎn)時(shí)：W.(3,1-Z7)-(2,1)=6+1-￡7=0,H=7;

綜上所述：0=2或0=7.

故選：A

【變式5-1](2022春?江蘇無(wú)錫?高一輔仁高中校考期末)已知向量方=(-4,3),點(diǎn)0(1,1),27(2,-1),記

D方為百斤在向量方上的投影向量，若仃仃=仃壬，則□=()

A.IB.-IC.D2

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.

【詳解】由已知Z7ZZ7=(1,-2),￡7=-4-6=-10,|/j|=5,

無(wú)在向量方上的投影向量為dd=窖?高=q?方=一]方，

同目55

所以

□

故選：B.

【變式5-2](2022春?上海普陀?高一?？计谀?已知向量與刀的夾角為同=1,回=2.

(1)求萬(wàn)加值；

(2)若2萬(wàn)-通口血+下垂直，求實(shí)數(shù)t的值

【答案】⑴-1

⑵2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【詳解】(1)由題意可得:D-D=同.回cosy=1x2x(-l)=-1.

(2)若2方-函中+，直，則(2斤-⑦?(/+司=2￡7^+(2-=0,

即2。一(2-￡7)-4=0,解得口=2.

【變式5-3](2021春?河南商丘?高一校考期末)已知向量方=(-3,1),H=(1,-2),方=方+

￡7^(Z7eR).

⑴若國(guó)向量2方-央直，求實(shí)數(shù)廳勺值；

(2)若向量方=(1,-1),且方與向量㈤+方平行，求實(shí)數(shù)。的值，并判斷這時(shí)日與向量。方+方同向

還是反向.

【答案】⑴|

⑵。=一】反向

【分析】(1)求出方與2萬(wàn)-斤的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)公式列方程求解即可；

(2)求出心與㈤+方的坐標(biāo)，然后利用向量平行的坐標(biāo)公式列方程求出實(shí)數(shù)勺值，進(jìn)而可以得到心與

向量上+方的關(guān)系，從而得到其方向關(guān)系.

【詳解】(1)由已知得方=斤+團(tuán)=(-3,1)+￡7(1,-2)=(-3+￡7,1-2/7),

2O-O=2(-3,1)-(1,-2)=(-7,4),

O與向量20-/_便直

(-3+￡71-2口?(-7,4)=-7(-3+￡7)+4(1-2D)=0,

解得0=]

(2)VO=(1,-1),n=(1,-2),

DD+~D=￡7(1,-2)+(1,-1)=(O+1,-20-1),

???萬(wàn)與向量用+之平行，斤=(一3+。1—20,

(￡7+1)(1-2口=(￡7-3)(-2Z7-1),

???Z7=-g，

此時(shí)斤=(dl),用+方=(|，v),

???□―—51口□+ZZ7^,

O與向量。ZZ7+乙反向.

【變式5-4](2020秋福建三明?高一統(tǒng)考期末)如圖，在AOBC中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段0B

上，且OD=2DB,設(shè)用=方，~DD=D.

⑴若同=2,同=3,且方與方的夾角為/求(2萬(wàn)+U)-(D-D)；

⑵若向量無(wú)與無(wú)+k五磔線，求實(shí)數(shù)k的值.

【答案】⑴-1-3V3

【分析】(1)利用向量的內(nèi)積公式，計(jì)算可得答案.

(2)根據(jù)題意，得到方方=2萬(wàn)一萬(wàn)，W+E2DD=(20+1)》一9方方，

根據(jù)用與無(wú)+k玩共線，且方與之不共線，列出方程，求解可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)橥?2,同=3,且國(guó)方的夾角為/所以,0-0=|D|-|o|-cosf=373,

所以(2萬(wàn)+~U)-(D-D)=20-~D-O-=-1-3V3

(2)由題圖得，~CD=2nn=2nn-~DD,用=用+定=—|晶+

2DD-~Dn^2DD-l'DD,

因?yàn)闅v=》，~DLJ=~D,所以方斤=2萬(wàn)一萬(wàn)，方斤=2萬(wàn)-|方，

所以方方+￡700=O+n(2O-|U)=(2Z7+1)萬(wàn)一|中，

若無(wú)與百斤+k方雙線，則存在實(shí)數(shù)入，使得方方=￡7(W+non),

即2方-方=。[(2￡7+1)萬(wàn)一|唱,所以(2-2Z7O-0存=(1-1DD)D,

因?yàn)?。與冰共線，所以11_￡〃〃=0，解得g,所以實(shí)數(shù)加值為*

【變式5-5](2022秋?遼寧?高一大連二十四中校聯(lián)考期末)平面內(nèi)給定三個(gè)向量方=(3,2),D=(-1,2),

D=(4.1).

(1)若(方+DO)H(方-20),求實(shí)數(shù)Z7；

⑵若之滿足(萬(wàn)-O)//(O+O),且目-q=V5,求之的坐標(biāo).

【答案】⑴0=8

(2)0=(3,-1)HEO=(5,3)

【分析】(1)根據(jù)題意得方+OO=(3+4￡7,2+/7),D-2D=(-7,-2),由平行向量的坐標(biāo)表示即可

解決；

(2)設(shè)方=(。,。，得方-斤=⑷-4,0-1),方+方=(2,4),根據(jù)題意列方程組即可解決.

【詳解】(1)因?yàn)榉?(3,2),D=(-1,2),O=(4,1),

所以方+DO=(3+40,2+。，D-2D=(-7,-2),

因?yàn)?斤+阻〃(萬(wàn)一2⑦，

所以（一2）x（3+4。一（-7）x（2+。=0,

解得〃=8；

(2)設(shè)斤=(￡7,￡7),則方一方=(￡7-4,0-1),0+0=(2,4),

因?yàn)?方—D)H(O+O),p-q=V5,

14(￡7-4)-2(￡7-1)=0

所以｛(￡7-4)2+(￡7-1)2=5'

喇胎1或｛4：；，

所以方=(3,—1)或斤=(5,3).

題型6向量數(shù)量積的最值取值范圍問(wèn)題

【例題6](2021春?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)在4口口田,□□=□□=2,□□=2V3,若動(dòng)點(diǎn)O在

線段運(yùn)動(dòng)，則我方?品的最小值為()

A.-IB.IC.jD.

4444

【答案】A

【分析】以所在直線為a由，以a為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用平面向量積表示出吊?

DD,結(jié)合二次函數(shù)即可求解.

【詳解】以斤在直線為a由，以％原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

過(guò)點(diǎn)Of乍。。1口□,垂足為口,

由口□=口□—2,口□—2>/3,所以￡7/27-V3,□□—1,

可得0(0,0),0(273,0),0(73,1),

設(shè)直線勺方程為。=□去0),

則1=730，所以。=日，

即直線勺方程為口=鼻口,

設(shè)￡7(a苧0)，且OS￡74V5,

則苗=(-0,-^0),W=(2V3-n,-^n),

2

所以西?用=_□"點(diǎn)_口+滬-2遙口=式□一腎~1，

所以當(dāng)。=苧時(shí)，DD-無(wú)取最小值-*

上口□□=90°,乙□□□=120°,□□=□□="若點(diǎn)孕OO邊上的動(dòng)點(diǎn)，則萬(wàn)方用的最小值為

【分析】建立直角坐標(biāo)系，得出歷=(-1,D),W=(-1,口吟,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得出

晶=萬(wàn)-曰O+]OefO,V3],根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求歷,瓦的最小值.

【詳解】以。點(diǎn)為原點(diǎn)，口/斤在直線為a由，口斤斤在直線為9由，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

貝(]0(1,0),O(|,^),￡7(0,V3),

設(shè)點(diǎn)陛標(biāo)為0(0,0,貝！IOe[0,V3],~na=(-1,￡7),~DD=,

.■.DD-~OD=(TO.(-1,O—苧)=行一苧O+|=(O—弟，

二當(dāng)。4時(shí)，(用?用L=/

故答案為:日,

【變式6-2](2021春?陜西渭南?高一?？计谀?已知平面向量方,D,方滿足回=同=回=1,且萬(wàn)

0=0,貝!|(斤+可(方-2⑦的最大值為.

【答案】1+V5/V5+1

【分析】可通過(guò)坐標(biāo)法表示萬(wàn)，萬(wàn)，方的坐標(biāo)，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)式，求最值即可.

【詳解】解:,.回=同=同=1,且萬(wàn)斤=0,所以方1D,

，不妨設(shè)。=(1,0),口=(0,1),U=(cos￡7sinZ27)

貝!|(E+~3y(萬(wàn)-2功=(cosO+1,sinZ7)?(cosGsin。-2)

=cos2￡7+cosZ7+sin2￡7-2sinZ7=1-V5sin(Z7-￡7)e[1-V5,1+V5],其中tan￡7=-g,

所以(方+巧.52巧的最大值為1+V5,

故答案為：1+V5

【變式6-3](2021春?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)已知口口,口均是單位圓。上的點(diǎn)，且用_L,則

(方方一W).(W-玩)的最大值為.

【答案】1+V2/V2+1

【分析】根據(jù)點(diǎn)aa中位置及向量關(guān)系，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的定

義與正弦函數(shù)的性質(zhì)，列式求(方方-無(wú)力(方斤一方斤)的最大值即可.

【詳解】已知a口,儂是單位圓。上的點(diǎn)，且用1萬(wàn)方，如圖，以％原點(diǎn)，口□,口改口,m由建立

平面直角坐標(biāo)系,

則。(0,1),0(1,0),設(shè)O(cosasin。，則爐+4=1

所以卜□由-ZZ7ZZ7)?(□由-所中)=(cos/Z^sin/ZZ-1)-(cos￡7-1,sin。=cos2￡7-cos￡7+sin2￡7-

sinZZZ=1-cos￡7-sin￡7=1一V5sin(z7+g)

又ZZ7eR,所以sine[-1J],故1-^^汽口+胃的最大值為1+V2,

即(西-W)-(OO-方日的最大值為1+V2.

故答案為：1+V2.

【變式6-4】(2021春?陜西西安?高一統(tǒng)考期末)騎自行車是一種既環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某自行車的

平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓D(后輪)的半徑均為我，△□□□,△□□□,△□□*

是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，用的最大值為

【答案】3+8V3/8V3+3

【分析】建立直角坐標(biāo)系，可得。(-8,0),￡7(0,0),設(shè)￡7(V3cosD：V3sinL7)表示出無(wú)?無(wú)再由三

角函數(shù)的性質(zhì)得解，

【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則。(一8,0),n(0,0),圓D的方程為O2+萬(wàn)=3,則可設(shè)0(禽cosaVSsin。,(0<H<2n),

所以LJU=(-8-V3cos￡7-V3sin/7),LJLJ=(-V3cos/ZZ-V3sin/Z7),

所以ZZ7/j-所力=(-8-V3cos￡7)(-V3cos￡7)+(-V3sinZ7)(-V3sin￡Z7)=875cos￡7+3,

當(dāng)cos〃=1時(shí)，萬(wàn)方?歷的最大值為3+8V3.

故答案為：3+88.

【變式6-5](2022春?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末)已知向量方,D，方滿足回=|回=2,回=3萬(wàn)JL斤，

則(斤—30)-(H-3聾)的最大值為()

A.40-6V13B.40+6尺C.36-6尺D.36+6代

【答案】D

【分析】根據(jù)題意設(shè)0(2,0),0(0,3),￡7(2cosQ2sin￡7)，即可根據(jù)向量運(yùn)算得出0-3功?(萬(wàn)-3。=

36-6尺sin(O+D),再根據(jù)三角函數(shù)范圍得出答案.

【詳解】由題意可設(shè)0(2,0),￡7(0,3),Z7(2cos￡7,2sin￡7),

貝(JZZ7—3□—(2—6cos—6sin￡7),口—3口=(—6cos口,3—6sinZ^7),

貝!J(方-3萬(wàn))?(方一30)=(2-6cosZZ7)x(-6cosZ7)+(-6sin￡7)x(3-6sin￡7),

=36-12cos￡7-18sin￡7,

=36-6Vi3sin(￡7+￡7),

o

其中tan。=§,

v-1<sin(匚7+ZZ7)<1,

則（萬(wàn)一30）■（n-30）＜36+6V13,

故選：D.

【變式6-6]（2023秋?北京?高一北京師大附中?？计谀┰?口口儻,口、皿邊口口、口入的點(diǎn),且

滿足扇一。同一以

（1）若4。。叫邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，口=T，。=1,求方DOO;

（2）若￡7=：,￡7=3晶=DDD+lJDn,求〃+￡7;

心）若乙□=三,口口=2,口口=1,口=D,求才?配的最大值；

⑷若將“口、。為邊oat的點(diǎn)”改為"口、睥匕。。中）內(nèi)部（包含邊界y,其它條件同（1）,則

DD-配是否為定值？若是，則寫(xiě)出該定值；若不是,則寫(xiě)出取值范圍.（不需要說(shuō)明理由）

【答案】（1）一?

（2）-5

（3）-J

（4）不是定值，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）。、/秒是□□、勺中點(diǎn)，方立尼的夾角為60°,W=5（W+OO）,~DH=

^（-2OO+OD）,計(jì)算晶可;

（2）若O=g,。=：,則，8巨離是。近的?！ㄈ确贮c(diǎn)，O是距離。近的￡7。三等分點(diǎn)，

則由用=用+用=|用+g用可得口口，從而求出O+O；

（3）禺+1=甕=￡7+1,~DD=（1-D）DD+DDD,且小[0,1],

由濟(jì)?W=3（0+1）+備一7,。+1e[1,2],令￡7（。=30+[1,2],由函數(shù)的單調(diào)性定

義可得0（。=30+｝在。€[1,2]上單調(diào)遞增，可求出百?。┳畲笾?；

（4）以。，的中點(diǎn)口為原點(diǎn)，所在的直線為a由，口中垂直平分線為6由建立平面直角坐標(biāo)系，，

設(shè)o（aa）,口口口,可得點(diǎn)。在以a為圓心，半徑為i的三角形ooo內(nèi)部的圓弧上，包括與三角

形SGJ邊上的兩個(gè)交點(diǎn)口口，點(diǎn)。在三角形OOO內(nèi)部線段。集垂直平分線上，包括點(diǎn)次口05勺

中點(diǎn)。，取點(diǎn)。、點(diǎn)，特殊位置可得答案.

【詳解】(1)若^邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。=(。=1,

則。、4效是口口、OO的中點(diǎn)，仍玩的夾角為60°,

m=^(W+W),W=J(W+OO)=^(-W+W-W)=^(-2W+W),

所以歷?on=X歷+無(wú))，(-2方方+方⑦

=:(-200-W-市+no)=；x(—8—2x2x；+4)=—|;

1

若n-

2)3-

則5巨離是。近的。片等分點(diǎn),a是距離。近的。。三等分點(diǎn),

所以O(shè)=；,O=_)口+口=:一：=一!；

00000

因?yàn)殛?yáng)二口，所以陽(yáng)+丁單挈=陽(yáng)=。+-

|￡7￡7||四|四|￡7￡7|

/=濟(jì)+/=定+晶+￡7(歷-^5)=(1-O晶+

............，?......>....1-一-一->

□□=□□+口口=-口口+3口□,

￡7+1

因?yàn)镺=U,所以歷=-W+^W,且Oe[0,1],

所以歷.W=((1-￡7)00+￡700)-(-W+^OD)

=⑷-1)司+(導(dǎo)O)OO-W+^W2=30+備一4,

=3(0+1)+-7,￡7+1e[1,2],

令￡7(。=3ZZ7+g,口€[1,2],設(shè)1<口1<口?S2,

所以。(&)-0(4)=34+a-(34+與=⑷一,

因?yàn)?4口I<口242,所以。1—口2VO,3ZZ7i□?—1>0,

所以&a)<44),=3。+訝生口e[1,2]上單調(diào)遞增，

所以3(0+1)+^y-7<3x2+^-7=-^,

當(dāng)0+1=