高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊數(shù)列專項突破

高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第二冊數(shù)列專項突破

3

第I卷(選擇題)

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一、單選題

1.已知｛斯｝是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，若存在實(shí)數(shù)XI,X2,X3,…，X9滿足方程

sin玉+sinx2+sinx3+...+sinx9=0

組則d的最小值為()

4sinXj4-6^sinx2+a3sinx3+…+/sin用=25

9854

--c-

A.8B.94-D.5

2.已知數(shù)列｛%｝的各項都是正數(shù)且滿足2吊—3%=4-(〃eN\n>2),S“是數(shù)列｛/｝的

前”項和，則下列選項中錯誤的一項是()

A.若｛4｝單調(diào)遞增，則。<2；

3

B.若％=1,則m<“3<2；

C.若。產(chǎn)2,貝|」(2見+1)(2%+1)…(2/+1)=^^522)

4-2

D.若4=3,則S,一(3丁).

,、(2,?<5/八

3.已知數(shù)列｛%｝滿足：。,=,、/〃eN.若正整數(shù)網(wǎng)225)使得

a；+靖+…+《=4〃2…%成立，則&=

A.16B.17C.18D.19

4.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足q=a(a>2),e-“+。向=-，+履“(〃eN*),給

出下列三個結(jié)論：①若女=1,則數(shù)列｛勺｝僅有有限項：②若左=2,則數(shù)列｛%｝單調(diào)遞

2

增；③若k=2,則對任意的M>0,睹存在，%eN’，使得見>例成立.則上述結(jié)論中

正確的為()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.數(shù)列｛““｝中，若4=a,a?+i=sinfyaA?e,則下列命題中真命題個數(shù)是()

(1)若數(shù)列｛《,｝為常數(shù)數(shù)列，則。=±1;

(2)若ae(O.l),數(shù)列｛a,,｝都是單調(diào)遞增數(shù)歹U；

(3)若aeZ,任?。?｝中的9項成，…，艱(1<8<佝<???<%)構(gòu)成數(shù)"J｛q｝的子數(shù)

｛限｝(〃=1,2「..,9),則｛”｝都是單調(diào)數(shù)列.

A.0個B.1個C.2個D.3個

6.已知數(shù)列｛”“｝滿足：ai=O,%=ln(e""+l)-a“(nWN*),前"項和為S”(參考數(shù)據(jù):

ln2=0.693,ln3=1.099),則下列選項中錯誤的是()

A.他“J是單調(diào)遞增數(shù)列，｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列B.an+a?+l<\n3

C.$2020<666D.。2"-1<

二、多選題

7.已知數(shù)列口｝滿足：4+4=1+%,4=1,設(shè)aWnaQeM),數(shù)列也｝的前八項和

為S“，則下列選項正確的是(ln2yO.693』n3al.O99)()

A.數(shù)列｛%_)單調(diào)遞增,數(shù)列｛%“｝單調(diào)遞減B.〃+%41n3

C.S2020>693D.b211T>b2?

8.已知數(shù)列也｝滿足4=1,《用=”?”2(〃eN)其中國表示不超過實(shí)數(shù)[x]

的最大整數(shù)，則下列說法正確的是()

A.存在"cN,,使得號B.卜是等比數(shù)列

C.”2020的個位數(shù)是5D.%)21的個位數(shù)是1

第H卷(非選擇題)

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三、填空題

9.已知數(shù)列｛%｝、｛〃,｝、｛&｝的通項公式分別為4=竺、"=四、%=竺，其中

nst

〃+s+/=200,s=kn,〃,s,t,kcN*,令M=max｛a“也,q｝(013*｛4,也,?！埃硎?。“、為

、c,三者中的最大值)，則對于任意keN*,M.的最小值為

ahah>0

10.任意實(shí)數(shù)a,h,定義“領(lǐng)=g帥<0,設(shè)函數(shù)/(x)=log2X(g)x,數(shù)列｛4｝是公

,~b0<

試卷第2頁，共4頁

3

比大于0的等比數(shù)列，且4。"=1，/（卬）+/（見）+/（。3）+…（a刈9）+/（?202（>）=-—,則

%

《二一;

11.對于數(shù)列｛%｝定義：。）=4.「q（”€叱），/）=?2_/（〃€“），

f=/_/）（〃€N*）,…，/—[nwN*）,稱數(shù)列｛/）｝為數(shù)列｛q｝的0階差

分?jǐn)?shù)列.如果#=d（常數(shù)）（〃€N"）,那么稱數(shù)列｛a,,｝是k-階等差數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)數(shù)列｛4｝

是3-階等差數(shù)列，且4=3,%=9,%=27,￡=6,則數(shù)列｛%｝的通項公式為

12.定義“穿楊二元函數(shù)”如下：Cm，〃）=e+2a+4[+8a+..；例如:

〃個

C（3,4）=3+6+12+24=45.對于奇數(shù)”?，若Vie｛1,2,3,4,5｝,3a,.,n,.eZ+,a,.>1,?,.>1

（4，/，4，4，“5彼此相異），滿足C（4，〃J=m,則最小的正整數(shù)機(jī)的值為.

四、解答題

13.設(shè)數(shù)列｛〃“｝和｛5｝的項數(shù)均為①則將數(shù)列｛%｝和｛瓦｝的距離定義為打4一切.

i=l

（1）給出數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離；

1+CI,.

（2）設(shè)A為滿足遞推關(guān)系如+產(chǎn)療的所有數(shù)列｛”“｝的集合，｛兒｝和｛金｝為A中的兩個

元素，且項數(shù)均為胴，若素=2,a=3,｛瓦｝和｛金｝的距離小于2016,求加的最大值;

（3）記S是所有7項數(shù)列｛斯|1W芯7,a”=0或1｝的集合，TQS,且T中任何兩個元素的

距離大于或等于3,證明：7中的元素個數(shù)小于或等于16.

14.在無窮數(shù)列｛4｝中，可，生是給定的正整數(shù)，a,l+2=|a?+l-a,,|,?eN,.

⑴行4=5,a2=3,寫出〃20]9,“2020，。2021的值；

（2）證明：存在機(jī)eN“,當(dāng)“〉機(jī)時，數(shù)列｛%｝中的項呈周期變化；

（3）若為,生的最大公約數(shù)是女，證明數(shù)列｛4｝中必有無窮多項為h

15.給定數(shù)列q,七‘…對i=l,2,…,”-1,該數(shù)列前，項的最大值記為4，后項

的最小值記為q,4=4-8,.

（1）設(shè)4=gx2"T,求4；

（2）設(shè)4M2,…,a,,（〃N4）是公比大于1的等比數(shù)列，且4>。時，證明：4一

成等比數(shù)列；

（3）設(shè)4，4，…,4T是公差大于o的等差數(shù)列，且4>0,證明：?！钡?，…,4—成等差

數(shù)列.

2（n=l）

16.已知數(shù)列｛?卜滿足"“=g*+_L（心（V2O,，+rxO,〃geN）.

（1）當(dāng)9>1時，求證：數(shù)列｛《,｝不可能是常數(shù)列;

（2）若卬=0,求數(shù)列｛%｝的前〃項的和:

2

⑶當(dāng)q=g,f=l時，令""=寂=（〃N2，〃eN）,判斷對任意〃之2,〃eN,b“是否為

正整數(shù)，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.C

【分析】

把方程組中的%都用4和d表示，求得d的表達(dá)式，根據(jù)方程組從整體分析可知：當(dāng)

sin^=sinx2=sinXj=sinx4=-1,sinx5=0,sin/=sinw=sin/=sin.q=1時，d取最〃、值.

【詳解】

解：把方程組中的4都用q和，/表示得：

qsinXj+(4+d)sin/+(q+2J)sinx34-???+(q+8J)sinx9=25,

把sin%+sinx2+…+sin/=0代入得：

25

"=sinx2+2sin為+...+8sin為,根據(jù)分母結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及皿占+sinx?+…+sin%=°可知：當(dāng)

sin%=sin/=sin^=sin/=-1,sin/=0,sin%usin與=sin%=sinAg=1時，

____________25____________5

“取最小值為

-1-2-3+4x04-5+6+7+84

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組從整體分析得：當(dāng)sin±=sinx2=sinx,=sinx4=-1,

sinx；=0,sinxe=sinx,=sin%=sin%=1時，，”取最小值.

2.D

【分析】

由數(shù)列遞增可得a.>a“T，結(jié)合數(shù)列的遞推式，解不等式可判斷A；分別求得生，生,比較

可判斷B；由數(shù)列的遞推式可得24+1=子（，由累乘法可判斷C;求得。2,邑，可判斷O.

【詳解】

解：數(shù)列｛叫的各項都是正數(shù)且滿足2a；-3q,=qi5eN*,?-2）,

若｛《,｝單調(diào)遞增,可得4>%T，

即為4,-%=4。,,-24>0,

可得0<q<2,司.2且

由q<“2，

答案第1頁，共22頁

可得0<q<2,故A正確；

若q=i,

可得2a；-3a2=a,=1,

解得生=的普(負(fù)值已舍去)，

由2a；-3a,=a2=3+^^,(*),

也叵e(L75,1.8),

4

393.3

而2d-3a3=2(-京在⑵，2)的范圍是《近一3x2,，2),

而夜v2久2，

貝440-3x2：e(4a-6，⑶，

故方程(*)的解在(2)2)內(nèi)，故B正確；

由，

可得2a；-3a”-2=2,

即(2??+l)(a?-2)=??_,-2,

即2%+1=黑券

可得(2生+1)(2%+1)-3,+D=3?：：；..=%回二刀，

故C正確；

若〃i=3,可得2a；-3a2=4=3,

解得生=2普，S?=3+史普，

,3x(3x2+D21.3+屈21>/33-6八

由-4—=優(yōu)3+1^丁^<°,

可得邑<3X(3；2+1),故。錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推公式的運(yùn)用，考查數(shù)列中的項的范圍和單調(diào)性，以及數(shù)列的求和，考查

化簡運(yùn)算能力、推理能力.

3.B

答案第2頁，共22頁

【分析】

由題意可得q=%=%=%=。5=2,4=T=2$-1=31,九.6時，4a2…=1+4，

將〃換為九+1,兩式相除,d=%-4+l,n..6,

累力口法求得〃;+d+…+d=。八1一〃6十2一5即有〃；+W+…+〃；=2。+4+[-4+%—5=〃A1+4—16,

結(jié)合條件，即可得到所求值.

【詳解】

12,%5

解：?！?{1(〃wN*),

即4=4=6=。4=%=2,a6=4a2%—]=3],

兒.6時，-…%=1+可，

的2…4=1+%，

兩式相除可得罌^見，

則+1，幾.6,

由4；=47-4+1'

《=4-%+],

a*=a*+i-%+1,k..5,

a

可得i,+/+…+“；=—a6+k—5

a;+a；=20+a?+1—%+%—5=a*+1+k—16,

且4a2…4=1+4”，

正整數(shù)左伏..5)時，要使得^+耐+…+公=卬/…%成立，

則喙“+&-16=a**i+l,

貝必=17,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞

推關(guān)系，從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.

4.A

【分析】

答案第3頁，共22頁

對于①，利用數(shù)列的單調(diào)性，通過累加法即可作出判斷；對于②，先證明%>2,再借助作

差法即可得到結(jié)果；對于③，判斷數(shù)列是有界的還是發(fā)散的即可.

【詳解】

對于①，e""'+。"+|=--‘+。〃+1一%=-"■■一"』,

又?jǐn)?shù)列｛叫各項都為正數(shù)，???。向一q<0，

，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，，。<?！?1一----；

ana\

1

anl~an<-----，

+an

%-4=(4一4一2)+???+3一①)

--------...,---...---

4T%%%%%4'

n—1八n—1

??.〃〃-4V--------,艮[j0</<q---------,

4q

n—\_

0<q--------,g[Jn<a2+1=(?2+1,而a?+i為定值,

4

二數(shù)列｛%｝僅有有限項，命題正確；

對于②，先用數(shù)學(xué)歸納法證明4>2.

(1)當(dāng)〃=1時，?,=?>2,顯然成立；

(2)假設(shè)〃=無時,4>2,

17

則。一%'+4+1=~+2&>不，

42

記/(力="*+%，(x>0),

/'(x)=1->0,/(x)=e、+x在(0,+e)上單調(diào)遞增,

7

〃2)=e-2+2<5<〃4.3

?**ak+l>2,

???對XMwN*,都有4>2.

答案第4頁，共22頁

%-a”=a”---e-"-'>a-----1,

a”na”

又y=2x-：-l在(2,s)上單調(diào)遞增，

又%>2,...ae-aQZq-lW〉。，

數(shù)列｛《,｝單調(diào)遞增，命題正確；

對于③，

?v+a?tl=--+2a?,

冊

4+1=-+2an-e'a"r'>2a?---1,即a“+i>2a“----1,

anana?

13

又〃“>2,，an+l>2an---y=2an--,

??.《,廠|>2N一|),

***an-+1，

222

_____q_____<

.?.%卜「I卜一+1,-|卜'I'

n2

------------------------------------2n"

顯然(3、i存在上界，即一存在上界，

[a'~2)2a"

，命題錯誤.

故選：A

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系履,,(〃eN*)顯然無法確定通項，從而要從項間關(guān)系切

入，利用單調(diào)性、最值、周期性等，結(jié)合放縮思想即可得到結(jié)果.

5.C

【分析】

對(1),由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則a2=sin(]a)=a,解方程可得。的值；

對(2),由函數(shù)/(x)=sin《x)-x,xe(O,l),求得導(dǎo)數(shù)和極值，可判斷單調(diào)性；

TT

對(3),由/(x)=sin(]x)-x,判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)

答案第5頁，共22頁

論.

【詳解】

r

數(shù)列｛4“｝中，若4=",??+,=sin(ya?),neN,

(1)若數(shù)列｛4｝為常數(shù)數(shù)列，則/=sin(]a)=〃，

解得a=?；颉?,故(1)不正確；

TT7T

(2)若?！?0,1),—ae(0,—),

22

.k、

a2=sin(-a),

TT

由函數(shù)/(x)=sin(,x)-x,xe(0,l),

TC冗

r(X)=]COS(5X)-l,

由gxe(0,g),可得極值點(diǎn)唯一且為m=2arccos2,

227171

極值為f()n)=———--arccos—>0?

71TV71

由/(。)=/(1)=0,可得〃2>4，

則%2=sinC1^2)-simgq),。，即有火>出.

777T

由于a,,e(0,1),ya>re(0,-),

由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得為“>”,,，

則數(shù)列｛4｝都是單調(diào)遞增數(shù)列，故(2)正確；

(3)若。€(0,1),任?。?”｝中的9項4,以，旬，…，a^<k,<k1<...<

構(gòu)成數(shù)列伍"的子數(shù)列｛%』，〃=1,2,…，9,｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列；

TT

由〃x)=sin(5x)-x,可得f(-x)=-/(x),/(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)0cx<1時，/(x)>0,x>l時,/(%)<0；

當(dāng)-l<x<0時，f(x)<0；x<-l時，/(x)>0,

運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得0<a<1或。<T時，數(shù)列｛4“｝單調(diào)遞增；

-1<〃<0或。>1時，數(shù)列｛a,J單調(diào)遞減.

所以數(shù)列｛%｝都是單調(diào)數(shù)列，故(3)正確;

答案第6頁，共22頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想方法，屬

于難題.

6.C

【分析】

設(shè)*="，則有酊也M=片，*2=等丹，構(gòu)建g(X)=N，求導(dǎo)分析可

知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列也“｝，｛邑"都是單調(diào)數(shù)歹U，分別判定a<4也>々，即得單調(diào)性，

數(shù)列｛q｝與數(shù)列｛2｝的單調(diào)性一致，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明，可知

B正確，C錯誤；D選項利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證31<與1<a“，即可證得的,1<”2“.

【詳解】

由題可知，。1=0,=ln(e,+1)-勺，a2=ln(^°+l)-0=ln2

....,.b”+1.2b”+1

設(shè)e"“=b”也>0,則有如也,=2+1也用=<-,即/+2

b“2+1

令g(")='則")=油］>°,這里將(如也),您也+2)視為g(x)上的前后兩點(diǎn),

b-b

因函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以片5L>°，

所以數(shù)列｛邑｝，出,1｝都是單調(diào)數(shù)列

又因為仿=產(chǎn)=e0=l,同理可知，也>4,所以｛邑_J單調(diào)遞增，｛%｝單調(diào)遞減

因為數(shù)列包｝與數(shù)列｛〃｝的單調(diào)性一致，所以他單調(diào)遞增，｛%“｝單調(diào)遞減，

故A選項正確；

因為*="“，則％=In",欲證%=lnd+ln"+|=ln(6jd+JWIn3,即

么也+i43n?+143n442

由6向=鋁，上式化為4里42=2_21,

”,給

顯然〃=2時，々=1,當(dāng)〃23時，故％±1成立；

2

所以原不等式成立

答案第7頁，共22頁

故B選項正確；

欲證??+a?+,++2*In3,只需證In?+Inb?+l+Inbn+2>ln3,即In(〃?〃向也+?)*m3

即bjb“,「b”,223="號423n2"+123n221,顯然成立

b.bn+\

1998

aa

故?+4*i+n+22In3>1,所以S2020>S慚>xl=666

故C選項錯誤；

欲證/因單調(diào)性一致則只需證以一心”“，只需證%1T〈丹!■〈公

/—廠.2/?.+111y/S+1

因為2〈怨，若總<理，則?%”^H^二?。?/p>

2+

I—［―.Zb、”+111x/s+1

又因為打=2>與，若"，則電+2=^T=2—逅>2—^^=-7-；

由數(shù)學(xué)歸納法有b2?_t<岑］<b2?，則“2,1</“成立

故D選項正確。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】

本題考查二階線性數(shù)列的綜合問題，涉及單調(diào)數(shù)列的證明，還考查了分析法證明與數(shù)學(xué)歸納

法的證明，屬于難題.

7.ABC

【分析】

由給定條件可得。皿=?唱，由此構(gòu)造函數(shù)g(X)=￥，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性而判斷選

項A,利用不等式性質(zhì)探求出442可判斷選項B,由。”的范圍探求出a+以1+%2的范圍

而判斷選項C,取特值說明而判斷選項D.

【詳解】

1+ci,,2a+1

因q=l,4+4=1+。“，則。用=----,即。"+2=丁丁，

令g(x)="?(x>0),則g'(x)=,］、2>0,g(x)在(。，+°°)上單調(diào)遞增，

x+\(x+1)

點(diǎn)(%4)與(%%)(“eN*,"23)是函數(shù)g(x)圖象上的兩點(diǎn)，于是有?小>0("N3),則

Cln-an-2

&”},E-J都單調(diào),

答案第8頁，共22頁

35

又q=1,則%=2,%=,,%=§，即4<%，%>4，所以單調(diào)遞增，｛%,｝單調(diào)遞減，

A正確；

顯然%>0，?！啊?1+?>1,而4=1,即V〃eN*，44l,則0<,41,1<??+,<2,

于是14。.42,則有。“,口”=1+?！迸c3,所以々+"+1=lna"+lna“M=ln(a,,q,M)Vln3,B正確；

〃“+12a”+1

4+2田+瓦+2=Ina?+Ina?+Ina?,=\n(a?a?^),而a?a,^a?,=a?-------=2a?+1>3,

+1222u1

na林十

b“=lna“20,b?+b?+l+b?,2>\n3

2019

所以S9o>S2019>三一ln3?1.099x673=739.627>693,C正確；

_35

a

若砥-i>b21t,貝ijIna2n-i>Ino,而q=L4=2,6=/,%=§,即％”-i>in對

"=1和”=2都不成立，D不正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及單調(diào)性的某些數(shù)列問題，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借

助函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.

8.BD

【分析】

根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可得“"”=3%-1,從而可

求數(shù)列｛4,｝的通項，從而可判斷AB的正誤，利用二項式定理可判斷C的正誤，從而可判斷

D的正誤.

由題可得,為正整數(shù)，故4+1

所以數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列,

故當(dāng)時，a?>a2=2.

答案第9頁，共22頁

又當(dāng)〃之2時,（。〃一2）2-J。：-；］=，4〃〃<°即（一2<Ja：-；,

1

即2?

<03a-i<

2tl

結(jié)合3?！?1、3%均為正整數(shù)可得。向=3a.—1,其中〃22,

而4=34-1,故a.+|=3a“-1,其中〃21.

故4可_5=31%_5>又4一萬二]十。，故《一耳力0,

°」

故二，=3,故數(shù)列是以g為首項，3為公比的等比數(shù)列,

因此《,—g=gx3"T,??=1(3"-|+1),因此A錯誤，B正確.

7_32019+1_3-32(),8+1_3-(10-1)，0<)9+1

%°2。=-^―=—2—二]

3.(酸10曄-/10儂+…-CQ02+C曜明1)+1

2

00900s

BIO。-C：009101+…-。需102)+1009x30-2

2

=3-(30910皿-c：009KT8+-C：黑102)+1000x30+130十4，

因為3-(C；109103y009K)頡+…-C：黑102)+1000x30為10的倍數(shù)，

2°

故出⑼的個位數(shù)為4,因此C錯誤.

設(shè)=10%+4,則％以=3(10%+4)—1=30A+11=30氏+10+1,

故生⑼的個位數(shù)為1，因此D正確.

答案第10頁，共22頁

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：以取整函數(shù)為背景的數(shù)列的遞推關(guān)系，需結(jié)合遞推關(guān)系的形式和整數(shù)的性質(zhì)挖掘

新的隱含的遞推關(guān)系，從而把問題轉(zhuǎn)化為常見的遞推關(guān)系，與個位數(shù)或余數(shù)有關(guān)的問題，多

從二項式定理去考慮.

9心

11

【分析】

當(dāng)％=2時，可得出=max｛a“c,,｝=max,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得”=萼，

取得最小值，而44＜警＜45,分別求出知皿，比較可得火=2時，的最小值，

然后當(dāng)*=1,*43時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出可能取得最小值時〃的值，比較即可得

答案

【詳解】

60]

當(dāng)％=2時，可得=max{”“也,％}=max{《,,％}=max{—

200-3nJ

因為數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列｛。｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)一=CA/、。時，取得最小值，此時"=二-,

n200-3n9

HAUU400+}[4060110

因為44＜丁＜45,而％4=max{%Q}=max{笠，200_3x44j=T?

、J4060112

M=maxJ=max＜—,---------＞=—,

45I45,45/145200-3x45113

1012

又因為一＜一,

1113

所以當(dāng)％=2時，M,,的最小值為

8030]

——＞，

{n1UU-nJ

因為數(shù)列也}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{c,,}為單調(diào)遞增數(shù)列，

QQ3()Q(V)

所以當(dāng)空=77^一時,，％，取得最小值，此時”=當(dāng)，

nl(X)-n11

「、…800”)f8030110

因為72＜斤＜73,而％2=max{42，%}=max慢,],

M73=max{b73,c73)=maxj=y,此時M”的最小值為？，與哈

答案第11頁，共22頁

當(dāng)％之3時，%--------2------=----，為>4,

200-(1+4)〃-200-4”50-?

rI、J4015

所以吃=max｛a“，2，c,｝=

4015

7n~I〃’50-〃廣

因為數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列［白J為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)竺時，乩=max［竺，答一］取得最小值，止匕時”=￥，

n50—〃In50-HJ11

4015401515

因為36<-JY<37,而”36=max

36,50-36為‘50-3713

又因為寫<卷，此時此的最小值為與，

綜上，M”的最小值為與，

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類思想，解題的關(guān)鍵是分別當(dāng)％=2,G=1

和A23時，根據(jù)題意求出M”的最小值，然后比較可得答案，考查計算能力，屬于難題

【解析】

【分析】

根據(jù)定義可得函數(shù)/(x)的解析式.對等比數(shù)列的公比分">1應(yīng)=1，4<1三種情況討論，再結(jié)

合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得數(shù)列的首項.

【詳解】

abab>0

因為對任意實(shí)數(shù)a,b,定義=Ja

xlog2X

X>1

函數(shù)/(x)=log2不③無=<log2%

0<x<1

數(shù)列｛4｝是公比大于0的等比數(shù)列，且%

①當(dāng)4>1時,因為%HI=1

所以4，%,4..?"OIO￡(°」)'。1012，〃1013,4()14…％020^(1,+°0)

答案第12頁，共22頁

由等比數(shù)列通項公式可得4ou=q，"°=l，所以q=產(chǎn)

11I<QInnn

整個數(shù)列為嚴(yán)?，嚴(yán)，嚴(yán)…1,4,4■■…4

3

因為了(4)+〃％)+/(%)+…由喙H八限卜一一

a\

所以代入可得

log9alog,%log2a,log24()i()ci.13

+++…1硬+0+432log?a2M2+4331°趺%。13+--^020%。2。=一一

4。2。3"1010%

即log?+?100910§2+?'°°8lo§27k'+',,

+qlog」+qlog,q+/log,產(chǎn)??+泮log,泮=兩⑼。

q

由對數(shù)運(yùn)算用log?$+泮log?泮=0,泮噫*+產(chǎn)1。氏產(chǎn)=0…

夕4

所以化簡后可得d"°log?卡=-3/8°,即產(chǎn)=2=8

11

所以4=刖=a

qo

②當(dāng)q=l時，4=%=%…=“2020=1

此時“4)=/(電)=/(4)=?.可(。孫9)=/(。2020)=°，

)蟲％)V(%)+…^(?9)蟲％)=0*-3

所以不成立

③當(dāng)q<i時，q()u=qq'0'°=1，所以4=皿。

11147100Q

整個數(shù)列為1同，一^，F(xiàn)T…1，/夕’…q

qqq

所以知%,。3…%)10E(1，y0)，4()12,01013,41014…。202()^(°」)

3

因為〃4)+/(出)+/(%)+…tf(/(H9)+/(〃202())二一二

答案第13頁，共22頁

代入可得

1

a,log,q+a2log,a2+a}log,a3+--al()1()log,aIOIO+0+'嗎/"。+嘮?+???血義=_A

“10124013。2020a\

1.11.11.1

即薩■l°g2族而+log?而+新'log2薩"+…

qqqqqq

+L°g/+七+口:…+$5

2

qqqq

不J_z?IOO9_n^,10081?/00812?I008_n

由對數(shù)足算夕log?嚴(yán)7+q1。824=°，q蜒2嚴(yán)^+9'°§2^=°…

所以化簡后可得當(dāng)1。無六=

因為當(dāng)g<l時而>1,所以等式左邊大于0,等式右邊小于0,方程無解

綜上所述，4=:

O

故答案為:

O

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，指數(shù)與對數(shù)的互換、對數(shù)的綜合運(yùn)算及

求值，分類討論思想的應(yīng)用，計算量大，過程繁瑣，需要很強(qiáng)的計算推理能力，屬于難題.

11.a“="-〃+3

【分析】

根據(jù)定義，利用迭加法求得/)=$「￡=q+2-24川+4,=6〃+6,繼續(xù)迭加后，得出

為+2-。田=式乎+6,先求出4+2的表達(dá)式，即可得出數(shù)列｛q｝的通項公式?

【詳解】

解：由題知：43)=42>-42)>

/)=十)-/)，

K，

答案第14頁，共22頁

迭加得:f+f+/)+…+七=/)_0=0_12,

則6(九-1)=4；-12,上2)=6〃+6.

又=$「￡,=an+2-物+|+q=6〃+6，

則a3-2a2+4=6x2,

a4—2a3+/=6x3,

q+2一勿，用+q=6("+1),

迭加得：a,^2~an+\~a2+4=6(2+3+4???+(〃+1)),

n2+3〃

則見+)—^n+\=6X[2+3+4H---1-(〃+1)]+6—4+6,

2

l2+3xl乙

貝|J〃3-4=-------+6,

2

22+3X2工

2

n2+3n

迭加得：〃〃+2—〃2=/[(r+2~+32H--F〃~)+3(1+2+3H---F〃)]+6〃，

13

則an+2=五〃(〃+l)(2〃+l)+j〃(〃+l)+6〃+9,

3

貝Ijan=n-n+3.

故答案為：—〃+3.

【點(diǎn)睛】

本題考查由新定義求數(shù)列通項公式以及迭加法的運(yùn)用，考查邏輯思維和計算能力.

12.9765

【分析】

先求出由題設(shè)可知團(tuán)至少有5個不同的正的奇約數(shù)，且5個奇約數(shù)中，至少有一

個為2〃-1的形式，據(jù)此可得加的最小值.

【詳解】

答案第15頁，共22頁

n

因為C(a,n)=g+2a+4”8a+：,故。(氏n)=a(2-\].

“個\7

由題設(shè)，存在5組不同的使得奇數(shù)，〃=qx(2"-l)>l,

故機(jī)有5個不同的形如2"-1形式正的奇約數(shù)，

456

又3=22-1,7=23-1,|5=2-1,31=2-1,63=2-1,

又15=3x5,63=3x7x3

故m的最小值為3x7x5x3x31=9765.

故答案為：9765.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的求和以及正奇數(shù)的因數(shù)分解，注意對題設(shè)條件要合理轉(zhuǎn)化，從而得到正奇數(shù)

m滿足的性質(zhì)，本題屬于難題.

13.(1)7：(2)3455；(3)證明見解析.

【分析】

(1)由數(shù)列距離的定義直接求出所給兩個數(shù)列的距離；

(2)令a尸p,由遞推公式，求出。2,a4,a5,探求出A中數(shù)列項的周期性，即得數(shù)列

｛辦｝和｛如｝規(guī)律，

4734564x864[

由M=￡結(jié)合周期性及Z血-d=Z\b-c,.|=-x864=2016,求得m的最大值；

i=l3i=li=l3

(3)假設(shè)了中的元素個數(shù)大于等于17個，設(shè)出｛c“｝,｛助，[fn],最終求得￡|f-c,|42和

i=l

之傷-4|42中必有一個成立，與已知矛盾即可得解.

i=l

【詳解】

(1)依題意,數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離為1+0+5+1=7；

\-\~ci[+〃1/?-1

a=

(2)設(shè)。產(chǎn)P，其中后0,且/由/+]='；，得。2=>；---，3---，。4=-----------7，

1一/1-ppP+1

。5=〃，因此，。尸。5,

則有A中數(shù)列的項呈周期性重復(fù)，且間隔4項重復(fù)一次，

在數(shù)列｛乩｝中，d匕3=2,d上2二-3,b4k-i=-g,b〃k=!,keN*,

在數(shù)列｛c〃｝中，〃必-3=3,b4k-2=-2,b4k-尸