河南省2025屆高三數(shù)學(xué)5月適應(yīng)性考試試題理含解析

PAGE26-河南省2025屆高三數(shù)學(xué)5月適應(yīng)性考試試題理（含解析）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可求，再依據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行推斷.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，把集合化為最簡(jiǎn)形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.某科研型企業(yè)，每年都對(duì)應(yīng)聘入圍的高校生進(jìn)行體檢，其中一項(xiàng)重要指標(biāo)就是身高與體重比，其中每年入圍高校生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）基本都具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)今年的一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回來(lái)方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回來(lái)直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心C.若某應(yīng)聘高校生身高增加1cm，則其體重約增加0.83kgD.若某應(yīng)聘高校生身高為170cm，則可斷定其體重必為55.39kg【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線性回來(lái)方程分析，x的系數(shù)為正則正相關(guān)；線性回來(lái)方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)；利用線性回來(lái)方程分析數(shù)據(jù)時(shí)只是估計(jì)值，與真實(shí)值存在誤差.【詳解】由于線性回來(lái)方程中x的系數(shù)為0.83，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；線性回來(lái)方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故B正確；由線性回來(lái)方程中系數(shù)的意義知，x每增加1cm，其體重約增加0.83kg，故C正確；當(dāng)某高校生的身高為170cm時(shí)，其體重估計(jì)值是55.39kg，而不是詳細(xì)值，故D不正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查兩變量間的相關(guān)關(guān)系、線性回來(lái)方程，屬于基礎(chǔ)題.4.“”是“直線與圓相切”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：若，則圓的圓心，到直線的距離為，等于半徑，此時(shí)圓與直線相切，充分性成立；若直線與圓相切，則圓心到直線距離為，解得或，所以必要性不成立.故選：B.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、充分必要條件．5.已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由向量夾角為銳角，由向量數(shù)量積，求出，再由向量，共線時(shí)，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以；因?yàn)橄蛄?，的夾角為銳角，所以有，解得.又當(dāng)向量，共線時(shí)，，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量夾角的范圍求參數(shù)范圍，熟記向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于常考題型.6.設(shè)函數(shù)，，若，則方程的全部根之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先進(jìn)行化簡(jiǎn)函數(shù)，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，，∴，又，∴方程有兩根，，由對(duì)稱性得，解得.答案：D【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.若對(duì)隨意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得出，利用基本不等式求得的最大值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式恒成立求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.某地一重點(diǎn)中學(xué)為讓學(xué)生提高遵守交通的意識(shí)，每天都派出多名學(xué)生參與與交通相關(guān)的各類活動(dòng).現(xiàn)有包括甲、乙兩人在內(nèi)的6名中學(xué)生，自愿參與交通志愿者的服務(wù)工作這6名中學(xué)生中2人被安排到學(xué)校旁邊路口執(zhí)勤，2人被安排到醫(yī)院旁邊路口執(zhí)勤，2人被安排到中心市場(chǎng)旁邊路口執(zhí)勤，假如安排去向是隨機(jī)的，則甲、乙兩人被安排到同一路口的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合排列、組合求得把6名同學(xué)平均安排到三個(gè)不同的路口安排種數(shù)，再求得甲、乙兩人被安排到同一路口種數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，把6名同學(xué)平均安排到三個(gè)不同的路口，共有種安排方案，其中甲、乙兩人被安排到同一路口有種可能，所以甲、乙兩人被安排到同一路口的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及排列組合的應(yīng)用，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔試題.9.已知函數(shù)，其中表示不大于x的最大整數(shù)（如，），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)與，作出圖象，結(jié)合圖象得出兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，所以函數(shù)為定義域上的為偶函數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，即1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，即1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，即1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，即1個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)共4個(gè)零點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.10.已知過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)，，過(guò)原點(diǎn)與弦中點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則直線的方程可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意，得，設(shè)，，，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去，依據(jù)韋達(dá)定理，以及題中條件，得到，求得直線的方程為，求出，推出，得到，依據(jù)題意，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由得其左焦點(diǎn)為，則由題意可設(shè)，代入雙曲線的方程，消去，整理得.設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，∴，，即∴直線的方程為.令，得，即，∴直線的斜率為，∴，則必有，即，解得.又，∴，∴，從而直線的方程為或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線中直線的方程，熟記直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)即可，屬于常考題型.11.設(shè)，分別為等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且.設(shè)點(diǎn)A是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合數(shù)列的與的關(guān)系，分別求得，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的值，再結(jié)合向量的共線定理，即可求解.【詳解】由題意，，分別為等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，不妨取，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證得當(dāng)時(shí)上式成立，綜上數(shù)列的通項(xiàng)公式為，同理可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，又由點(diǎn)P在直線上，設(shè)，，即，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及向量共線定理的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)列中與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及共線向量的定理是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.12.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的閱歷公式為：.弧田（如圖1陰影部分）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.類比弧田面積公式得到球缺(如圖2)近似體積公式：圓面積矢.球缺是指一個(gè)球被平面截下的一部分，廈門嘉庚體育館近似球缺結(jié)構(gòu)（如圖3)，若該體育館占地面積約為18000，建筑容積約為340000，估計(jì)體育館建筑高度(單位：)所在區(qū)間為（）參考數(shù)據(jù):，，，，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依據(jù)所給近似體積公式分別計(jì)算時(shí)的體積近似值.詳解：設(shè)體育館建筑高度為，則，若，則；若，則，若，則，，∴，故選B.點(diǎn)睛：本題通過(guò)數(shù)學(xué)文化引入球缺體積近似公式，即吸引了學(xué)生的眼球，又培育了學(xué)生的愛(ài)好，同時(shí)培育了學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，是一道好題.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若x，y滿意線性約束條件，則的最大值為______.【答案】12【解析】【分析】由線性約束條件，作出可行域，的幾何意義為直線的截距，移動(dòng)直線可得經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，取最大值.【詳解】由線性約束條件，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，，的幾何意義為直線的截距，作直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即.故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求直線截距最值問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)合實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題目.14.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線被分成長(zhǎng)度為，的兩段，請(qǐng)寫出一個(gè)，滿意的等量關(guān)系式______.【答案】【解析】【分析】先由題意，設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，依據(jù)韋達(dá)定理，得到，再由題意，得到，，求得，從而得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，，設(shè)，，直線的方程為：，由消去，得到，所以，所以，又過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線被分成長(zhǎng)度為，的兩段，所以，，，所以，因此，所以，即，整理得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，熟記拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，以及拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.15.習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要主動(dòng)培育本土人才，激勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).2024年1月8日，人力資源和杜會(huì)保障部、財(cái)政部、農(nóng)業(yè)農(nóng)村部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步推動(dòng)返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)工作的看法》.《看法》指出，要實(shí)行黨中心、國(guó)務(wù)院的決策部署，進(jìn)一步推動(dòng)返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)新帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)，促進(jìn)農(nóng)村一、二、三產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，實(shí)現(xiàn)更充分、更高質(zhì)量就業(yè).為激勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府確定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)料該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位：萬(wàn)元），每年“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入為第一年創(chuàng)業(yè)資金（萬(wàn)元）的3倍，已知，則該鎮(zhèn)政府幫扶5年累計(jì)總投入的最大值為_______萬(wàn)元.【答案】200【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且滿意.則該鎮(zhèn)政府幫扶5年累計(jì)總投入：，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且滿意.則該鎮(zhèn)政府幫扶5年累計(jì)總投入：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故該鎮(zhèn)政府幫扶5年累計(jì)總投入的最大值為200萬(wàn)元.故答案為：200【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，也考查了基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.函數(shù)，若，則在的最小值為_______；當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的取值范圍是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得出恒成立，得到單調(diào)性進(jìn)而得最小值；結(jié)合性可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，∵，∴.當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.∴在上最小值為.又時(shí)，恒成立，令,,所以在遞增，所以∴恒成立，∴.故答案為；.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．）17.在平面中，四邊形滿意，，，，的面積為.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由的面積求得的值，進(jìn)而求得，然后在中利用余弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）利用勾股定理得出，進(jìn)而推導(dǎo)出，可得出，過(guò)頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，在中，利用正弦定理可求得的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由已知，可得，又，所以，所以在中，由余弦定理，；（2）由（1）可得：，所以，故.由，得，所以，.又，所以，所以為等腰三角形，即.在中，過(guò)頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，，，在中，由正弦定理，可得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式解三角形，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.18.人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是經(jīng)聯(lián)合國(guó)教科文組織評(píng)比確定而列入《人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄》的遺產(chǎn)項(xiàng)目.記錄著人類社會(huì)生產(chǎn)生活方式、風(fēng)俗人情、文化理念等，非物質(zhì)文化遺產(chǎn)隱藏著世界各民族的文化基因、精神特質(zhì)、價(jià)值觀念、心理結(jié)構(gòu)、氣質(zhì)情感等核心因素，是全人類共同的珍貴財(cái)寶.中國(guó)作為東方文明大國(guó)，有39個(gè)項(xiàng)目入選，總數(shù)位居世界第一.現(xiàn)已知某地市是非物質(zhì)文化遺產(chǎn)項(xiàng)目大戶，有7項(xiàng)人選，每年都有大批的游客前來(lái)參觀學(xué)習(xí)，同時(shí)也帶動(dòng)了當(dāng)?shù)芈糜谓?jīng)濟(jì)的發(fā)展.某土特產(chǎn)超市對(duì)2024年春節(jié)期間的90位游客購(gòu)買狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表：購(gòu)買金額（元）購(gòu)買人數(shù)101520152010（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的狀況下認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與年齡有關(guān).不少于60元少于60元總計(jì)年齡大于5040齡小于5018總計(jì)（2）為吸引游客，超市推出一種實(shí)惠方案，實(shí)行購(gòu)買特產(chǎn)，抽獎(jiǎng)贏取非物質(zhì)文化遺產(chǎn)體驗(yàn)及返現(xiàn)的活動(dòng)，凡是購(gòu)買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)概率為P（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且P的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買金額不少于60元的頻率），每中獎(jiǎng)一次體驗(yàn)1次，同時(shí)減免5元；每中獎(jiǎng)兩次體驗(yàn)2次，減免10元，每中獎(jiǎng)三次體驗(yàn)2次，減免15元，若游客甲安排購(gòu)買80元的土特產(chǎn)，請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)X（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.附參考公式和數(shù)據(jù)：，.0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的狀況下認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與年齡有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，75.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，再利用計(jì)算公式得出，即可推斷出結(jié)論．（2）可能取值為65，70，75，80，且．利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）2×2列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元總計(jì)年齡大于50124052齡小于50182038總計(jì)306090，.因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的狀況下認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與年齡有關(guān).（2）X的可能取值為65，70，75，80，且.，，.，.X的分布列為65707580所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解實(shí)力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．19.如圖，已知五面體中，四邊形為等腰梯形，，，且，，，平面平面.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)M，連接，，先由題中條件，得到，再由面面垂直的性質(zhì)，以及線面垂直的判定定理，證明平面，進(jìn)而可得出；（2）先由題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，依據(jù)向量夾角公式，求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得出結(jié)果.詳解】（1）證明：取中點(diǎn)M，連接，，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，三角形為等邊三角形，所以，，，即，又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）據(jù)（1）可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以可求得，，，.則，，.設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，所以令，則；設(shè)向量為平面的法向量，則，即，令，則，所以，又二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線線垂直，以及求二面角的余弦值，熟記線面、面面垂直的性質(zhì)定理，敏捷運(yùn)用空間向量的方法求二面角即可，屬于常考題型.20.已知圓，點(diǎn)，P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)M的軌跡方程E.（2）已知直線交曲線E于A，B兩點(diǎn).①若射線交橢圓于點(diǎn)Q，求面積的最大值；②若，垂直于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的軌跡方程.【答案】（1）；（2）①面積的最大值為3；②.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，再結(jié)合橢圓的定義即可取得點(diǎn)M的軌跡方程；（2）①當(dāng)所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，得到Q到直線的距離是點(diǎn)O到直線距離的3倍，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，求得的表示，利用基本不等式，求得面積的最大值；當(dāng)所在直線斜率不存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合面積公式和基本不等式，求得的最大值，即可得到結(jié)論；②由①和，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，結(jié)合圓的定義，即可求解.【詳解】（1）由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)G在圓C內(nèi)，又由點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，所以，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以G，C為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.（2）①當(dāng)所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，由，可得，同理，，所以，即Q到直線的距離是點(diǎn)O到直線距離的3倍，設(shè)，，聯(lián)立，可得.由得，且，，則，又由O到直線的距離，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故面積的最大值為.當(dāng)所在直線斜率不存在時(shí)，假設(shè)，則，的方程為（其中）.聯(lián)立，得，則.∴，綜上可得，面積的最大值為3.②由①知，，又因?yàn)椋?，即，即，代入解得，又，所以點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓（去掉x軸上的兩個(gè)點(diǎn)），故點(diǎn)D的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是困難式子的變形實(shí)力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)力等．21.已知函數(shù).（1）推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）假如，且，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先求解導(dǎo)數(shù)，通過(guò)求解不等式，推斷函數(shù)單調(diào)性；（2）利用單調(diào)性求解函數(shù)的值域，結(jié)合圖象改變趨勢(shì)可得，然后求解不等式可得結(jié)果；（3）構(gòu)造函數(shù)，推斷單調(diào)性得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可證結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令可得；令可得；所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得函數(shù)在處取得最大值，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋視r(shí)，；因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的根，所以，即，，解得.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）證明：由，，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對(duì)恒成立.由，則，所以，.即，又因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞減，所以，即證.即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，