山西省長治市武鄉(xiāng)中學2024-2025學年高一數學下學期第六次周測試題

PAGE7-山西省長治市武鄉(xiāng)中學2024-2025學年高一數學下學期第六次周測試題考試范圍:第六章、第七章、8.1—8.3；考試時間：90分鐘；一、單選題1．設（為虛數單位），則（）A． B． C． D．22．已知平面對量與的夾角為，且，為單位向量，則（）A． B． C．19 D．3．若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為1，，，則其外接球的表面積是（）A． B． C． D．4．圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則圓錐的側面積為（）A． B． C． D．5．已知正方體的棱長為2，則三棱錐的體積為（）A． B． C．4 D．66．若全部棱長都是3的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（）A． B． C． D．7．如圖所示，為線段外一點，若，，，，…，中隨意相鄰兩點間的距離相等，，，則用，表示，其結果為（）A． B．C． D．8．1748年，瑞士數學家歐拉發(fā)覺了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式，這個公式在復變論中占有特別重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.依據此公式，有下列四個結論：①；②；③；④.其中全部正確結論的編號是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③9．已知復數滿意，則的最大值為（）A． B． C． D．10．設A，B，C，D是同一個半徑為6的球的球面上四點，且ABC是邊長為9的正三角形，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題11．一個球的表面積為，一個平面截該球得到截面圓直徑為6，則球心到這個平面的距離為___________.12．已知正方體的全部頂點在一個球面上，若這個球的表面積為，則這個正方體的體積為___________.13．已知復數滿意，則的最大值是__________.14．趙爽是我國古代數學家大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則可以推出_________.三、解答題（共30分）15．如圖，在底面為菱形的四棱柱中，，，在底面內的射影為線段上一點.（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求三棱錐的體積.16．已知復數z在復平面內對應的點在第四象限，且z是方程的根.（1）求復數z；（2）復數（，i為虛數單位）滿意，求a的取值范圍.17．目前，中國已經建成全球最大的5G網絡，無論是大山深處還是廣袤平原，到處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學在一條水平馬路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高，該同學眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端

（1）求出山高BE（結果保留整數）；（2）如圖，當該同學面對基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內），記該同學所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離，且記在M處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為.試問當多大時，觀測基站的視角最大?參考數據：，，，.參考答案1．B2．B3．C4．A5．B6．C7．B8．A9．C10．D11．412．13．14．15．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由已知條件得出點在底面上的射影是的外心即可求解；（Ⅱ）利用等體積法即可得出所求三棱錐的體積.【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴為等邊三角形，∴.又，∴，∴點在底面上的射影是等邊的外心，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知底面，且底面，∴.又，，∴，∴.16．（1）；（2）【分析】（1）復數z是方程的根，解出，.，復數z在復平面內對應的點在第四象限，即可解出z值（2）化簡，由共軛復數和模長公式可得a的不等式，解不等式可得．【詳解】解：（1）方程的根為，.∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，∴.（2）由（1）得，.，.【點睛】本題考查復數的代數形式的混合運算，涉及復數相等、共軛復數和不等式的解法，屬中檔題．17．（1）152m；（2）m.【分析】（1）依據題意，把條件抽象到三角形中，用正弦定理干脆求出山高BE；（2）由兩角和差正切公式和基本不等式，求最