第4講 乘法公式一完全平方公式-基礎(chǔ)班

第4講乘法公式一完全平方公式

r完全平方公式

［利用完全平方公式進(jìn)行整式及數(shù)的運(yùn)算

乘法公式-完全平方公式］-

［完全平方式

-I完全平方公式的幾何背景］

知識(shí)點(diǎn)1完全平方公式

(a+b)2-a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,

即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們積的2倍.

【典例】

例1(2020秋?前郭縣期末)已知：a+b=4,ab=2,求下列式子的值：

①(?+/；

②(a-b)2.

【解答】解：：a+b=4,ab=2,

.,.①/+/=(a+b)2-2ab=42-2X2=16-4=12；

②(a-b)2—a2-lab+b2—Ca+b)4而=42-4X2=16-8=8.

【方法總結(jié)】

題考查完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)題中條件，變換形式即可.

例2(2020秋?越秀區(qū)期末)已知“+〃=5,ab=6,則/+廿的值等于()

A.13B.12C.11D.10

【解答】解：'：a+b=5,ab=6,

.'.c^+b2—(a+b)2-2ab=25-12=13,

故選：A.

【方法總結(jié)】

此題主要考查了提公因式法分解因式和完全平方公式,關(guān)鍵是掌握:（4±人）2=/±2而+廿.

例3（2020秋?嶺崛區(qū)期末）若（x+膽）2=*+依+]6,則根的值為（）

A.4B.±4C.8D.±8

【解答】解：G+%）2=/+履+16=（x±4）2,

.\/n=±4.

故選：B.

【方法總結(jié)】

本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟

記完全平方公式對(duì)解題非常重要.

【隨堂練習(xí)】

1.（2020秋?涪城區(qū)校級(jí)期末）已知（〃+/?）2=7,（a-/））2=4,則而的值為（）

1135

A.-B.-C."D.一

4244

【解答】解：（〃+/?）2-（a-b）之

=c^+2ab+b2-（P+2ab-b1

=4ab

=7-4

=3,

ab=1.

故選：c.

2.（2020秋?永吉縣期末）若ab=-2,則（ci-%）2的值為9.

【解答】解：?.?必=-2,/+廿=5,

:.（a-b）2=a2-2ah+h2,

=a2+b2-lab

=5-2X（-2）

=9.

故答案為：9.

3.（2020秋?金昌期末）已知岫=2,貝I」（4+6）2-（a-b）]的值是8.

2

【解答】解：當(dāng)ab=2時(shí)，原式=〃2+2必+/?2-a+2ab-/=4"=8,

故答案為：8

知識(shí)點(diǎn)2利用完全平方公式進(jìn)行整式與數(shù)的運(yùn)算

利用完全平方公式進(jìn)行整式與數(shù)的運(yùn)算是完全平方公式的一種實(shí)際應(yīng)用，主要考察對(duì)公式

(。+與2=/+2必+/；(。-份2=。2—2ab+b2的掌握情況

【典例】

例1(2020春?懷寧縣期末)已知實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿足〃?+〃=3,〃?〃=-3.

(1)求(nj-2)(n-2)的值；

(2)求加-〃的值.

【解答】解：(1)V/??+n=3,mn=-3,

/.Cm-2)(〃-2)=mn-2(m+n)+4

=-3-2X3+4

=-5；

(2)*.*\m-n\=y/(m—ri)2

=y/(m+n)2-4mn

=V32-4x(-3)

=V21,

:.m-〃=±V21.

【方法總結(jié)】

本題考查了完全平方公式：靈活運(yùn)用完全平方公式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.完全平方公

式為：(。±b)2=a2±2ab+b2.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020秋?武都區(qū)期末)若(〃+6)2=17,(a-b)2=11,則.2+"=14.

【解答】解：(〃+力)2=〃2+.+2"=]7①，

(a-b)2=a2+b1-2ab=\\(2),

①+②得：2(廿+/)=28,

a1+b1=\4.

故答案為14.

2

2.(2020春?江寧區(qū)月考)若(x+y)2=u,(x-y)=1,則/-xy+vz的值為3.5.

【解答】解：（x+y）2=/+y2+"y=ll①，（x-y）2=/+夕-"y=l②，

.?.①+②得：2（7+y2）=12,即/+/=6,

①-②得：4xy=10,即肛=2.5,

則原式=6-2.5=3.5.

故答案為：3.5.

知識(shí)點(diǎn)3完全平方式

完全平方式的定義:對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B,

使A=B2,則稱A是完全平方式.

a2±2ab+b2=（a±b）2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個(gè)整式的和括號(hào)外的平方.另一種是完

全平方差公式，就是兩個(gè)整式的差括號(hào)外的平方.算時(shí)有一個(gè)口訣“首末兩項(xiàng)算平方，首末

項(xiàng)乘積的2倍中間放，符號(hào)隨中央.（就是把兩項(xiàng)的乘方分別算出來(lái)，再算出兩項(xiàng)的乘積，

再乘以2,然后把這個(gè)數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個(gè)數(shù)以前一個(gè)數(shù)間的符號(hào)隨原式中間的

符號(hào)，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后邊的符號(hào)都用+廠’

【典例】

例1（2020秋?靜安區(qū)期末）下列多項(xiàng)式中，是完全平方式的為（）

A./一刀+耳B.7+y+不C.彳D./+4

【解答】解：A、x2-x+|=（x-i）2,故原式是完全平方式，故本選項(xiàng)符合題意；

B、產(chǎn)+2刀+/不是完全平方式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、—J不是完全平方式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、+杯是完全平方式，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【方法總結(jié)】

本題主要考查了完全平方式，完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個(gè)整

式的和的平方.另一種是完全平方差公式，就是兩個(gè)整式的差的平方，算時(shí)有一個(gè)口訣

“首末兩項(xiàng)算平方，首末項(xiàng)乘積的2倍中間放，符號(hào)隨中央.

例2（2020秋?肇州縣期末）已知/+H+36是一個(gè)完全平方式，則k的值為（）

A.6B.±6C.12D.±12

【解答】解：?；/+H+36是一個(gè)完全平方式，

:.k=+n,

故選：D.

【方法總結(jié)】

此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.（2020秋?集賢縣期末）已知4/+12<7〃+m是一個(gè)完全平方式，那么相為（）

A.3b2B.廿C.9b2D.36b2

【解答】解：,.,4/+1246+/77是一個(gè)完全平方式，

12ab=:2X2axyfm,

'.m=9h2.

故選：C.

2.（2020秋?雙陽(yáng)區(qū)期末）已知--8x+a可以寫成一個(gè)完全平方式，則”可為（）

A.4B.8C.16D.-16

【解答】解：-8x+“可以寫成一個(gè)完全平方式，

二則a可為：16.

故選：C.

3.（2020秋?上海期末）下列各式是完全平方式的是（）

A.7-x+JB.1+47C.c^+ah+b1D.x^+2x-1

【解答】解：A、是完全平方式，故本選項(xiàng)正確；

8、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)4完全平方公式的幾何背景

(1)運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

(a+b)2=a，+2ab+b：(用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)

長(zhǎng)寬分別是a,b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系)

【典例】

例1(2020春?濱湖區(qū)期中)有一張邊長(zhǎng)為a的正方形桌面，因?qū)嶋H需要，需將正方形邊長(zhǎng)

增加〃，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的方案，該方案能驗(yàn)證的等式是()

A.(a+匕)2—a2+2ab+b1B.a2-b2—(a+6)(a-b)

C.(a-b)2—a2-lab+b1,D.(a+26)(?-/>)—a2+ab+b2

【解答】解：如圖：大正方形的面積為(a+8)2,圖中四部分的面積和為：c^+ah+ab+tr,

即cl^+2,ab+b~t

因止匕有(a+b)2—cT+2ab+b2,

故選：A.

【方法總結(jié)】

考查完全平方公式的幾何背景，通過(guò)不同方法計(jì)算面積，通過(guò)面積之間的關(guān)系得出等式

是常用的方法.

例2（2020秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a,b,如果a+b=10,ab=

18,則陰影部分的面積為（）

B.22C.23D.24

【解答】解：如圖，三角形②的一條直角邊為“，另一條直角邊為6,因此S△②=*（“

-b）b—%〃一,

SG△O①=21。2，

?二S陰影部分=s大正方形-s△①-s△②，

121.1,2

=2a-72^，

2

=$（。+〃）~3ab]f

=2（100-54）

=23,

故選：C.

【方法總結(jié)】

考查完全平方公式的意義，適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵.

例3（2020秋?福田區(qū)期末）如圖，矩形ABC。的周長(zhǎng)是10a”，以AB,為邊向外作正

方形A8EP和正方形AOGH,若正方形ABE尸和AOG”的面積之和為17CT?2,那么矩形

4BC￡）的面積是（）

HG

BC

A.3cm2B.4c〃PC.5cm2D.6c/n2

【解答】解：設(shè)AB=x,AD=y,

,：正方形ABEF和ADGH的面積之和為11cm2

.".jc2+y2=17,

:矩形ABCD的周長(zhǎng)是10cm

：.2(x+y)=10,

(x+y)2=/+2盯+9，

.,.25=17+2xy,

.'.xy=4,

矩形ABC。的面積為：xy=4cnr,

故選：B.

【方法總結(jié)】

本題考查正方形與矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)AB=x,AD=y,利用完全平方公式求出

xy的值.

例4（2020秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2〃的長(zhǎng)方形，沿圖中虛

線用剪刀均分成相等的四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形.

（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于」

（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積：

方法一：（團(tuán)-〃）2；

方法二：2-癡"；

（3）根據(jù)（2）,直接寫出（機(jī)-〃）2,（m+〃）2,加〃這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系.

（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：

對(duì)于任意的有理數(shù)x和y,若x+y=9,肛=18,求x-y的值.

【解答】解：（1）圖①被分割的四個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為小，寬為〃，拼成的圖②整體是邊

長(zhǎng)為，的正方形，中間是邊長(zhǎng)為機(jī)-〃的小正方形，

故答案為：，"-〃；

（2）方法一：陰影部分是邊長(zhǎng)為機(jī)-〃的正方形，因此面積為（〃?-〃）2,

方法二：大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即Cm+n）2-4/nn,

故答案為：（〃?-〃）2,（m+n）2-4wn；

（3）由（2）得，（.m-n）2—（〃?+〃）2-4mn；

2

答：（m-〃）2,（m+n）,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系為（機(jī)-〃）2=（m+n）~-

4mn；

（4）由（3）得，（x-y）2=（x+y）2-4盯,

所以（x-y）2=92-4X18=9,

因此x-y=3或x-y=-3>

答：x-y的值為3或-3.

【方法總結(jié)】

本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同方法表示同一個(gè)圖形的面積是得出結(jié)論的關(guān)

鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.（2020?密云區(qū)二模）如圖所示的四邊形均為矩形或正方形，下列等式能夠正確表示該圖

形面積關(guān)系的是（）

A.(a+b)2=a2+2ab-^b2B.(a+b)2：=a2+2ab-序

C.(a-b)2=$-2疝+序D.(a-b)2=a2-lab-G

【解答】解:計(jì)算大正方形的面積:方法一：（〃+力）2,方法二：四部分的面積和為/+2〃計(jì)序,

222

因止匕：（a+b）=a+2ab+bf

故選：A.

2.（2020秋?莘縣期中）如圖，將長(zhǎng)方形A8CO的各邊向外作正方形，若四個(gè)正方形周長(zhǎng)之

和為24,面積之和為12,則長(zhǎng)方形ABC。的面積為（

3

A.4B.-C.5D.6

2

【解答】解：設(shè)AB=o,AD=b,由題意得，

8。+昉=24,勿2+2廿=12,

即a+b=3,a2+h2=6,

，，（a+bj-d+l9-6_3

??他一2一2一2，

3

即長(zhǎng)方形MS的面積為T

故選：B.

3.（2020春?濟(jì)南期末）如圖是用4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖

案，已知圖案的面積為25,小正方形的面積為9,若用x,y長(zhǎng)示小長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)（x

＞）》請(qǐng)觀察圖案，以下關(guān)系式中不正確的是（）

B.x+y=5C.x-y=3D./+『=16

【解答】解：大正方形的面積=4個(gè)小長(zhǎng)方形面積+1個(gè)小正方形面積,

二4孫+9=25；

大正方形的邊長(zhǎng)為5,

5=x+y；

小正方形的邊長(zhǎng)為3,

-)=3；

故選：

4.(2020秋?儂同區(qū)期末)請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題:

(1)根據(jù)圖①中條件，請(qǐng)用兩種不同方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和；

(2)在(1)的條件下，如圖②，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a,b,如果a+b=ab=9,求

陰影部分的面積.

圖①圖②

【解答】解：(1)方法一：兩個(gè)正方形的面積和，即『+必，

方法二：邊長(zhǎng)為的正方形的面積減去兩個(gè)空白的長(zhǎng)方形的面積，即(a+b)2-2ab,

因止匕有cr+b1—(a+b)2-2ab,

(2)圖②陰影部分的面積是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、6的正方形的面積和減去兩個(gè)直角三角

形的面積,

rr11

即2。Xa—2(a+b)Xb

=+i/?2—^ab

=i(『+/,帥)

=(a+b)2-3〃b],

當(dāng)a+b=ab=9時(shí)，

原式=1x(81-27)=27,

答：陰影部分的面積為27.

綜合運(yùn)用

1.（2020秋?金昌期末）如果4/+加計(jì)9是完全平方式，則加的值是.±12.

【解答】解：?.?4/+m+9是完全平方式，

?,*///=i12,

故答案為：±12

2.（2020秋?江漢區(qū)期末）如果f+16x+k是一個(gè)完全平方式，那么2的值是64.

【解答】解：；/+16x+火是一個(gè)完全平方式，

，16=2依

解得k=64.

故答案是：64.

3.（2019秋?石獅市期末）如圖所示的圖形可以直接驗(yàn)證的乘法公式是（）

A.aCa+b)=a2+abB.(,a+b)(a-b)=a2-b1

C.(a-b)2=a1-2ab+trD.(a+6)2=a2+2ab+b2

【解答】解：圖中左下角的正方形面積可以表示為：(a-6)2,也可以表示為/-2必+廿,

(a-b)2—a2-2ab+b2,

故選：C.

4.(2020秋?偃師市期中)已知/+/=29,x+y=l,求各式的值：

(1)xy；

(2)x-y.

【解答】解：(1)Vx+y=7,

:.(x+y)2=49,

，/+2xy+y2=49,

VX2+/=29,

**?2x),=20,

：.xy=iO.

(2)(x-y)2=？-2xy+y2=29-20=9,

Ax-y=±3.

5.(2020?裕華區(qū)校級(jí)模擬)已知多項(xiàng)式4=(x+2)，x(1-x)-9.

(1)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式A時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過(guò)程.在

標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是①，并寫出正確的解答過(guò)程；

(2)小亮說(shuō)：“只要給出7-2x+l的合理的值，即可求出多項(xiàng)式A的值.”小明給出7

-2x+l的值為4,請(qǐng)你求出此時(shí)A的值.

小明的作業(yè)

-：A=(x-2)、x(l-x)一9=x?+1卷等卷=32,

【解答】解：(1)錯(cuò)誤：①，

正確解答過(guò)程為：A=(x+2)2+x(1-x)-9=/+4x+4+x-W-9=5x-5；

故答案為：①；

(2)由題意得：~2x+l—4?

/.(X-1)2=4,

Ax-1=±2,

由(1)得A=5x-5,

.\A=5x-5=5(x-1),

???5(x-1)=±10.

???此時(shí)A的值為±10.

6.(2020秋?朝陽(yáng)區(qū)期中)如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)為4隊(duì)寬為力的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平

均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形(如圖2).

(1)圖2中的陰影部分的邊長(zhǎng)為K-a；

(2)觀察圖2請(qǐng)你寫出(”+6)2、(?-b)2、ab之間的等量關(guān)系是2一3-b)

2=4";

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，若x+y=5,孫=3,則(x-y)*2=13.

(4)實(shí)際上通過(guò)圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，通過(guò)觀察圖3寫出一個(gè)等式(a+b)

(3〃+b)=342+44/?+。2.

【