高中數學知識總結

三、選擇題解答策略

近幾年來高考數學試題中選擇題穩(wěn)定在14?15道題，分值65分，占總分的43.3虬高

考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數學思想和方法，體現基礎知識求深度的考

基礎考能力的導向;使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型。因此能否在

選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大。解答選擇題的基本策略是準確、迅速。

準確是解答選擇題的先決條件。選擇題不設中間分，一步失誤，造成錯選，全題無分。

所以應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏；初選后認真檢驗，確保準確。

迅速是贏得時間獲取高分的必要條件。高考中考生不適應能力型的考試，致使“超時失

分”是造成低分的一大因素。對于選擇題的答題時間，應該控制在不超過50分鐘左右，速

度越快越好，高考要求每道選擇題在1?3分鐘內解完。

選擇題主要考查基礎知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準確、基本方法的運用、

考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面，是否達到《考試說明》中的“了解、理解、掌握”

三個層次的要求。歷年高考的選擇題都采用的是“四選一”型，即選擇項中只有一個是正確

的。它包括兩個部分：題干，由一個不完整的陳述句或疑問句構成；備選答案，通常由四個

選項A、B、C、D組成。

選擇題的特殊結構決定了它具有相應的特殊作用與特點：由于選擇題不需寫出運算、推

理等解答過程，在試卷上配有選擇題時，可以增加試卷容量，擴大考查知識的覆蓋面；閱卷

簡捷，評分客觀，在一定程度上提高了試卷的效度與信度；側重于考查學生是否能迅速選出

正確答案，解題手段不拘常規(guī)，有利于考查學生的選擇、判斷能力；選擇支中往往包括學生

常犯的概念錯誤或運算、推理錯誤，所有具有較大的“迷惑性”。

一般地，解答選擇題的策略是：①熟練掌握各種基本題型的一般解法。②結合高考單

項選擇題的結構（由“四選一”的指令、題干和選擇項所構成）和不要求書寫解題過程的特

點，靈活運用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。③挖掘題目“個性”，

尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇。

I、示范性題組：

一、直接法：

直接從題設條件出發(fā)，運用有關概念、性質、定理、法則等知識，通過推理運算，得出

結論，再對照選擇項，從中選正確答案的方法叫直接法。

【例1】（96年高考題）若siMx>cos2x,則x的取值范圍是一

,3兀71,兀5兀、

A.{x12k?-------<x<2k%H-----,kGZ}B.{x|兼乃+一<x<2k?H——,keZ}

4444

C.{x|k%-----<x<k^H—,keZ}D.{x|k乃H—<x〈k7tH------,keZ}

4444

【解】直接解三角不等式：

—"sin*x<0,即cos2x<0,所以:

2kJt,選D；

【另解】數形結合法:由已知得|sinx|>|cosx|,畫出單位圓:

利用三角函數線，可知選D。

【例2】(96年高考題)設f(x)是(一8,8)是的奇函數，f(x+2)=—f(x),當OWx

時，f(x)=x,則f(7.5)等于____o

A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

【解】由￡&+2)=一￡6)得￡(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由f(x)

是奇函數得f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以選Bo

也可由f(x+2)=-f(x),得到周期T=4,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。

【例3】(87年高考題)七人并排站成?行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的

排法的種數是_____。

A.1440B.3600C.4320D.4800

【解一】用排除法：七人并排站成一行，總的排法有P；種，其中甲、乙兩人相鄰的排

法有2XP：種。因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數有：P；—2XP：=3600,對照后應

選B；

【解二】用插空法：P：XP；=3600。

直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解。直接法適用的

范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案。提高直接法解選擇題的能力，準確地把握中

檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎匕否則一味

求快則會快中出錯。

二、特例法：

用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢

驗，從而作出正確判斷的方法叫特例法。常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特

殊圖形、特殊角、特殊位置等。

【例4】(97年高考題)定義在區(qū)間(-8,8)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區(qū)

間［0,+8)的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)一

g(-b);②f(b)—f(-a)<g(a)—g(-b);③f(a)—f(-b)>g(b)—g(-a);④f(a)—f(-b)<g(b)—

g(-a).其中成立的是()

A.①與④B.②與③C.①與③D.②與④

【解】令f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=l,則:f(b)—f(-a)=1—(—2)=3,g(a)—

g(-b)=2—1=1,得到①式正確；f(a)—f(-b)—2—(—1)=3,g(b)—g(-a)--1—2——1,

得到③式正確。所以選C。

【另解】直接法：f(b)—f(-a)=f(b)+f(a),g(a)—g(-b)=g(a)—g(b)=f(a)—f(b),

從而①式正確；f(a)—f(-b)=f(a)+f(b),g(b)—g(-a)=g(b)—g(a)=f(b)—f(a),從而

③式正確。所以選C。

【例5】(85年高考題)如果n是正偶數，則C：+C：+…+C：-2+c：=。

A.2"B.2"TC.2"~2D.(n-l)2"-1

【解】用特值法：當n=2時，代入得C；+C；=2,排除答案A、C：當n=4時，代入得

C：+C：+C：=8,排除答案D。所以選B。

【另解】直接法：由二項展開式系數的性質有《+仁+…+C72+C：=2"T，選Bo

當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得愈簡單愈好）

進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，

是解答本類選擇題的最佳策略。近幾年高考選擇題中可用或結合特例法解答的約占30%左

右。

三、篩選法：

從題設條件出發(fā)，運用定理、性質、公式推演，根據“四選一”的指令，逐步剔除干擾

項，從而得出正確判斷的方法叫篩選法或剔除法。

【例6】（95年高考題）已知y=log“（2—ax）在［0,1］上是x的減函數，則a的取值范

圍是。

A.［0,1］B.（1,2］C.（0,2）D.［2,+8）

【解】：2—ax是在［0,1］上是減函數，所以a>l,排除答案A、C；若a=2,由2—ax>0

得x<l,這與［0,1］不符合，排除答案C。所以選B。

【例7】（88年高考題）過拋物線y2=4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和

Q,那么線段PQ中點的軌跡方程是。

A.y2=2x—1B.y2—2x—2C.y?=—2x+1D.y~——2x+2

【解】篩選法：由已知可知軌跡曲線的頂點為（1,0）,開口向右，由此排除答案A、C、D,

所以選B；

y=kx-\

【另解】直接法：設過焦點的直線y=k（x-D,貝IJ2，，消y得：

y=4x

女~+2

x=-『=

k2x2-2(k2+2)x+k2=0,中點坐標有-,，消k得y2=2x—2,選B。

公+22

一—

篩選法適應于定性型或不易直接求解的選擇題。當題目中的條件多于一個時，先根據某

些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選擇支的范

圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇。它與特例法、圖解法等結合使用是解

選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40%。

四、代入法：

將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確判斷的方法叫代入法，又稱為驗證

法，即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應選的答案。

71

【例8】（97年高考題）函數尸sin（——2x）+sin2x的最小正周期是

3

71

A.B.71C.2兀D.47

2

777/

【解】代入法:f(x+—)=sin[——2(x+—)]+sin[2(x+—)]=-f(x),而

2322

乃

f(x+n)=sin[---2(x+n)]+sin[2(x+n)]=f(x)o所以應選B；

3

【另解】直接法：y=--cos2x——sin2x+sin2x=sin(2x+,T=n,選B。

223

【例9】(96年高考題)母線長為1的圓錐體積最大時，其側面展開圖的圓心角。等于

A."

B.----nC.J2"D.-----71

333

【解】代入法：四個選項依次代入求得r分別為：?、旦V6,

—，再求得h

分別沏,、當當、辛，最后計算體積取最大者，選D。

【另解】直接法：設底面半徑r,則V=gjr”J1—產=|君言kw

其中言='J'，得到'所以9=211J1/1=雪，選及

3

代入法適應于題設復雜，結論簡單的選擇題。若能據題意確定代入順序，則能較大提高

解題速度。

五、圖解法：

據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確判斷的

方法叫圖解法或數形結合法。

【例10】（97年高考題）橢圖C與橢圓?二支+（:2）=］關于直線x+y=o對

94

稱，橢圓C的方程是—

A.—+(x-2)2?()，-3)2

B.

4994

22

(x+2)()，+3)2(x-2)1(y-3)i

49

【解】圖解法：作出橢圓及對稱的橢圓C,由中心及焦點位置，容易得到選A。

【另解】直接法：設橢圓C上動點（x,y）,則對稱點（-y,-x）,代入已知橢圓方程得

(__3)2(2

v\+-—-x—-2}=1,整理即得所求曲線C方程，所以選A。

94

【例11】(87年高考題)在圓x?+y2=4上與直線4x+3y-12=0距離最小的點的坐標

8

(-c.(―

5

86

515

【解】圖解法：在同?直角坐標系中作出圓X?+y2=4

和直線4x+3y-12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以童

【直接法】先求得過原點的垂線，再與已知直線相交而得。一<

【例12】已知復數z的模為2,貝lj|z-i|的最大值為f

B.2C.V5

【解】圖解法：由復數模的兒何意義，畫出右圖，可知當

圓上的點到M的距離最大時即為|z-i|最大。所以選D；

【另解】不等式法或代數法或三角法：

|z-i|W|z+|i|=3,所以選D.

數形結合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點之97年高

考選擇題直接與圖形有關或可以用數形結合思想求解的題目約占50%左右。

從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，不管是什么方法，甚至可以猜測。但平時

做題時要盡量弄清每一個選擇支正確理山與錯誤的原因，這樣，才會在高考時充分利用題目

自身的提供的信息，化常規(guī)為特殊，避免小題作，真正做到熟練、準確、快速、順利完成三

個層次的目標任務。

II、鞏固性題組：

1.(86年高考題)函數y=(1)-*+1的反函數是。

A.y=log5x+l(x>0)B.y=logv5+1(x>0且x￥l)

C.y=log5(x—1)(x>l)D.y=log5x_1(x>l)

2.(90年高考題)已知f(x)=x?+ax+bx—8,且f(―2)=10,那么f(2)等于。

A.-26B,-18C.-10D.10

3.一個凸多邊形的最小內角為空，各內角成等差數列，公差為二，則此多邊形的邊數

B.16C.9或16D.16或25

4.設a、b、c為實數，且cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，貝lla?+b'+c^n

A.2B.3C.4D.5

5.若a、b是任意實數，且a>b,則。

A.a2>b2B.A<1C.lg(a-b)>0D.(1)“<(_1)"

a22

6.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上橢圓，那么實數k的取值范圍是。

A.(0,+8)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)

7.中心在原點，準線方程為x=±4,離心率為L的橢圓方程是____o

2

22222-2

A.三+2_=1B.二+2_=1C.Z+y2=lD.x2+2L=l

433444

8.已知正三棱臺上、下底面邊長分別為2和4,高為2Q,它被中截面截得的較大部分

體積是_____。

A.衛(wèi)B.IllC.12D.2Z

2444

9.若a=arg(2+i),P=arg(—3+i),則B—a等于0

A.1B.竺C.D.-2ZL

4444

10.(95年高考題)等差數列｛a〃｝、｛b〃｝前n項和分別是S〃和T〃，若&=工，則

T.3〃+1

lim2等于------0

"TOOb

A.1B.逅C.2D.i

339

四、填空題解答策略

填空題是一種傳統的題型，也是高考試卷中又?常見題型。近幾年高考，都有一定數量

的填空題，且穩(wěn)定了4個小題左右，每題4分，共16分，越占全卷總分的11%。

填空題又叫填充題，是將一個數學真命題，寫成其中缺少一些語句的不完整形式，要求

學生在指定的空位上，將缺少的語句填寫清楚、準確。它是一個不完整的陳述句形式，填寫

的可以是一個詞語、數字、符號、數學語句等。

根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：

一是定量型，要求學生填寫數值、數集或數量關系，如：方程的解、不等式的解集、函

數的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等。由于填空題和選擇題相比,

缺少選擇支的信息，所以高考題中多數是以定量型問題出現。

二是定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定的數學對象的某種性質，

如：給定二次曲線的準線方程、焦點坐標、離心率等等。

填空題不要求學生書寫推理或者演算的過程，只要求直接填寫結果，它和選擇題一樣，

能夠在短時間內作答，因而可加大高考試卷卷面的知識容量，同時也可以考查學生對數學概

念的理解、數量問題的計算解決能力和推理論證能力。在解答填空題時，基本要求就是：正

確、迅速、合理、簡捷。一般來講，每道題都應力爭在1?3分鐘內完成。填空題只要求填

寫結果，每道題填對了得滿分，填錯了得零分，所以，考生在填空題上失分一般比選擇題和

解答題嚴重。我們很有必要探討填空題的解答策略和方法。

I、示范性題組：

一、直接推演法：

直接法就是根據數學概念，或者運用數學的定義、定理、法則、公式等，從己知條件出

發(fā)，進行推理或者計算得出結果后，將所得結論填入空位處，它是解填空題最基本、最常用

的方法。

【例1】（94年高考題）已知sin9+cos6=|,。W（0,n）,貝Uctg。的值是。

1243

【解】已知等式兩邊平方得sin。cos0=一二，解方程組得sin。，cos。=二，

2555

3

故答案為：一二。

4

e

【另解】設tg]=t,再利用萬能公式求解。

【例2】（95年高考題）方程Iog2（x+l）2+log4（x+l）=5的解是。

【解】由換底公式得410g4式+l）+log4（x+l）=5,即log4（x+1）=1,解得x=3。

二、特值代入法：

當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但題目暗示答案可能是一個定值時，可以將

變量取一些特殊數值、特殊位置、或者一種特殊情況來求出這個定值，這樣，簡化了推理、

論證的過程。

【例3】（89年高考題）已知（1-2x）7=a?？▁+a2x2嘴…+a?x7,那么a1+a?+…

+a7=?