蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-1數(shù)列課件

1.數(shù)列的概念按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的表示數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中a1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或首

項(xiàng),a2稱為第2項(xiàng)……an稱為第n項(xiàng).第4章數(shù)列4.1

數(shù)列知識點(diǎn)1

數(shù)列的相關(guān)概念(有些項(xiàng)滿足an+1>an,有些項(xiàng)滿足an+1<an),其中n∈N*.4.數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變

量按照從小到大的順序依次取值時(shí),所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=

1,2,3,…)有意義,那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….3.數(shù)列的分類(1)按項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.(2)按項(xiàng)的變化趨勢可分為遞增數(shù)列(an+1>an)、遞減數(shù)列(an+1<an)、常數(shù)列(an+1=an)、擺動(dòng)數(shù)列一般地,如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

數(shù)列可以由通項(xiàng)公式來給定,也可以通過列表或圖象來表示.知識點(diǎn)2

數(shù)列的通項(xiàng)公式知識點(diǎn)3

數(shù)列的遞推公式一般地,如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾

項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也

是給定數(shù)列的一種方法.知識辨析1.an和{an}表示的意思相同嗎?2.任何一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,對嗎?3.1,1,1,1,1是數(shù)列嗎?4.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?5.如果一個(gè)數(shù)列的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那

么這個(gè)公式是這個(gè)數(shù)列的遞推公式嗎?6.已知數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足an=

(n∈N*),bn=

(n∈N*),cn=

(n∈N*),則數(shù)列{an},{bn},{cn}是同一個(gè)數(shù)列嗎?一語破的1.不相同.an表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)或數(shù)列的通項(xiàng),而{an}表示數(shù)列.2.不對.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),正如不是所有的函數(shù)都有解析式一樣,不是所有的數(shù)列都有

通項(xiàng)公式,存在數(shù)列只能用表格或圖象表示.3.是.這是一個(gè)常數(shù)列.4.不是.兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同,但順序不同,故不是同一個(gè)數(shù)列.5.不是.用遞推公式表示數(shù)列時(shí),必須給出數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),而且數(shù)列中的任一項(xiàng)an與

它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示.6.是.三個(gè)數(shù)列都可以寫成0,1,0,1,…的形式,故數(shù)列{an},{bn},{cn}是同一個(gè)數(shù)列.定點(diǎn)1求數(shù)列的通項(xiàng)公式關(guān)鍵能力定點(diǎn)破根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式的步驟(1)觀察數(shù)列的前幾項(xiàng),一般從下面4個(gè)角度出發(fā):①各項(xiàng)的符號特征;②各項(xiàng)能否拆分,以及拆分后的特征;③分式的分子、分母的特征;④相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律.(2)尋找項(xiàng)與對應(yīng)的項(xiàng)的序號之間的規(guī)律,一般方法如下:①統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),將數(shù)列的各項(xiàng)拆分成若干個(gè)常見數(shù)列的“和”“差”“積”“商”,如都

化成分?jǐn)?shù)、根式等;②分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式;③當(dāng)一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的符號出現(xiàn)“+”“-”相間時(shí),應(yīng)把符號分離出來,可用(-1)n+1或(-1)n來表

示;④當(dāng)數(shù)列的奇偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時(shí),一般考慮用分段的形式給出,有時(shí)也可以將給出

的各項(xiàng)統(tǒng)一化成某種形式.典例寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)

,

,

,

,…;(2)1,0,

,0,

,0,

,…;(3)0.8,0.88,0.888,…;(4)-

,

,-

,

,….解析

(1)觀察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為分?jǐn)?shù),分子是連續(xù)正整數(shù),分母比分子大2,∴數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

.(2)觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為0,奇數(shù)項(xiàng)為分?jǐn)?shù),分子為1,分母為n,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

k∈N*.(3)原數(shù)列可寫成

×

,

×

,

×

,…,∴數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

×

.(4)數(shù)列可寫成(-1)1×

,(-1)2×

,(-1)3×

,(-1)4×

,…,∴數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n×

=

.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列的性質(zhì).1.判斷數(shù)列的單調(diào)性判斷數(shù)列單調(diào)性的方法主要有:作差比較法、作商比較法及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)直觀判斷.(1)作差比較法:根據(jù)an+1-an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.①an+1-an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;②an+1-an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;③an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列.(2)作商比較法:根據(jù)

(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.①當(dāng)an>0時(shí),

>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;

<1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;

=1?數(shù)列{an}是定點(diǎn)2利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題常數(shù)列.②當(dāng)an<0時(shí),

>1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;

<1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;

=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列.(3)函數(shù)法:結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.2.求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值,作出f(x)的圖象,或利用求函數(shù)最值的

方法求出f(x)的最值,進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng);(2)通過通項(xiàng)公式an研究數(shù)列的單調(diào)性,利用

(n≥2,n∈N*)確定最大項(xiàng),利用

(n≥2,n∈N*)確定最小項(xiàng);(3)單調(diào)性法:若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則{an}的最小項(xiàng)為a1,若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,則{an}的最大項(xiàng)為a1.3.數(shù)列周期性問題數(shù)列的周期性可由函數(shù)的周期性得到,一般先寫出前幾項(xiàng)確定周期,再依據(jù)周期求解.若待求

式中出現(xiàn)較大下標(biāo)或已知條件中有關(guān)鍵恒等式,都是周期數(shù)列的“信號”.典例已知數(shù)列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.(1)當(dāng)λ=-7時(shí),討論{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}的第7項(xiàng)是最小項(xiàng),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.思路點(diǎn)撥

(1)思路一:運(yùn)用作差法比較an+1與an的大小,進(jìn)而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;思路二:利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)根據(jù)已知條件列出不等式組

從而求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解析

(1)解法一:當(dāng)λ=-7時(shí),an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.當(dāng)1≤n≤3時(shí),{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時(shí),{an}單調(diào)遞增.解法二:當(dāng)λ=-7時(shí),an=n2-7n=

-

.易知函數(shù)f(x)=

-

的圖象的對稱軸為直線x=

,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)1≤n≤3時(shí),{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時(shí),{an}單調(diào)遞增.(2)由題意得

即

解得-15≤λ≤-13,所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-15,-13].易錯(cuò)警示

在利用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時(shí),要注意數(shù)列的定義域是N*或其有限子集.

1.根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(xiàng)(或其他項(xiàng))求數(shù)列的前幾項(xiàng)時(shí),首先要弄清公式中各部分之間

的關(guān)系,然后依次代入計(jì)算即可.2.求數(shù)列中的某項(xiàng)時(shí),對于通項(xiàng)公式,可以通過將序號代入直接求解,而對于遞推公式,必須通

過逐項(xiàng)計(jì)算求出該項(xiàng).3.由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用技巧(1)形如an+1-an=f(n)的遞推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求出通

項(xiàng)公式,這種方法叫累加法;(2)形如

=f(n)(an≠0)的遞推公式,可以利用a1·

·

·…·

=an(n≥2,n∈N*)求出通項(xiàng)公式,這種方法叫累乘法.定點(diǎn)3利用數(shù)列的遞推關(guān)系解決問題典例(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an=

;(2)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)

-n

+an+1·an=0,則它的通項(xiàng)公式為an=

.解析

(1)因?yàn)閍n-an+1=nanan+1,所以

=

-

=n,則

=

+

+…+

+

=(n