蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-2-1雙曲線的標準方程課件

平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫作雙曲線,兩個定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.3.2

雙曲線3.2.1

雙曲線的標準方程知識點1

雙曲線的定義知識點2

雙曲線的標準方程焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標準方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系c2=a2+b2知識拓展1.若動點M與定點F(c,0)之間的距離和它到定直線l:x=

的距離之比是常數(shù)

(c>a>0),則動點M的軌跡叫作雙曲線,定點為雙曲線的一個焦點.2.已知定點A(-a,0),B(a,0),若直線AM、BM相交于點M,且它們的斜率之積為

,則點M的軌跡是雙曲線(不包含點A、B).知識辨析1.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡一定是雙曲線嗎?2.已知兩定點F1(-c,0),F2(c,0),若動點P滿足PF1-PF2=2a(2a<F1F2),則動點P的軌跡是什么?3.雙曲線和橢圓的標準方程中,a,b,c的關系相同嗎?4.方程

-

=1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線,對嗎?5.給定一個方程Ax2+By2=1(A,B≠0),它一定表示雙曲線嗎?一語破的1.不一定.若常數(shù)為小于兩定點之間的距離的正數(shù),則軌跡是雙曲線;若常數(shù)等于兩定點之間

的距離,則軌跡是分別以兩定點為端點的兩條射線;若常數(shù)大于兩定點之間的距離,則動點軌

跡不存在.2.若2a<0,則動點P的軌跡為以F1,F2為焦點的雙曲線的左支;若2a=0,則動點P的軌跡為以F1,F2

為端點的線段的垂直平分線;若2a>0,則動點P的軌跡為以F1,F2為焦點的雙曲線的右支.3.不相同.雙曲線的標準方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a與b的大小關系不確定;橢圓的標準方程中,

a2=b2+c2,其中a>b>0.4.不對.若m>0,n>0,則方程表示焦點在x軸上的雙曲線;若m<0,n<0,則方程表示焦點在y軸上的

雙曲線.5.不一定.當AB<0時表示雙曲線;當A>0,B>0,且A≠B時表示橢圓;當A=B>0時表示圓.定點1雙曲線標準方程的求解關鍵能力定點破1.求雙曲線標準方程的步驟(1)定位:即確定焦點的位置,若焦點位置不明確,需要分情況討論;(2)定量:即確定a2,b2的值,常由條件列方程或方程組求解.2.求雙曲線標準方程的兩種方法(1)定義法:根據(jù)定義得出距離之差的等量關系式,求出a的值,由定點坐標確定c的值和焦點位

置,通過b2=c2-a2,求得b2,寫出標準方程.(2)待定系數(shù)法:先設出標準方程,再根據(jù)條件求出待定系數(shù),代入方程即可.若焦點在x軸上,則其方程可設為

-

=1(a>0,b>0);若焦點在y軸上,則其方程可設為

-

=1(a>0,b>0);若焦點的位置不確定,則方程可設為mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0).

1.雙曲線上的點P與兩焦點F1,F2構成的△PF1F2叫作焦點三角形.解決與焦點三角形有關的問

題可以根據(jù)定義,結合正、余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算,在運算

中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.2.解決有關焦點三角形問題的常用結論令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,F1F2=2c,則①定義:|r1-r2|=2a.②余弦公式:4c2=

+

-2r1r2cosθ.③面積公式:

=

r1r2sinθ=

=c|yP|.④△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標恒為定值a或-a.定點2雙曲線的焦點三角形問題⑤設∠PF1F2=α,∠F1F2P=β,則

=

=e(e為雙曲線的離心率,下一節(jié)會講).3.設A,B是雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的實軸兩端點,P是雙曲線上的一點,∠BPA=θ,則有S△ABP=

.典例設F1,F2分別為雙曲線

-

=1的左、右焦點,P為雙曲線上一點,且∠F1PF2=120°,則△F1PF2的面積為

.解析

由題意可得a=5,b=3,c=

,則|PF1-PF2|=10,F1(-

,0),F2(

,0),故F1

=136,由余弦定理可得F1

=P

+P

-2PF1·PF2cos120°=(PF1-PF2)2+3PF1·PF2=100+3PF1·PF2=136,∴PF1·PF2=12,∴△F1PF2的面積S=

PF1·PF2·sin120°=

×12×

=3

.

1.直線與雙曲線的位置關系的判定方法一般地,設直線l:y=kx+m(k≠0)①,雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)②.把①代入②,消去y并整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)當b2-a2k2=0,即k=±

時,直線與雙曲線C相交于一點.(2)當b2-a2k2≠0,即k≠±

時,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2),則Δ>0?直線與雙曲線有兩個公共點;Δ=0?直線與雙曲線有一個公共點;Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點.定點3直線與雙曲線的位置關系斜率為k的直線l與雙曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=

·|x1-x2|=

·|y1-y2|(k≠0).3.用“點差法”可以解決弦中點和弦所在直線斜率的關系問題,方法與橢圓一樣,但結果需要

檢驗.2.弦長公式典例已知雙曲線C的焦點在y軸上,焦距為2

,且過點A(5,

).(1)求雙曲線C的標準方程;(2)若斜率為2的直線l與C交于P,Q兩點,且

·

=-

(O為坐標原點),求PQ的長.思路點撥

(1)根據(jù)焦距可求得c及焦點坐標,由雙曲線的定義可求得a,從而可得標準方程.(2)設直線l的方程為y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,結合根與系數(shù)的關系

及

·

=-

可求得參數(shù)m,再根據(jù)弦長公式即可求得PQ的長.解析

(1)由已知可設雙曲線的標準方程為

-

=1(a>0,b>0),由題可知c=

,則焦點坐標為(0,

),(0,-

),根據(jù)雙曲線的定義可知

-

=2=2a,解得a=1.∴b2=c2-a2=6-1=5,故雙曲線C的標準方程為y2-

=1.(2)設直線l:y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

消去y,可得19x2+20mx+5m2-5=0,Δ=400m2-4×19×(5m2-5)>0,解得m∈R,則x1