蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-2-1等差數(shù)列的概念4-2-2等差數(shù)列的通項公式練習含答案

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念4.2.2等差數(shù)列的通項公式基礎過關練題組一等差數(shù)列的概念1.(2024河北高碑店月考)在數(shù)列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),則數(shù)列{an}()A.是公差為1的等差數(shù)列B.是公差為12C.是公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列2.(多選題)(2022江蘇揚州調(diào)研)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則下列說法中正確的有()A.數(shù)列2a1,2a2,2a3,…,2an為等差數(shù)列B.數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n為等差數(shù)列C.數(shù)列{anan+1}為等差數(shù)列D.數(shù)列{an+an+1}為等差數(shù)列3.已知數(shù)列{an},{bn}滿足bn=an+an+1,則“{an}為等差數(shù)列”是“{bn}為等差數(shù)列”的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=pn2+qn(p,q∈R).(1)當p和q滿足什么條件時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列?(2)求證:數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.題組二等差中項5.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是()A.2B.3C.6D.96.(2023河南新鄉(xiāng)期末)若a>0,b>0,a,b的等差中項是1,且α=a+1bA.2B.3C.4D.57.(2024河南南陽期中)已知一個正實數(shù)的小數(shù)部分的2倍、整數(shù)部分和自身構(gòu)成等差數(shù)列,則這個正實數(shù)是.

題組三等差數(shù)列的通項公式及其應用8.(2024江蘇蘇州中學期中)已知等差數(shù)列{an}滿足4a3=3a2,則{an}中一定為零的項是()A.a6B.a4C.a10D.a129.(2023安徽合肥衡安學校摸底考試)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,1an+1-1=1aA.n10.(2024廣東普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研)已知{an}是等差數(shù)列,{nan}是遞增數(shù)列,則()A.a1>0B.a2<0C.a3>0D.a4<011.(2024江蘇無錫四校調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),首項與公差相等,若∑k=115A.6069B.6079C.6089D.609912.(2023江蘇鹽城濱海期中)已知等差數(shù)列{bn}的首項為2,公差為8,在{bn}中每相鄰兩項之間插入三個數(shù),使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的通項公式為an=.

13.(2024江蘇南通如皋調(diào)研)在數(shù)列{an}中,已知a1=12,a3=14,且?n∈N*,14.(2024河南平頂山第一高級中學階段測試)(1)已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an+1=4-4an,記bn=1an-2題組四等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用15.(2024福建莆田期中)在等差數(shù)列{an}中,a1=3,a100=36,則a2+a3+a98+a99=()A.39B.76C.78D.11716.(2024山東青島期中)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=20,a7=12,則a5=()A.4B.6C.8D.1017.(2024四川聯(lián)考)古時候人們通過用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣,一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣,其日影長(單位:尺)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分時的日影長之和為31.5尺,小寒、雨水、清明時的日影長之和為28.5尺,則谷雨時的日影長為()A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺18.(2024河北衡水冀州中學期中)已知等差數(shù)列{an}滿足a1=4,a3+a5=a42+1,則a7=19.(2024黑龍江牡丹江第二高級中學月考)已知在遞增的等差數(shù)列{an}中,a3a7=55,a4+a6=16.(1)求a3和a7;(2)求{an}的通項公式.能力提升練題組一等差數(shù)列的定義、通項公式及其應用1.(2023江蘇G4聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,sin(an+1-an)·sin(an+1+an)=110A.9B.10C.11D.122.(2024江蘇南通如東期中)已知{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足a1+b1=2,anbn=2n2-n(n∈N*),且5a4=7a3,則bn=()A.n3.(2023江西六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an+2an+1+1,則aA.80B.100C.120D.1434.(2024江蘇鹽城射陽中學期中)已知數(shù)列{an}滿足ak+1+ak=4k+3(k∈N*),則a1+a2020=()A.4040B.4043C.4046D.40495.(2024浙江寧波鎮(zhèn)海中學期中)定義:在數(shù)列{an}中,若an+2an+1?an+1an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“等比差數(shù)列”.已知{an}為“等比差數(shù)列”,且a1=a26.(2024江蘇泰州靖江高級中學期中)已知數(shù)列{an}滿足an+1=6an-4an+2(n(1)求a2,a3,a4;(2)證明:數(shù)列1an-27.(2024浙江金華十校模擬)已知數(shù)列{an}的各項均為非負實數(shù),且?n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n.(1)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,證明:存在無窮多個正整數(shù)k,使得ak=k;(2)若a2a2022=1,求a2023的最大值.題組二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用8.(2024湖南衡陽田家炳實驗中學月考)已知等差數(shù)列{an}的首項與公差d均為正數(shù),且lga1,lga3,lga6成等差數(shù)列,則lga1,lga3,lga6的公差為()A.lgdB.lg239.(2023河北邯鄲期末)已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,若a12+a102=101,a5+a10.(2024四川綿陽中學月考)已知函數(shù)f(x)=13x3+3x2+5x+1,設數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n+7,則f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=11.(2023甘肅金昌永昌第一高級中學月考)若數(shù)列{an}滿足1an+1?1an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項數(shù)列1bn為“調(diào)和數(shù)列”,且b1+b2題組三等差數(shù)列的綜合應用12.(2024上海楊浦同濟大學第一附屬中學期中)已知數(shù)列{an}的首項為1,an+1=an-1,n3∈N*,aA.1209B.1211C.1213D.121513.(2024四川綿陽實驗高級中學月考)若數(shù)列{cn}滿足cn+1=cn2,則稱{cn}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}是“平方遞推數(shù)列”,且a1>0,a1A.{lgan}是等差數(shù)列B.{lgan+1-lgan}是等差數(shù)列C.{anan+1}是“平方遞推數(shù)列”D.{an+1+an}是“平方遞推數(shù)列”14.已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4an-1-4an-1(n≥2,n∈N*),若bn=412-an·(naA.1-972,C.0,1615.在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)證明:數(shù)列1a(2)求數(shù)列{an}的通項公式;(3)若λan+1an≥λ對任意的n≥2,n∈N

答案與分層梯度式解析4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念4.2.2等差數(shù)列的通項公式基礎過關練1.B由2an+1=2an+1得an+1=an+12,即an+1-an=1又a1=2,∴數(shù)列{an}是以2為首項,12為公差的等差數(shù)列,故選B2.ABD設等差數(shù)列{an}的公差為d.A中,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d(常數(shù)),A中說法正確.B中,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d(常數(shù)),B中說法正確.C中,n≥2時,anan+1-an-1an=an(an+1-an-1)=2and,當d=0時,2and=0(常數(shù)),此時數(shù)列{anan+1}為等差數(shù)列;當d≠0時,2and=2a1d+2(n-1)d2(不是常數(shù)),此時數(shù)列{anan+1}不是等差數(shù)列,C中說法不正確.D中,n≥2時,an+an+1-(an-1+an)=an+1-an-1=2d(常數(shù)),D中說法正確.故選ABD.3.答案充分不必要解析若{an}是等差數(shù)列,設其公差為d1,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{bn}是等差數(shù)列,充分性成立.若{bn}是等差數(shù)列,設其公差為d2,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,不能推出{an}是等差數(shù)列,必要性不成立.故“{an}為等差數(shù)列”是“{bn}為等差數(shù)列”的充分不必要條件.4.解析(1)若{an}是等差數(shù)列,則an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q是一個與n無關的常數(shù),所以2p=0,即p=0,所以當p=0,q∈R時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)證明:由(1)知an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,是一個與n無關的常數(shù),所以數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.5.B由已知得m所以m和n的等差中項為m+6.C因為a,b的等差中項是1,所以a+b=2.又因為α=a+1b所以α+β=a+1b+b+1a=2+127.答案4解析設這個正實數(shù)的小數(shù)部分是x(0≤x<1),整數(shù)部分是y(y∈N),則這個正實數(shù)為x+y.由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,當y=0時,x=0,x+y=0,不符合要求;當y=1時,x=13,x+y=43;當y=2時,x=23,x+y=綜上所述,這個正實數(shù)是438.A設等差數(shù)列{an}的公差為d,由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0.故選A.9.B記bn=1an-1,則bn+1=bn+1,b1=1a1-1=1,故數(shù)列{bn}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,故bn=1+(n-1)=n,所以an10.C設等差數(shù)列{an}的公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d,n∈N*,∵{nan}是遞增數(shù)列,∴(n+1)an+1>nan,n∈N*,即(n+1)(a1+nd)>n[a1+(n-1)d],化簡可得a1+2nd>0,即a2n+1>0,當n=1時,a3>0,C正確,無法判斷A,B,D是否正確,故選C.11.A設等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則an=a1+(n-1)d=nd,因為1a所以∑k=115所以a2023=2023×3=6069,故選A.12.答案2n解析設數(shù)列{an}的公差為d.由題意可知a1=b1,a5=b2,于是a5-a1=b2-b1=8.因為a5-a1=4d,所以4d=8,解得d=2.故an=2+(n-1)×2=2n.13.答案1解析依題意可得1a∵1a∴1an+1?1∴1an=2+(n-1)×1=n+1,即an=1n+1,故a14.解析(1)令cn=log2(an-1),則c1=log2(a1-1)=1,c3=log2(a3-1)=3,故等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為c3-c12=1,所以cn=n,即log2(an(2)由an+1=4-4an得bn+1-bn=又b1=1a1-2=12,所以數(shù)列{bn}是首項為12,公差為12的等差數(shù)列,所以bn=15.C由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a3+a98+a99=(a2+a99)+(a3+a98)=2(a1+a100)=2×(3+36)=78.故選C.16.C由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a8=a7+a5,∴a5=20-12=8.故選C.17.D設從冬至起,這十二個節(jié)氣的日影長(單位:尺)依次成等差數(shù)列{an},設其公差為d,由題可知a所以d=a5-a4=9.5-10.5=-1,所以a9=a5+4d=9.5-4=5.5,即谷雨時的日影長為5.5尺,故選D.18.答案-2解析由題意得a3+a5=2a4=a42+1,∴a4=1,則a1+a7=2a4=2,∴a19.解析(1)由已知得a解得a又{an}為遞增數(shù)列,所以a3=5,a7=11.(2)設數(shù)列{an}的公差為d(d>0),由(1)知d=a7所以數(shù)列{an}的通項公式為an=5+(n-3)×32能力提升練1.Csin(an+1-an)·sin(an+1+an)=12所以{sin2an}為等差數(shù)列,公差為110所以sin2an=sin2a1+(n-1)×110≤所以n-110≤1-sin2a1≤1,故n≤11,所以nmax=11.故選2.B令n=1,得a1b1=1,又a1+b1=2,∴a1=b1=1.設{an}的公差為d,由5a4=7a3得5a1+15d=7a1+14d,故d=2a1=2,則an=a1+(n-1)d=2n-1.故bn=2n2-n3.C因為an+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2等式兩邊開方可得an+1+1=an+1所以an+1=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n所以a10=102+20=120.故選C.4.B由ak+1+ak=4k+3可得ak+2+ak+1=4(k+1)+3,兩式相減可得ak+2-ak=4,即相鄰的奇數(shù)項或偶數(shù)項成等差數(shù)列,且公差為4,故a2020=a2+20202-1×4=4036+a2,即a1+a2020=a1+a當k=1時,a2+a1=4+3=7,因此a1+a2020=7+4036=4043.故選B.5.答案105;3363解析由題意得a3a2則數(shù)列an+1an是首項為a2所以an+2an+1=2n+1,則an+2所以a5a3=4×32-1=35,則a5=35a3=35×3=105,且a6.解析(1)由題意得a2=6a(2)因為an+1=6an-4an+2(n∈N則1=14+1an-2,故所以數(shù)列1an-2所以1a故an=4n方法點津用構(gòu)造法求等差數(shù)列的通項公式是很常見的一種方法,常見的構(gòu)造技巧如下:(1)當數(shù)列{an}滿足an+1=kan+b時,常用待定系數(shù)法構(gòu)造成an+1+m=k(an+m)的形式;(2)當遞推公式是分式形式時,常采用取倒數(shù)的方法;(3)當數(shù)列{an}滿足an+1=ban+cn時,常通過等式兩邊同除以cn+1得到am+1=kam+d的形式,再利用(1)中的方法構(gòu)造求解.7.解析(1)證明:由an+1=an-an-1+n得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an,則an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,故{an}中序號相差6的項形成的子數(shù)列是以6為公差的等差數(shù)列,又a1,a2,a3成等差數(shù)列,故2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5,又an+6=an+6,∴an+6m=an+6m(m∈N),當n=2時,a2+6m=2+6m,當n=5時,a5+6m=5+6m,所以對于ak=k,當k=6m+2或k=6m+5(m∈N)時,等號恒成立.(2)由(1)可知a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,又an+6m=an+6m(m∈N),所以a2022=a6+2016=2025-a3,a2023=a1+2022,又a2a2022=1,所以a2=1a2022=12025-a3=a3+a1又因為數(shù)列{an}的各項均為非負實數(shù),所以a3≥0,即2025-a3≤2025,由對勾函數(shù)的單調(diào)性易知當2025-a3=2025時,(a1)max=212025所以(a2023)max=(a1)max+2022=2024120258.C由題可得a3=a1+2d,a6=a1+5d,因為lga1,lga3,lga6成等差數(shù)列,所以2lga3=lga1+lga6=lg(a1a6),所以a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a所以a1d=4d2,又因為d>0,所以a1=4d,則lga3-lga1=lg(6d)-lg(4d)=lg32,故選C9.答案1解析由a12+a102=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a又a1+a10=a5+a6=11,a1<a10,所以a1=1,a10=10,所以d=a1010.答案36解析f(x)=13x3+3x2+5x+1=13(x+3)又13(?x)3?4(?x)=?1所以曲線f(x)的對稱中心為(-3,4),即f(x)+f(-6-x)=8,因為an=-2n+7,所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a5=-3,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-6,則f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=8,f(a5)=f(-3)=4,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×8+4=36.11.答案100解析由數(shù)列1bn為“調(diào)和數(shù)列”,可得11bn+1?11∴數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列,∵b1+b2+…+b2020=20200,且b1+b2020=b2+b2019=b3+b2018=…=b1010+b1011,∴1010(b2+b2019)=20200,∴b2+b2019=20.又b2>0,b2019>0,∴b2+b2019≥2b2b2019,即b2b2019≤b2+∴(b2b2019)max=100.12.B由已知得數(shù)列{an}中的項為1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…,觀察發(fā)現(xiàn)這些項可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的規(guī)律將原數(shù)列分為三個等差數(shù)列:當n=3m+1,m∈N時,數(shù)列為1,6,11,16,21,…,即an=5n當n=3m+2,m∈N時,數(shù)列為6,11,16,21,26,…,即an=5n當n=3m+3,m∈N時,數(shù)列為11,16,21,26,31,…,即an=5n易得a1209=2021,a121