高中數(shù)學選修第一冊：2 .5 .2 圓與圓的位置關(guān)系

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一圓與圓的位置關(guān)系的判斷及其應用

1.圓x2+y2=2與圓x2+y2+2x-2y=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

2.設(shè)圓Ci：(x-5)2+(y-3)2=9,圓C2：x2+y2-4x+2y-9=0,則它們公切線的條數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

3.已知點M在圓Ci：(x+3)2+(y-l)2=4上，點N在圓C2：(x-l>+(y+2)2=4上，則|MN|的最

大值是()

A.5B.7C.9D.11

4.若圓x2+y2-2x+F=0和圓x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直線方程是x-y+l=O,

則()

A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8

5.已知圓Ci：x2+y2-4x+2y=0與圓C2：x2+y2-2y-4=0.

(1)求證:兩圓相交；

(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.

6.已知圓01的方程為x2+(y+l)2=4,圓02的圓心為02(2,1).

⑴若圓01與圓。2外切，求圓。2的方程；

(2)若圓01與圓相交于A,B兩點，且|AB|=2魚，求圓02的方程.

題組二圓與圓的位置關(guān)系的綜合運用

7.集合M={(x,y)|x2+y2^4),N={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2^r2,r>0}MCN=N，則r的取值

范圍是()

A.(0,V2-l)B.(0,l]

C.(0,2-V2]D.(0,2]

8.已知點A(-2,0),B(2,0),若圓(x-3)2+y2=r2(r〉0)上存在點P(不同于點A,B),使得

PA?麗=0,則r的取值范圍是()

A.(l,5)B.[l,5]C.(l,3]D.[3,5)

9.已知兩圓相交于A(l,3),B(m,-l)兩點,兩圓的圓心均在直線x-y+c=O上，則m+2c的

值為()

A.-lB.lC.3D.0

10.已知圓Ci：(x+a)2+(y-2)2=l與圓C2：(x-b>+(y-2)2=4相外切,a,b為正實數(shù)，則ab的

最大值為()

A.2V3B.JC.1D住

4ZL

11.設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1),則兩圓圓心的距離IC1C2I等于

()

A.4B.4V2C.8D.8V2

12.已知兩圓x2+y2-2x-6y-l=0^0x2+y2-1Ox-12y+m=0.

(l)m取何值時兩圓外切？

(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？

(3)當m=45時,求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.

13.已知圓0城+丫2=1,點P(3,4),以O(shè)P為直徑的圓C與圓O交于A、B兩點.

(1)PA與OA、PB與0B具有怎樣的位置關(guān)系？

(2)由⑴還可以得到什么結(jié)論?你能否將這一結(jié)論推廣.

能力提升練

題組一圓與圓的位置關(guān)系

1.(*)若圓C:x2+y2=r2(r>0)與圓E:(x-3>+(y-4)2=16有公共點，則r的取值范圍是

()

A.(3,6)B.[l,7]C.[l,9]D.[4,8]

2.(戒)若圓(x-a>+(y-a)2=4上總存在兩點到原點的距離為1,則實數(shù)a的取值范圍是

()

A.(爭)U(峙)

B.(-2V2,-V2)U(V2,2V2)

c.(考考咯考)

D.(-8,-券)U(或,+8)

3.(2019河南鶴壁高一期末,/)已知點M(-2,0),N(2,0),若圓x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)±

存在點P(不同于M,N),使得PMLPN,則實數(shù)r的取值范圍是(易,)

A.(l,5)B.[l,5]C.(l,3)D.[l,3]

4.(2020安徽六安一中高一期末,#?)已知圓Ci：x2+y2=t0C2：(x-4>+y2=25,則兩圓公

切線的方程為.

5.(2020山西太原第五中學高二上期中,石)已知圓Ci：(x-1)2+0+5)2=50,圓

22

C2:(x+l)+(y+l)=10.

⑴證明圓C1與圓C2相交；

(2)若圓C3經(jīng)過圓C1與圓C2的交點以及坐標原點，求圓C3的方程.

深度解析

題組二圓與圓的位置關(guān)系的綜合運用

6.(*)已知M,N分別是圓Ci：x2+y2-4x-4y+7=0,C2：x2+y2-2x=0上的兩個動點,P為直

線x+y+l=O上的一個動點，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.V2B.V3C.2D.3

7.(2019福建三明高一期中，時)已知點「(4-1),隨艮點￡是圓CiM+y2乏上的動點，

4

點F是圓C2：(x-3)2+(y+l)2蕓上的動點，則IPFHPEI的最大值為()

4

A.2B.|C.3D.4

8.(2019浙江嘉興一中期中,")我們把頂角為36。的等腰三角形稱為黃金三角形.其

作法如下:①作一個正方形ABCD;②以AD的中點E為圓心，以EC為半徑作圓E,

交AD的延長線于F;③以D為圓心，以DF為半徑作圓D;④以A為圓心，以AD為

半徑作圓A交圓D于G,則4ADG為黃金三角形.根據(jù)上述作法，可以求出cos

36°=(易錯)

A.爭V5+1

4

?、+口口岳g

--4--4

9.(#?)在平面直角坐標系Oxy中，點A(0,-3),若圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=l上存在一點M,

滿足|MA|=2|M0|,則實數(shù)a的取值范圍是.

10.(2019廣東深圳耀華實驗中學高二期中,")已知圓Ci：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圓

C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一條公切線，若a,b@R且abWO,則或的最小值

為

n.(嫡)在平面直角坐標系Oxy中，點A(0,3),直線I:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心

在1上.

⑴若圓心C也在直線y=x-l上，過點A作圓C的切線，求切線方程；

(2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|M0|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A由題意得，圓x2+y2=2的圓心Ch(O,O),圓x2+y2+2x-2y=0的圓心。2(/,1),圓心距

d=|OiO2|=Vl+1=V2,M個圓的半徑均為VX故|ri-r2|<d<n+r2,所以兩個圓相交.故選

A.

2.B圓。:儀-5)2+(廣3)2=9,圓心為(5,3),半徑為3;圓CzX+y?-4x+2y_9=0,圓心為(2,-

1),半徑為舊,兩圓的圓心距為J(5-2)2+(3+1)2=5,VV14-3<5<Vi4+3,，兩個圓

相交,???兩個圓的公切線有2條.故選B.

3.C由題意知圓Ci的圓心為G3,l),半徑n=2;圓C2的圓心為(1,-2),半徑n=2.所以

兩圓的圓心距d=J[l-(-3)K+[(-2)-l]2=5>n+r2=4,所以兩圓外離，從而|MN|的最

大值為5+2+2=9.故選C.

(x2+y2-2x+F=0,①

,1%2+y?+2x+Ey-4=0,②

②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+-y--=0,

44

由兩圓的公共弦所在的直線方程為x-y+l=0,

得解得相：力

5解析⑴證明:圓Ci的方程可化為(x-2>+(y+l)2=5,圓C2的方程可化為x2+(y-

1)2=5,

.,.CI(2,-1),C2(0,1),兩圓的半徑均為遙，

22

,/|CIC2|=V(0-2)+(1+1)=2V2￡(0,2V5),，兩圓相交.

(2)將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，

(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-l=0.

6.解析⑴設(shè)圓01、圓。2的半徑長分別為口、",且易知n=2.

因為兩圓相外切，所以|OiCh|=ri+r2.

22

所以r2=|OiO2|-ri=V(2-0)+(1+1)-2=2(V2-1).

所以圓02的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-871

(2)由題意，設(shè)圓02的方程為(x-2)2+(y-l)2=符(r3>0),

圓01,02的方程相減，得弦AB所在直線的方程為4x+4y+r/-8=0.

所以圓心01(0,1)到直線AB的距離為詈等=V2,

解得r9=4或r￡=20.

所以圓02的方程為(x-2)2+(y-l)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

7.C由NGM,所以圓x?+y2=4與圓色-1)2+(丫-1)2=於(1>0)內(nèi)切或內(nèi)含，且

4*.所以2-r2a,又r>0,所以0<rW2-VI

8.B'：PA?麗=0,...點P在以AB為直徑的圓x2+y2=4±.V圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上

存在點P(不同于點A,B),使得刀?麗=0,.,.圓(x-3)2+y2=r2(r>0)與圓x?+y2=4有公共

點,；.|r-2|W3Wr+2,解得10W5,故選B.

9.B由題意知，直線x-y+c=O為線段AB的垂直平分線，且AB的中點(詈,1)在直

線x-y+c=O上，等-1+c=0,/.m+2c=1.

10.B由題意得，圓Ci：(x+a)2+(y-2)2=l的圓心為C(a,2),半徑n=l.

22

圓C2：(x-b)+(y-2)=4的圓心為C2(b,2),半徑r2=2.

2222

,/圓Ci：(x+a)+(y-2)=l與圓C2:(x-b)+(y-2)=4相外切，

???|CiC2|=n+r2,即a+b=3,由基本不等式，得abW(手)工當且僅當a=b時取等號.故選

B.

11.C???兩圓與兩坐標軸都相切，且都經(jīng)過點(4,1),

兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標相等.

設(shè)兩圓的圓心坐標分別為(a,a),(b,b),

則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b為方程(4-X)2+(1-X)2=X2的兩個實數(shù)根，

整理得X2-10X+17=0,

/.a+b=10,ab=17.

二(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4x17=32,

22

|CiC2|=V(?-^)+(a-b)=V32x2=8.

12.解析兩圓的標準方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,

圓心分別為M(1,3),N(5,6)泮徑分別為VT1和A/61-m.

(1)當兩圓外切時,J(5-l)2+(6-3)2=VTT+V61-m,解得m=25+10VTl.

⑵當兩圓內(nèi)切時,因定圓的半徑VTT小于兩圓圓心間距離5,故只有府F-VTT=5,

解得m=25-10VTl.

(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為

(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-1Ox-12y+45)=0,BP4x+3y-23=0,/.公共弦長為

2/國產(chǎn)”可=2近

13.解析⑴如圖，點A在圓C上,OP為圓C的直徑，所以O(shè)ALPA,同理可得

OB±PB.

⑵由⑴還可以得到:PA是圓0的切線,PB也是圓0的切線.

這一結(jié)論可以推廣為:圓0外一點P,以0P為直徑的圓與圓。交于A、B兩點，則

PA、PB是圓。的切線.

能力提升練

1.C兩圓心間的距離|CE|=V32+42=5,

依題意得,|r-4|W50+4,

解得1&W9.

因止匕,r的取值范圍是[1,9].故選C.

2.C根據(jù)題意知，圓(x-a>+(y-a)2=4與圓x2+y2=l相交，兩圓圓心的距離

d=Va2+02=魚間,所以2-1<或同<2+1,即正<同(延，所以-這<a<-也或正<a<吧故選C.

222222

3.A由PMLPN得,P點在以MN為直徑的圓上(不同于M,N),

以MN為直徑的圓的方程為x?+y2=4,由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0).

所以兩圓的圓心間的距離d=3,依題意得,|r-2|<3<r+2,解得l<r<5.

易錯警示由PMLPN知,P點在以MN為直徑的圓上(不同于M,N),由P,M,N不共

線知，點P的軌跡是以MN為直徑的圓(不含M,N兩點)，從而由兩圓有公共點得|r-

2|<3<r+2.

4.答案x+l=O

解析圓Ci：x?+y2=l,圓心為(0,0),半徑為1;

圓C2：(x-4)2+y2=25,圓心為(4,0)泮徑為5.

易知兩圓內(nèi)切，切點為(-1,0),又兩圓圓心都在x軸上，

所以兩圓公切線的方程為x=-l,即x+l=0.

5.解析⑴證明:依題意得,Ci(l,-5),r尸同=5&,C2(-l,-l),r2=g,

因此,5或-VTU<|CIC2|=A/4+16=2有<7^+5魚,，0與C2相交.

(2)設(shè)圓Ci與圓C2的交點分別為A(xi,yi),B(x2,y2).

聯(lián)立修；50:②②一①得x-2y+4=0,即x=2y-4,

((%+iy+(y+l)z=10②，

>i=0,>2=2,

第1=—4,\x2=0,

二圓C3過A(-4,0),B(0,2),原點0(0,0).

易得AABO為直角三角形,...廠為：6=代,圓心為人：6的中點(-2,1),

，圓C3的方程為(x+2)2+(y-l)2=5.

解題模板求過兩圓交點的圓的方程有兩種方法:一是利用圓系方程，先設(shè)后求，待

定系數(shù);二是求出交點坐標,再結(jié)合其他條件求解.本題給出第三點是坐標原點，利用

求交點坐標，根據(jù)三點的特殊關(guān)系求解即可.

6.DCi的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=l,

C2的方程可化為(x-l)2+y2=l.

設(shè)圓C2關(guān)于直線x+y+l=0對稱的圓為。2,其圓心C'2(a,b).

-+-+1=0,

依題意得22.a=—1,

—=1b=—2,

s-1

22

因此，圓C'2:(x+l)+(y+2)=l.

如圖所示.

,/|CiCR=J(-1-2)2+(-2-2尸=5,

.,.(|PM|+|PN|)min=|CiC'2|-2=3,

故選D.

7.D易得點P(t,t-1)在直線x-y-l=0上，

設(shè)圓Ci關(guān)于直線x-y-l=0對稱的圓為圓Ci則C'i：(x-l)2+(y+l)2=-,

4

由幾何知識知，當F、E\P共線時,|PFHPE|=|PFHPE|=|EE=|CIC2|+；+；=4,故選D.

8.B以A為原點，直線AD為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標系,

設(shè)|AD|=2,則|CE|=J^=|EF|,又|ED|=1,...

圓A的方程為x2+y2=4,@

圓D的方程為(x-2)2+y2=(隗-1)2,②

設(shè)G(xo,yo),

由①②得xo=①,

2

V|AG|=|AD|=2,

.,.cos36°=2=回,故選B.

\AG\4

易錯警示本題的實質(zhì)是計算，而不是證明，題中已經(jīng)給出“黃金三角形”的作法,

在此基礎(chǔ)上我們只需計算，即利用兩圓的方程求出交點G的坐標，進而可以得到結(jié)

論.如果解題過程中不能正確理解題意,試圖證明結(jié)論將造成極大的麻煩.

9.答案［0,3］

解析設(shè)滿足|MA|=2|M0|的點的坐標為M