農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的信貸風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型分析

農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的信貸風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型分析

摘要：在我國(guó)，增加對(duì)農(nóng)村等貧困地區(qū)的貸款已經(jīng)成為近年來(lái)提高貧困地區(qū)的生產(chǎn)力和生活水平的一項(xiàng)重要政策。本文依據(jù)信貸理論，建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型對(duì)信貸理論實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了檢驗(yàn)，對(duì)農(nóng)村家庭投資生產(chǎn)提供理論依據(jù)。最終得出的結(jié)論顯示，信貸風(fēng)險(xiǎn)的減輕有益于農(nóng)村生產(chǎn)力、生活水平以及平等性的改善。

關(guān)鍵詞：信貸理論；投資；風(fēng)險(xiǎn)

1.前言

本文的目的在于檢驗(yàn)在發(fā)展中地區(qū)家庭基礎(chǔ)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)背景下信貸和風(fēng)險(xiǎn)的保護(hù)理論的支撐。特別的，提出了在單獨(dú)信貸在多大程度上能帶來(lái)生產(chǎn)力，消費(fèi)水平，以及程式化的家庭農(nóng)業(yè)生產(chǎn)模型下經(jīng)濟(jì)不均衡的持續(xù)改善。另外，給出了這些問(wèn)題對(duì)政策的重要性，比較了信貸對(duì)已獲得的生產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)的影響。為了檢驗(yàn)這些結(jié)果，我用了一個(gè)簡(jiǎn)單的含有不確定性的動(dòng)態(tài)模型，這個(gè)模型中包含了家庭選擇投入多少“現(xiàn)金”，消費(fèi)多少，儲(chǔ)存多少。首先，當(dāng)家庭面臨一個(gè)固定的借款約束和一個(gè)高風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候，設(shè)立一個(gè)基準(zhǔn)。然后，允許家庭在能夠還款的基礎(chǔ)上最大限度的借款，檢查消費(fèi)水平和生產(chǎn)力的分布，以及按照原始人口分布和限制的極限分布下的不同過(guò)渡周期的生活質(zhì)量。第二，比較了有限制的通過(guò)公平保險(xiǎn)下的風(fēng)險(xiǎn)減少下的高風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。

2.模型的建立

在每一個(gè)時(shí)期，觀察家庭的現(xiàn)金資源水平（記作）。為前期的財(cái)力儲(chǔ)存總額，回報(bào)率為，當(dāng)前收入為。收入依賴于前期的風(fēng)險(xiǎn)投入，記作。家庭選擇他們的消費(fèi)量，和他們對(duì)現(xiàn)在資源是分配或。這就是說(shuō)，家庭擁有和管理他們的農(nóng)場(chǎng)，資金可以用來(lái)消費(fèi)和投資，這些取決于。因此，一個(gè)“時(shí)期”，是一個(gè)實(shí)現(xiàn)農(nóng)業(yè)上季節(jié)增長(zhǎng)回報(bào)的必要時(shí)間。

在家庭期望生活長(zhǎng)久以及關(guān)心他們的下一代未來(lái)的生活效益的時(shí)代效用下，將產(chǎn)生一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o(wú)限生命。在保證唯一的固定分配條件下，預(yù)先吸引貧窮家庭狀態(tài)的可能性已經(jīng)被劃去。盡管如此，一部分家庭在特殊物質(zhì)變更上不同程度的堅(jiān)持帶來(lái)了收益不平等。貧窮狀態(tài)表示低收益水平以及未來(lái)某段時(shí)間的消費(fèi)。

為了聚焦農(nóng)業(yè)家庭的決定，這里假設(shè)一個(gè)固定輸出價(jià)格和定額利率，這樣就可以忽略一般平衡。這也保證了結(jié)果的可比較性。本文的框架暗示低的邊際生產(chǎn)力不能借款給高的邊際生產(chǎn)力并期望被償還。更甚的是，信用在一個(gè)固定的利率上擴(kuò)展，就像當(dāng)前在這種信貸項(xiàng)目下的典型狀況。

代理商用一個(gè)固定的比例系數(shù)描述擁有的地產(chǎn)，每單位的平均生產(chǎn)力沒有投入的（）的情況下是正的并且等于。收益服從外生的隨機(jī)擾動(dòng)，時(shí)期的投資導(dǎo)致時(shí)期的收益為：

這說(shuō)明含有遞減的邊際回報(bào)，是平均利潤(rùn)，所以不收拘束的，風(fēng)險(xiǎn)中性的生產(chǎn)者經(jīng)常選擇利用在正的水平上。在詳述之后，在的任何正的水平利用第一次序隨機(jī)支配的原則，在0水平之下收益的分布。這是危險(xiǎn)的，但是，感覺的是在于由于的值太小，可能達(dá)不到它的成本（性質(zhì)6）。

假設(shè)2：隨機(jī)變量是一個(gè)離散的分布，當(dāng)時(shí)，的平均值為1，隨著時(shí)間是獨(dú)立同分布的。

注意假設(shè)1和假設(shè)2發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?，而且代理商在某時(shí)期可能選擇，是個(gè)非本質(zhì)無(wú)用的不暗含0的輸出量。我們捕捉到的事實(shí)是，現(xiàn)金投入對(duì)于傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)不是必要的。這也保證了家庭更樂于借款，因?yàn)樗麄兛杀ＷC對(duì)所有的，都有，當(dāng)時(shí)則未必。最后，上述表明對(duì)的回報(bào)很好的與潛在的收益風(fēng)險(xiǎn)聯(lián)系起來(lái)。然而，因?yàn)楝F(xiàn)金投入的利用提高了收益的均值和方差，保證了協(xié)方差固定在不變，在不影響家庭風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)的情況下，你可以觀察利用的水平。這樣，就可以在差異的風(fēng)險(xiǎn)厭惡中分離出信用限制的純粹影響。

假設(shè)3：未來(lái)的代理折扣比率在和情況下。

大家熟知的“急躁假設(shè)”表明的是在現(xiàn)行的利率下家庭會(huì)不時(shí)的借款如果可能的話。盡管在二選一的情況下，家庭可能希望在較低的水平下借款，他們將快速的積聚財(cái)產(chǎn)以至于在任何流動(dòng)性約束下他們能夠很快的終止捆綁。而且，隨著家庭不確定的積聚財(cái)產(chǎn)的趨勢(shì)，將不會(huì)存在固定的分布。

假設(shè)4：效用被臨時(shí)分離，個(gè)別時(shí)期參數(shù)選擇表現(xiàn)為瞬間效用函數(shù)，它含有瞬間邊際效用函數(shù)和以下的性質(zhì)：

(i)是連續(xù)的，非負(fù)的，嚴(yán)格遞減的凸函數(shù)

因?yàn)?，Xu和Carroll指出，當(dāng)時(shí)（這里是依賴于的極限），家庭不會(huì)選擇借款。這是因?yàn)槟敲醋鲆馕吨趯?lái)時(shí)期的零消費(fèi)的可能性是積極的以及維修他們的債務(wù)的必要性。所以，甚至在不受約束的情況下，家庭將自愿限制他們的借款。然而，和不是常量，但是依賴于，因此在上。以上表述了是否受約束情況下的主要性質(zhì)的不同。

從年開始，家庭持有一定水平的現(xiàn)金，家庭臨時(shí)決策問(wèn)題為：

約束條件(16)是控制變量狀態(tài)發(fā)展的轉(zhuǎn)變等式。

在借款不是一種權(quán)力的情況下，我們附加一個(gè)約束條件:

通過(guò)Stokey和Lucas著名的結(jié)論，我們得出了符合約束問(wèn)題的Bellman方程：

令，那么給出了最佳消費(fèi)條件和的歐拉方程如下：

式(20)和(21)都有三個(gè)條件。第一個(gè)條件當(dāng)借款限制是不綁定的，或者時(shí)，它在每個(gè)式子中都是適用的。資源在時(shí)期的臨界值將等于在時(shí)期的臨界值，資源臨界值的期望等于資源臨界值的期望。第二個(gè)條件當(dāng)和時(shí)，它在兩個(gè)式子中是適用的；這里借款限制綁定但不是所有的資源都被消費(fèi)。每單位的日常消耗與的當(dāng)前投資直接交替換位。第三個(gè)條件在資源水平相對(duì)于期望未來(lái)現(xiàn)金流很低情況下適用的，那么這對(duì)消費(fèi)所有的資源和當(dāng)前階段的任何投資的控制是最佳的。另外，我們限定它的包絡(luò)是。

不幸的是，在這種模型下你得不到有趣的分析結(jié)果，理論的預(yù)測(cè)只能通過(guò)特殊的參數(shù)設(shè)置上的數(shù)值求解找到。

以下結(jié)果保證了如果歐拉方程的一個(gè)解被找到，那么它是(15)的唯一解。

定理1.在假設(shè)1-5下，在沒有借款限制的條件下，歐拉方程的解為：

在解決之前，必須詳細(xì)說(shuō)明功能窗體和的分布。假定一個(gè)持續(xù)不變的風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系假設(shè)效用函數(shù)：

這在解釋結(jié)果上時(shí)很有用的，因?yàn)榧彝ジ淖冐?cái)產(chǎn)水平對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的影響將和其他的影響相分離。最終，本文詳細(xì)說(shuō)明了的下列功能形態(tài)，它和假設(shè)2是一致的：

這里的這個(gè)切斷將滿足假設(shè)3（）。為了直接的探究沒有借款約束的影響，考慮“不受約束”的問(wèn)題，在（19）已陳述，時(shí)沒有約束。這樣家庭就可以在確保償還的基礎(chǔ)上最大限度的借款?？紤]真實(shí)世界中擴(kuò)展信用的困難，這看起來(lái)可能有點(diǎn)不可能或者理想化，這里的目標(biāo)是在家庭真正不收約束的情況下，模擬有效的信用防備限制的影響。在這種情況下行為規(guī)則可能有本質(zhì)上的不同，這可能也會(huì)導(dǎo)致由于借款限制存在的可檢測(cè)的牽連，它是迄今為止難以捉摸的。

這個(gè)“不受限制”模型將模擬“有效率的”信用的影響，這里貸款必須在生命的最后償還（在全部時(shí)段中利息必須全部被支付）。不允許暫時(shí)狀態(tài)的償還；也不允許市場(chǎng)要求的暫時(shí)狀態(tài)的全部的還是部分的復(fù)制，同樣不允許出現(xiàn)不正式的信用或者破產(chǎn)情況。在“自我抑制”和固定借款約束之間的主要性質(zhì)上的不同是家庭能夠通過(guò)借款籌集超過(guò)的資金使用來(lái)提高他們下階段的最低收益，從而也將會(huì)樂于增加借款來(lái)消費(fèi)。因?yàn)榧彝ナ侨狈δ托牡?，這將使得在放松家庭借款限制下支出大于收入的影響趨向惡化。

必須選擇特殊參數(shù)來(lái)解決這個(gè)模型。在所有情況下，令，它在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的多方面研究接近于估計(jì)值。令，這樣就滿足假設(shè)3。通過(guò)提供的三個(gè)以農(nóng)業(yè)為主業(yè)的農(nóng)村家庭數(shù)據(jù)水平對(duì)基線參數(shù)進(jìn)行了粗糙的校準(zhǔn)。令所有家庭土地平均的。首先使用數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)確定和數(shù)量級(jí)。的估計(jì)值為，近似為。這些數(shù)值暗示了在時(shí)肥料使用使得高邊際報(bào)酬適度的快速減少。然而，為了強(qiáng)調(diào)對(duì)于更高的持久生產(chǎn)力的理論潛能，利用的基線，降低收益開始遞減時(shí)的速度。給定這些數(shù)值后，把規(guī)格化，使在時(shí)平均收益值等于100。這些參數(shù)導(dǎo)致了最大利潤(rùn)為180，這比沒有投入的收益的期望值高很多。基線參數(shù)暗示最大利潤(rùn)收益為329.5，意味著下階段的利潤(rùn)為140.5，這是相對(duì)高的。因此，投資物資是有利可圖的，但是選擇最大利潤(rùn)的仍需要高的現(xiàn)金費(fèi)用（180）。這使得下階段的收益在很大程度上依賴于家庭資產(chǎn)折現(xiàn)率，以至于限制借款的影響更加突出。

令基線參數(shù)，再次在提供的農(nóng)村數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)水平基礎(chǔ)上，在部分保險(xiǎn)情況把它減少到。對(duì)于的切去頂端的正態(tài)分布，用12-點(diǎn)近似方法，這意味收益的下限近似為26.4，這是在時(shí)收益的四分之一。在“離開借款”的情況，這將意味著家庭不會(huì)選擇低于的下限，近似為-528.2，這比平均收益減少很多。

3.結(jié)論

上述結(jié)果表明了在擴(kuò)展農(nóng)村家庭的信用之前，必須檢驗(yàn)可得到的回報(bào)數(shù)學(xué)特征的重要性。對(duì)于通過(guò)農(nóng)業(yè)家庭的信用的擴(kuò)展來(lái)得到持續(xù)不變的利益，比如漸增的投入回報(bào)，知識(shí)的增加，或其他的補(bǔ)充，或者不能分割的投資以及其他的經(jīng)