高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)訓(xùn)練含參考答案-5份

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題訓(xùn)練20題含答案

41.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,且sinB=2sinC,a2=c2+be.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC的周長1.

【答案】(1)解：因為sinB=2sinC,a2=c2+bc,

由正弦定理，得b=2c,a2=c2+be=3c2,

由余弦定理，得F=Z)2+c2—2bccosA^

所以3c2=4c2+c2-4c2-cosA,所以3c2=5c2—4c2?cosA

***cosA=又AE(0/兀)，

：.A=1

(2)解：由(1)可得a=Wc,b=2c,故c=含=當(dāng)三8=1^,

,>,2點］4點OIO/Q

??2=92+—^―+—^―=2+2V3?

42.已知角。的頂點為坐標(biāo)原點0,始邊為工軸的非負半軸，終邊與單位圓相交于點

P(x,y),若點P位于X軸上方且％+y=今

(1)求sin?！猚os。的值；

(2)求sinV+cos，。的值.

【答案】(1)解：由三角函數(shù)的定義，cos0+sin0=sin0>0,

1

兩邊平方，得cos?。+sin20+2sin0cos0=7

q

則2sin8cos6=—彳<0，sin。>0,cosO<0,

4

所以sin。-cosO>0,

sin0—cos0=V1-2sin0cos0=冬

(2)解：由(1)知，sin0cos0=—

o

QOQ

sin40+cos40=(sin20+cos20)2—2sin20cos20=1-2x瓦二克.

43.設(shè)函數(shù)/(%)=2cos2%+2百sinxcosx+其中m,xER.

(1)求/(%)的最小正周期；

⑵當(dāng)xe[0,芻時，求實數(shù)m的值，使函數(shù)/(久)的值域恰為g,芻，并求此時/(%)

在R上的對稱中心.

【答案】⑴解：由題設(shè)/(%)=cos2x+V3sin2x+m+1=2sin(2x+看)+m+1,

所以，最小正周期7=竽=兀.

(2)解:當(dāng)=€[0,3,則2%+羥信，昌,故2sin(2x+$€[―1,2],

所以/(x)C[?n,m+3],故m=々時滿足/(%)的值域恰為,1]，

此時/(x)=2sin(2x+看)+1，令2%+看=而，k&Z,則％=竽一各keZ,

所以f(x)在R上的對稱中心為(竽-各|),k&Z.

44.某公園計劃改造一塊四邊形區(qū)域ABC。鋪設(shè)草坪，其中AB=2百米，BC=1百米,

AD=CD,AD1CD,草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道DM,DN,EM,EN以及兩條排水溝

AC,BD,其中M,N,E分別為邊BC,AB,AC的中點.

(1)若乙4BC=90。，求排水溝8。的長；

(2)當(dāng)乙4BC變化時，求4條人行道總長度的最大值.

【答案】(1)解：因為乙4BC=當(dāng)AB=2,BC=1,

所以AC=有，所以。。=孚，

因為ZABC=^ADC=當(dāng)

所以：乙BAD+乙BCD=兀，

可得：cosZ-BAD=-cosZ.BCD,

在^BCD中：BD2=BC2+CD2-2BC-CD?3s乙BCD,

ttABAD中：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cos48Ao=AB2+AD2+2AB?AD?

cos乙BCD,

解得：BD=蜉,即排水溝8。的長為孥百米；

乙乙

(2)解：設(shè)乙ABC=a,乙BAC=B，z.ACB=y,

由余弦定理得：AC2=5-4cosa.

在△ABC中，由正弦定理：熱=益，得sin0=豢，

TTTT

連接DE,在△MOE中，NMED=6+/,cosNMED=COS(。+舒=—sin/?,

9

由余弦定理：222+與+-

DM=ME+DE-2ME-DE-cos^MED=14C4

sina—cosa,

同理：DN2=>+sina—cosa,

設(shè)力=sina-cosa=V^sin（a—力，ae（0,兀），則tW（1,V2],

所以￡）村+0例+后村+后用=修+t+t+t+t'

\4\22

該函數(shù)單調(diào)遞增，所以t=&時，DN+OM+EN+EM最大值為楙(2+/),

所以4條走道總長度的最大值為|(2+遮)百米.

45.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75。的方向上，距離為12遍海里，在A處

看燈塔C在貨輪的北偏西30。的方向上，距離為8次海里，貨輪由A處向正北航行到D

處時，再看燈塔B在南偏東60。方向上，求：

(1)AD的距離;

(2)CD的距離.

【答案】(1)解：在AABD中，由已知得NADB=60。，B=45°

ABSinB12乃x亭

由正弦定理得AD=SinZADE=24

T

(2)解：在小ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD?ACcos30°,解得CD=86.所

以A處與D處之間的距離為24海里，燈塔C與D處之間的距離為86海里.

46.在A71BC中，角4B,C所對的邊分別a,b,c,月.bcosA+acosB=2ccos4

(1)求角A的值;

(2)已知。在邊BC上，且BD=3DC,AD=3.求△ABC的面積的最大值

【答案】(1)解：在△ABC中因為bcos力+acosB=2ccosA.

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,

所以sin(4+B)=2sinCcosA,

因為4+B+C=n,所以sin(4+B)=sinC.故sinC=2sinCcosA

又C是△ABC的內(nèi)角，所以sinC^O.從而cosA=：.

而A為A/BC的內(nèi)角，所以A=*

(2)解：因為前=3覺所以前一荏=3(前一而》所以而=/荏+*前，

從而9=^AB2+得灰2+.左=9=熹2+第2+得灰，

由基本不等式可得：9>lbc+^bc=^bc,當(dāng)且僅當(dāng)卜=竽，c=475時等號成立，

故44BC的面積的最大值為*x16x浮=4V3-

47.在a/BC中，角4B,C所對邊分別記為a,b,c.條件①：得各=言明為；條

1—C0Si4l+cos28

件②：sinCsin(8-4)=sinfisin(C-4).從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為已知.

(1)證明：B=C；

(2)求~~c-+急的最小值?

?>sinA_sin28

【答案】(1)證明：若選①,

*1-cos/l-l+cos2F,

.sinA_sinBcosB

'1-cosA-COS2F

?sinZ_sinB

?,1—cosA-cosBf

.\sinAcosB=sinB—cosAsinB,

...sin(4+8)=sinB,

AsinC=sinS,

又B、C為△ABC的內(nèi)角，

：.B=C.

若選②，VsinCsin(F—A)=sinFsin(C—4),

/.sinC(sinBcos?l—cosBsinA)=sinB^sinCcosA—cosCsinA),

.\sinCsinBcosA—sinCcosBsinA=sinBsinCcosA—sinBcosCsinA,

/.—sinCcosBsinA=-sinBcosCsinA,

顯然sinA>0,AsinCcosB=sinBcosC,

AsinCcosB—sinBcosC=0,

Asin(C-F)=0,

又8、C為△ABC的內(nèi)角，

：.C-B=0,

：.B=C.

(2)解：由(1)可知B=C,所以Be(o,芻，所以cosBe(0,1),

由正弦定理可得也也+/=2sin”nB1

ccosBsinecosB

_2sin(3+C)+sinB1_2sin(23)+sinB1

sinCcosB-sinBcosB

_4sinFcosB+sinB1

-sinBcosB

=4cosBH——，+1>24cosB——，+1=5，

cosB\coso

當(dāng)且僅當(dāng)4cosB=^^時，即cosB=*時，等號成立，

所以與他+急的最小值為工

48.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos24—cos2B=SsinBsinCcosA.

(1)證明：tanA=-3tanB；

2

(2)若△ABC的面積為土,求B.

6

【答案】(1)證明：由COS2A-COS2B=8sinBsinCcosA,△ABC的內(nèi)角A,B,C,

則cos[(A+B)+(4—B)]—cos[(X+8)—(A—B)]=SsinBsinCcosA,

=>—2sin(i4+B)sin(A—B)=SsinBsinCcosA,sin(4+B)=sinC>0,

=—sin(4—B)=4sinBcoSi4,

=-sinAcosB+cos/lsinB=4sinBcos?l,

=>—sinAcosB=3sinBcosA,

=>tanA=-3tanB.

（2）解：由題意SMBC==（，結(jié)合正弦邊角關(guān)系有3sin8sinC=sinA,且

sin(i4+8)=sinC,

=3sinBsirii4cosB+3sinBcos?lsinF=sinA=tanA=

1—3sinBcosB

________3sin2B________

siMB—3sin8cosB+cos28'

=-3tanF=——汽？B_=tan2B—2tanB+1=0=tanB=1，而0°<B<180°,

tan2B-3tanB+l

所以B=45°.

49.在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線Ci向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點

的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的④得到曲線C2,以坐標(biāo)原點。為極點，龍軸的正

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為p=4cosa.

（1）求曲線的的參數(shù)方程；

（2）已知點M在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周

長的最大值，并求周長最大時點M的坐標(biāo).

【答案】（1）解：由。=4cosa得p2=Apcosa

將《二士y代入,整理得曲線C1的普通方程為(x-2)2+y2=4,

Vpcoscc—X

設(shè)曲線Cl上的點為(￡,V),變換后的點為(％,y)

r

x=x-2[7廣)2代入曲線的的普通方程，整理得

由題可知坐標(biāo)變換為1,,即

.y="

曲線C2的普通方程為等+產(chǎn)=1，

???曲線。2的參數(shù)方程為需(。為參數(shù))?

(2)解：設(shè)四邊形MNPQ的周長為1,設(shè)點M(2cos。，sind)(0<6,

I=8cos3+4sin0=4y/5(^=cos6+-j=sinO')=4V5sin(0+<p).

且COS0=9,sin(p=y=,

0<0<?-<p<0+(p<^+(psin(^+(p)<sin(6+0)W1,

,'1^max—4A/5.

且當(dāng)e+<p=3時，1取最大值，此時e，一,

所以，2cos8=2sincp=浜,sin。=coscp=-j=,此時M(4黃,

50.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加譏8-csinC=a.

(1)證明：B-C=J

(2)若4=至a=2?求△ABC的面積.

【答案】(1)證明：因為bsbiB-csinC=a,所以-si/。=§譏/,

所以siziBsiri(4+C)—sinCsin^A+B)=sinA.

所以siziB(sizMcosC+cos^sinC)—sinC^sinAcosB+cosTlsinF)=sinA,

&jisinBsinAcosC-sinCsinAcosB=sinA.

因為在△ABC中4、B、CE(0,TT),所以sizh4H0,BPsinBcosC-sinCcosB=1,

故sin(B—C)=1.即B—C=當(dāng)

(2)解:由(1)可知B—C=當(dāng)

因為4=全所以B+C=§^.則8=各。=各

由正弦定理可知「」=&=三=4.則b=4sinB.c=4sinC.

sinAsmBsinC

故^ABC的面積S=^bcsinA=4V3sinFsinC=4V3cosCsinC=2V3sin2C=V3.

51.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.在下列三個條件①沅=(sin4

-￡),n=(2cos2A,2cos4)，且沅〃元；②asinB=V3bcosA;(3)cos2B+cos2c=

cos2/1+1—sinBsinC中任選一個，回答下列問題.

(1)求A；

(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

【答案】(1)解：選擇條件①，因為而=(sin4-分元=(2cos2428s4),且沅II五，

所以sinA?2cosA+亨x2cos24=0，

即sin2A=-V5cos24,所以tan2A=-V3?

由△ABC為銳角三角形可知0<4(/則0<24<兀，

故24=等4=全

選擇條件②，因為asinB=y/3bcosA>由正弦定理可得sinAsinB=bsinBcosA，

由△ABC為銳角三角形可知0<B<去所以sinBAO,

貝kin力=V3cosyl,即tanA=V3,

由△ABC為銳角三角形可知0V4V*故4=*

選擇條件③,因為cos?B+cos2C=cos24+1—sinBsinC,

所以1—sin2B+1-sin2C=1—sin2714-1—sinBsinC,

BPsin2B+sin2c—sin2X=sinBsinC,

由正弦定理可得M+c2—次=2

根據(jù)余弦定理可得cosA=日生三貯=1,

2bc2

由△/BC為銳角三角形可知0<4(號故4=*

(2)解：因為a=2,由(1)可得4=等

所以根據(jù)余弦定理可得4=b2+c2—2bccos為=b2+c2—be>2bc—be—be,當(dāng)且僅

當(dāng)b=c=2時，等號成立，滿足條件.

1旦

<-X4X=

則SAABC=ybcsinA-22

故4/BC面積的最大值為百.

52.已知△ABC中，AB=2,D為AB中點，CD=a?

(1)若BC=CD,求AC的長度；

(2)若AC=2BC,求包吆擎的值.

sine

【答案】(1)解：在中，由余弦定理得,

BD2+CD2-BC2

cosZ-BDC=

2BD-CD冬

cosz.ADC=-COSZ.BDC=-號'

在4/DC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos^ADC=4,

所以AC的長度為2.

(2)解：設(shè)BC=x,則AC=2x,在AACD和△ACB中分別利用余弦定理得

.4X2+1-24X2+4-X2

8sA=2-2XX1=2-2xx2'

解得％=等(負根舍).

因為乙4DC+NBDC=兀，

所以sinZj4DC=sinZ.BDC,

在△BCD中，由正弦定理得包吆攀=強=弊，

smBCD5

即sin乙4DC_71^

sinB-5

53.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.點D為BC邊的中點，已知c=2通,

2asinCcosB=asinA-bsinB+苧bsinGcosZ-CAD=需?

(1)求b；

(2)求△ABC的面積.

【答案】(1)解：因為2asinCcosB=asinA—bsinB+監(jiān)bsinC，

由正弦定理得2accosB=小—塊+字兒，

由余弦定理得2ac.修出!=一X+寫反，

2ac2

所以°=期，

又因為c=2近，所以b=4；

(2)解：因為荏+照=2萬，

所以荏=2而-左，即說2=4而2_4而?石+前2,

O

因為cos乙C/D=Q?

o

所以20=4\AD\2-4\AD\x4x1+16，

化簡得2|而|2-3|砌-2=0，解得：|而|=2或|砌=-；(舍去)，

因為sinz_D4C=J1—($2=

所以S“DC=||AD||^C|sinZD/lC=Jx2x4x^p=苧，

所以SUB。=ZS^ADC=2x^p=V55.

54.在銳角△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知gtanAtanC=tanA+

tanC+V3.

(1)求角B的大小:

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

tanA+tanC_總tan+tanC一點_一點(1—tan/tanC)

【答案】(1)解：tan(A+C)==-V3j

1—tan?ltanC-1—tan^tanC-1—tanAtanC

又A+C=71—3,所以tan(4+C)=tan(/r—B)=-tanB=-V30tanB=W，

由于B為三角形的內(nèi)角，所以8=多

(2)解：由于B=*所以A=^—C，

]A/31

故cosA+cosC=cos(羊—C)+cosC——cos。+勺sinC+cosC=)cosC+

竽sinC=cos(C—今,

由于△ABC為銳角三角形，所以A=冬—Ce(0,芻且Ce(0,芻，故CC%芻，

則。_界(_S，凱故cos(C冶)C埠，]],

故cosA+cosC的取值范圍為(亨，1]

55.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosBcosC+bcosAcosC=*

(1)求角C；

(2)若c=6a+b=5,求△ABC的面積.

【答案】(1)解：由已知及正弦定理，

得cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,即2coscsin(4+8)=sinC.

故2coscsinC=sinC,可得cosC=,,VCe(0,zr),?"=可；

⑵解：由已知及余弦定理得，小+房一2abeosC=7,又a+b=5,C=

故小+b?—ab—(Q+b)2—3ctb—25—3ab—7,因此,ub—6,

**?△4BC的面積s=^absinC=

56.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且國尻0$4找=csinB.

(1)求C；

(2)若a+b=V5c，求sinA.

【答案】(1)解：由正弦定理=//，得V5sinBcos"g=sinCsinB，

因為BE(0,冗)，貝UsinBH0,所以遮cos"^=sinC,

因為4+B+C=n9所以cos(4當(dāng)=cos(^一苧)=sin|-.

所以A/5sin^=2sin^cos^.

因為C6(0,zr)，則異(0,分可得sin亨00,所以3彳=亭

則%?所以c=)

(2)解：方法一：因為a+b=b，由正弦定理三=&=當(dāng)，得sin4+sinB=

sin/isin/jsine

V3sinC=2r

因為4+B=7T—^=咨，

所以sinA+sinB=sinA+sin(冬—A)

.y[3.1..3..\/3./o-rAI3

=sinA+-yC0Si4+ySinA=5sinA+5-cos/=V3sin(4+K)=亍

即sin(4+看)=冬

因為46(0,n),則4+看€合普)，所以4+[=]或竽,

所以4=看或與故sinA=寺或1.

方法二：因為C=*由余弦定理得c2=。2+屬一/(*)，

將c=學(xué)g+6)代入(*)式得/(a+b)2=a2+b2-ab,整理得2a2-5ab+2b2=0,

因式分解得(2a—h)(a—2b)=0,解得a=2b或b=2a,

①當(dāng)a=2b時，c=V3b,

所以C=4衛(wèi)P+3叱4b2=o,

2bc2同2

因為Ae(0,兀)，所以A=F，

②當(dāng)b=2a時，C=V3a，

所以34=的薩4a2+3a2-a2_73

—473^—=Y

因為/e(0,兀)，所以4=1,

所以sinA的值為④或1.

57.記△ABC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c.

(1)求4

(2)若點。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=亭'求tan/BAD.

【答案】(1)解：因為bcosA-acosB=b—c,

由余弦定理可得匕./+。2-。2_&內(nèi)產(chǎn)下=b-c'

2bc2ac

22

化簡可得M+c-a=bc，由余弦定理可得cosA=12+c2-a2=1(

2bc2

因為0cz<7T,所以，71=1.

(2)解：因為cosB=辛，貝為銳角，所以，sinB=-cos?'=J1一咯2=絡(luò)

因為4+B+C=7r,所以，。=竽—B,

所以‘sinC=sin(穹一B)=sin等cosB—cos等sinB=綽又理+Jx號=4+:，

v3733232326

設(shè)=貝丘。4。=冬-。，

B

D

A

在△9和MCD中，由正弦定理得照=磊=嘴，=黑=需，

因為CD=2BD,上面兩個等式相除可得前sing—。)=(3+遍)sin。，

得遍(字cos。—^sin0)=(3+份)sin。，即&cos。=(24-V6)sin0,

萬

所以，tanz_BAD=tan0=-'廠=V3—V2.

2+J6

58.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Q<c,sm(1-?4)cos(1+/I)=

(1)求4；

(2)若/?=b，asinA4-csinC=4y/3sinB^求△4BC的面積.

【答案】⑴解：sin^-A)cos(^+A)=cos匿一g—孫血(1+4)=cos2(^+A)=

cosg+2A)+1i

2二4，

(或s譏6-A)cosg+A)=cosA—isinA)(^-cosA-^sinA)

DO乙乙乙乙

ncos(^+24)+11,,7T,_1

=cos2(^+/1)=-----巧-----=T??cos(j+24)=-［，

??CJ4,?兀/兀ICA/7TT?兀ICA2TT"Ue兀?—A47r

?0VA<TT,+2AV""S"，?+24=-3-或W+2A=

解得4=5或A=Va<c,'A<5,.,?/=看.

7T/—

(2)解：由(1)知4=&,asinA+csinC=4y/3sinB，

由正弦定理得a?+c2=4V36=12,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bc-cosA<BP12-c2=3+c2-275c.冬

整理得2c2-3c-9=0,

由c>0得c=3,

,■S4ABe=besinA=x>/3x3x；=—^—?

59.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，±+「7=工

tan/1tancsinn

(1)證明：b2=QC；

(2)若b=2,當(dāng)角B取得最大值時，求△ZBC的面積.

【答案】(1)證明：因為占+4=工，所以警+警=」示，

tanAtanCsinns\nAsmcsinn

所CjCOsAsinC+sirh4cosc_1

sinAsinC-sinB'

所以sin4+’=<,所以.sfB3

sin/sinCsinBsmAsmCsmB

所以sin?B=sinAsinC,由正弦定理得必=ac

(2)解：cosB-丑2=a2+c2―ac型*工,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立),

Lac2acLac2

則當(dāng)a=c時,cosB取得最小值④，

又Be(0,兀)，所以角B最大值為半

此時△ABC為等邊三角形，所以△4BC的面積為百.

60.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B=a?—be.

(1)求4；

(2)若bsinA=4sinB,且Igb+Ige>1—2cos(B+C),求4ABC面積的取值范圍.

【答案】(1)解:因為米+c2=a2—be,

所以用+c2—a2=—be-

由余弦定理得cos/=與怔=

2bc2

因為0<4V江，

所以4=咨.

(2)解：由bsinA=4sinB及正弦定理,得ab=4b,

所以a=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA>2bc+be,

所以尻w學(xué)

當(dāng)且僅當(dāng)。='=竽時，等號成立，

因為Igb+Ige>1-2cos(B+C),

所以lg(bc)>1+2cosA=0,則be>1,

所以14be工學(xué)，

因為△ABC的面積為鼻csinZ=申~bc.

L4

所以△力BC面積的取值范圍是停，珀.

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題訓(xùn)練20題含答案

61.已知a,b,c均為正實數(shù)，且a+2b+3c=4.

（1）若a=l,求證：yfb+y/c<

（2）若赤+逐+&=2,求a的取值范圍.

【答案】（1）解：a+2b+3c=4,

若a=1,

則2b+3c=3,

所以2(仍7+3(C)2=3,

2

2

所以4-(Vc)=1?

所以可令與少=cosa,y/c=sina,

v3

所以迎+加=璀cosa+sina=l2sin(a+y)<

v2

故乃+&W孚.

(2)解：a+2b+3c=4,

所以2b+3c—4—Q>0=QV4

(一傳叫+(嚴(yán)勺=1,

所以_^^=cos?,=sin0,

v4—Qv4-Q

所以傷=號蝴，&=會in。

v2v3

又VS+Vc=2—VH,

所以VF+Vc=

所以2—年不，

所以(2—代)2<笠殮=5(2+、？2-而),

所以(2-依)W吟?,

所以(12-6g)<10+5Va?

所以11傘>2,

解得Q2七，

所以Q€，4)，

故答案為：a6[?4).

62.在△ABC中，內(nèi)角A、B^C的對邊分別為a、b、c,且acosB+bsin/=c.

(1)求角A的大??；

(2)若a=戊，△ABC的面積為與1,求b+c的值.

【答案】(1)解：由已知及正弦定理得sinAcosB+s)Bsi/M=sinC,

VsinC=sin^A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinBsinA=cosAsinB,

???sinBW0???sin4=cos/

TT

?G(0/TT)??A=].

(2)S^Bc~^bcsinA=^-bc=^'??bc=2-V2，

又,?*a2=b2+c2-2bccosA?*-2=(&+c)2-(24-V2)6c?

所以(b+c)2=4,b+c=2.

77

63.已知/(x)=2cosx-sin(x+g),x&R,△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的，邊分別為

a,b,c,若/(x)的最大值為/(Z).

(1)求A；

(2)當(dāng)a=2,b=2遮時，求△ABC的面積.

【答案】(1)解:依題意，/(x)=2cosx(sinxcos^+cosxsin=V3sinxcosx+cos2%

=sin2x4-|cos2x+：=sin(2x+1)+：'

顯然當(dāng)2%+5=2fc/r+5,kEZ,即x=k7i4-5,k.GZ時，f(%)=盤，

ozoJv八11dA.2max

因為/(A)是/(x)的最大值，又4是△ABC的內(nèi)角，即0<4<兀，因此4=強

所以4=工

⑵解：在小ABC中，A=l，a=2，b=2次，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，

即2?=(2V3)2+c2-2x2V3cx苧，整理得c?一6c+8=0,解得c=2或c=4,

當(dāng)c=2時;SAABC=^bcsinA=x2V3x2x；=V3>當(dāng)c=4時、S^Bc=^bcsinA=

-11

2X2>/3x4x=2A/3.

所以△48c的面積是g或2遍.

64.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角4B,C的對邊,且sinQl-B)=2sinC.

(1)證明：Q2=T+2明;

(2)若4=竽，a=3,BC=36M，求AM的長度.

【答案】(1)證明:由sin(4-B)=2sinC=2sin(4+B),

得sin/cosB—cos^sinB=2sin/lcosB+2cos?lsinB,

則siiL4cosB+3cosAsinB=0,

由正弦定理和余弦定理得a.a?+c2-廬廬+02-a2

u

a2ac十的2bc

化簡得Q2=b2+2c2；

(2)解：在△ABC中，a2=b2+c2+be=99

又因為/=M+2c2,所以屬+2c2=Z?2+02+be=9，所以b=c=V3,

所以

o

由近=3的，得BM=S=1,

在△ABM中，AM2=c2+(1)2-2cX|?cosB=34-1-3=1,

所以4M=1.

A

65.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。一百bsinZ=&2+以一,一爐

(1)求A；

(2)若人:/。，且BC邊上的高為2百，求a.

【答案】(1)解：因為c—?sinA=a2+：?2—b，

所以由余弦定理得c—y/3bs\nA=acosB—b，

由正弦定理得sinC—V3sin>lsinB=sinAcosB-sinB,

由于sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,

整理得cosAsinB—百isnAsinB=-sinB.

又因為sinBA0,所以cos4—V3sin?l=-1,即sin(4-&)=］，

因為AW(0,7T),所以Z—看￡(—看，卷)，

所以人一髀器即A=*

(2)解：由xax2y/3=4bcsing得be=4a,

2

又b=gc,所以c?=16Q,b=a，

q

22

由余弦定理知Q2=b4-c-2bccosA=a+16a-4a=13a，

解得a=13.

66.在△ABC中，角A、B、。所對的邊分別為a、b、c,已知6b=a(V5cosC-s譏C).

(1)求4；

(2)若a=8,△ABC的內(nèi)切圓半徑為百，求△ABC的周長.

【答案】(1)解：因為eb=a(bcosC—s仇C),

由正弦定理可得V5sinB=sin?l(V3cosC—sinC),①

因為A+B+C=",所以sinB=sin(4+C)=sin/lcosC+cosAsinC,

代入①式整理得gcos/sinC=—sinAsinC,

又因為4、CG(0,兀),sinCW0,則V^cosA=-sin4<0,所以tanA=一8,

又因為AG(0,7i),解得4=冬.

(2)解：由(1)知，4=等，因為△力8C內(nèi)切圓半徑為國，

所以SA4BC=*(a+。+c)?V3=gbe.sim4,即(b+c+8)?y/3=苧兒,

所以，b+c+8=：bc②，

由余弦定理。2=b2+c2-2bc-cos竽得/+c2+be=64>所以(b+c)2—be=64③，

聯(lián)立②③，得(b+c)2—2(b+c+8)=64，解得b+c=10,

所以△ABC的周長為a+b+c=18.

67.在中，角4B、C所對的邊分別為a、b、c,_/+_==_J+—

cosBcosCcosAcosBcosC

(1)求tanBtanC；

(2)若be=3,求△ABC面積S的最小值.

【答案】(1)解：?.?3+$=$+瓢,,

cosBcosCcosAcosBcosC

???(bcosC+ccosB)cosA=a{cosBcosC+3cosA\

由正弦定理得(sinBcosC+cosBsinC)cosA=sinA^cosBcosC+3cosA).

??sin(B+C)cosA=sinA(cosBcosC+3cos4).

因為0V4VTT,則sinA>0,

???4+B+C=7T,sin(B+C)=sinA,

則cos/=—cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC,

所以，cosA=cosBcosC+3cosA,即2cos4+cosBcosC=0,

所以，2(sinBsinC-cosBcosC)+cosBcosC=0,

???2sinBsinC=cosBcosCf^tanBtanC=/

(2)解：由(1)^tanBtanC=今

若。an夕：g,則8、C均為鈍角,則B+C>7i,矛盾,

所以，tanB>0,tanC>0,此時8、C均為銳角，合乎題意，

AtanA——tan(B+C)=——2(tanB+tanC)<-4y/tanBtanC——2^2,

當(dāng)且僅當(dāng)ta/tB=tcmC=孕時,等號成立,且4為鈍角.

??,tanA<—2V2,則tan（7r—A）>2/，且TT—4為銳角，

1（兀T）=群今？2四

由，sin2（7T_4）+cos2（兀_｛）=1,解得sin（7T_4）N攀，即sinA2孥，

C0S（7T-4）>0

、sin（7r—4）>0

當(dāng)且僅當(dāng)tcmB=tanC—孝時，等號成立，

??,be=3,???s=besinA—sin-4>x—V2-

因此，△ABC面積的最小值為魚.

68.在AABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S且S=ga?-

62）sinC

（1）證明：a=2b；

（2）若acosC=^b,求cos4

【答案】⑴證明：由5=4absinC,結(jié)合已知有aabsinC=（^a2-h2）sinC,而sinC>0,

所以ab=a2—2b2,則小—就一2b2=（a—2b）（a+b）=0,故a=2b或a=—b（舍）,

所以a=2b,得證.

（2）解：由題設(shè)及（1）結(jié)論，2尻osC=36,即c0sC=3=土度出，

乙42ab

所以i=。2+/_,。人=4b2+川—3b2=2b2，則c=y/2b，

所以皿4=廬+2/4廬一孝

242b4

69.在AZBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知siMc=sir^A+siMB+

sinAsinB.

（1）求角C；

（2）記△ABC的面積為S,△ABC的周長為T,若c=2,求*的取值范圍.

【答案】（1）解：在△4BC中，由正弦定理及siM。=siM/l+siMB+sinAsinB,得d=

Q2+屬+。力，

由余弦定理得cose=立產(chǎn)整=_1,0<C<7T,

2ab2

所以C=等.

(2)解：由(1)知，a2+b2+ab=4?即(Q+bf—4=ab，

于是s扣bsinCRabB(a+b)2-4V3,,0、，

=用較Fa+/+2=H(a+D，

因為abW(噤)2,即有Q+乃2—4w(孚：，解得0+/,三隼，

乙Z.5

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，又a+b>c,因此2<a+bW竽，有*6(0,1-

所以歙勺取值范圍為（0,I—易.

70.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC=4,BC1CD.

(1)若力B=2,BC=3,CD=V15.求△ACD的面積;

（2）若/B=等，乙D屋,求（監(jiān)+}4/）一8。的最大值.

AC2-^BC2-AB2

【答案】（1）解：在AABC中,16+9—4_7,

cosZ-ACB=2AC-BC2x4x3=F

7

因為8c1CD,所以sin/ACD=cos

AACB=o

所以△AC。的面積s=^AC-CD-sin乙4CD=ix4xVT5xJ=冬里;

ZZo

(2)解：設(shè)NBC4=0,0<0,則^BAC=^-e.

BCAC8Ti

在△4BC中，sin瑞-8)=m等,則BC=^sin(@-e),

4—ADAC

在△AC。中，sin(3-。)=而卷則=8cos。，

EFI'J1、/Innr_,46]4、q8./c、_4右Z).4-/3.Q_

所以(-g-+^)AD-BC=(-—F4)cos0-sin^-0)=~-cos0H—~sin。—

4乃.si兀、

-^-sin(。+不)，

當(dāng)"即寸，吟+和。_BC取得最大值崢；

綜上，△4CD的面積為空，婚+和D-BC的最大值孚

71.在△ABC中，D為4c的中點，瓦5=)瓦彳.

(2)若乙BC4=5,BE=?，且麗?刀=12，求△ABC的周長.

因為D是4c的中點，~EA=\BA,

則就=~BA+AC=BA+2AD=BA+2(BD-BA)=2BD-~BA=2a-b>

EC=BC-JE=JC-^BA=2a-b-^b=2a-^b.

(2)解：由BE=^,EA=/瓦?，可得BZ=7.

因為福-CA=\CB\-\CA\.cos^BCA=12,乙BCA=

所以|方|?\CA\=24,

在小ABC中由余弦定理8摩=CB2+CA2-2-CB-CA-cosZ.BCA,得：49=(CB+

CA)2-3x24,

則C4+BC=11,

所以△ABC的周長為11+7=18.

72.在△力BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b(sinB-sinC)=(acosC-

ccos?l)sinB.

(1)求角A；

(2)若△ABC為銳角三角形，求蛆牡噂土貯的取值范圍.

sin/lsinnsinL

【答案】(1)解：Vb(sinB-sinC)=(acosC—ccoSi4)sinB

由正弦定理和余弦定理得一c)=(02+短c2__+才a2)b，

整理得/+c2-a2=be,cos/="+c2-a21,

2bc2

又4是三角形內(nèi)角，.?.7!=*

⑵解：△ABC為銳角三角形，則B+名>今S>J,

3ZOOZ

又M+c2—a2=be，

sin